Сила реакции опоры - определение, формула и примеры решения

Некоторые физические явления сложны для понимания школьников. К таковым относится и сила реакция опоры. Скорее всего причина тут кроется в том, что этот тип взаимодействия между физическими предметами и телами противоречит житейской логике. 

Между тем, достаточно немного усидчивости и терпения, чтобы убедиться, что это совсем не так.

Что такое сила реакции опоры

Прежде всего дадим определение данной силе. Сила реакции опоры (N) представляет собой взаимодействие на молекулярном уровне. 

Это сила, приложенная к телу и направленная вертикально вверх. 

Сила реакции опоры — сила упругости, возникающая при малых деформациях опоры, всегда перпендикулярна опоре, N = P.

Книга, положенная на стол, давит на ее поверхность с определенной нагрузкой, но молекулы, сжатые ею, хотят снова прийти в равновесие и поэтому давят на книгу ровно с такой же силой. Если бы в природе не существовало этого взаимодействия, то тела не выдерживали бы нагрузки. Из этого можно заключить, что сила реакции опоры представляет собой разновидность силы упругости.

Единица измерения, как и для всех силы (упругости, трения и др.), - Н (Ньютоны).

Примеры решения задач

Задача 1

Определить реакции опор горизонтальной балки от заданной нагрузки.

Рис. 1

Дано:

• P = 20 кН;

• G = 10 кН;

• М = 4 кНм;

• q = 2 кН/м;

• a = 2 м;

• b = 3 м;

• α = 30⁰.

Решение:

Перед тем, как начать составлять систему уравнений, необходимо несколько преобразовать систему балки:

1. Опора А покоится на подвижной опоре, которая может двигаться в горизонтальной плоскости, поэтому имеет только вертикальную составляющую реакции опоры – R_A.

2. Опора В абсолютно неподвижна, и ее реакция опоры состоит из двух взаимодействий, направленных вдоль линий оси: X_B и Y_B.

3. Распределенную нагрузку q для простоты можно заменить одиночной нагрузкой Q. Она будет располагаться ровно посередине отрезка. Находится по формуле: Q = (q × a). Делаем расчет и узнаем, чему равна Q = 2 × 2 = 4 кН.

4. Сила P не принадлежит ни к одной из плоскостей, а находится как бы между ними. Поэтому ее раскладывают на две составляющие: P_x и P_y. Это не значит, что они делят ее пополам. Для ее разложения понадобится вспомнить закон Пифагора. P_x = P × cos α, P_y = P × sin α.

После всех этих преобразований схема балки примет следующий вид:

Рис. 2

Теперь можно выписывать силы по принадлежности:

∑F_x = X_B – P × cos α = 0;

∑F_y = R_A – Q + G - P × sin α + Y_B = 0;

∑М_В = М + P × sin α × b – G × (b + 0,5 × a) + Q × (a + b) - R_A × (1,5 × a + b) = 0.

Как видно из уравнения момента сил, за точку вращения балки принята опора B. Поэтому значение воздействия в килоньютонах умножается на расстояние до этой точки в метрах.

Теперь в каждом уравнении есть одна неизвестная, поэтому, подставив известные значения, можно их найти:

X_B = P × cos α = 20 × cos 30⁰ = 20 × 0,866 = 17,32 кН;

R_A + Y_B = Q - G + P × sin α = 4 – 10 + 20 × sin 30⁰ = 4 кН;

R_A = М + P × sin α × b – G × (b + 0,5 × a) + Q × (a + b) × (1,5 × a + b) = 4 + 20 × sin 30⁰ × 3 – 10 × (3 + 0,5 × 2) + 4 × (2 + 3) × (1,5 × 2 + 3) = 2,33 кН;

Отсюда Y_B = 4 - R_A = 4 – 2,33 = 1,77 кН.

Задача 2

Для заданной плоской рамы определить реакции опор. Значения сил возьмем из задачи №1, несколько изменим их распределение. Схема балки показана на рис. 3.

Рис. 3

В этом примере существует только одна опора в точке А, распределенная нагрузка имеет сложную форму. Остальные силы, а точнее их проекции на оси х и у не претерпевают каких-либо изменений.

Чтобы правильно разложить нагрузку q, ее разделяют на две: Q₁ в виде треугольника от В до Д и на Q₂, представляющей собой прямоугольник. 

Соответственно, определяться они тоже будут по-разному:

Q₁ = (q × a) / 2 = (2 × 2) / 2 = 2 кН;

Q₂ = q × a = 2 × 2 = 4 кН.

Обе эти силы будут расположены посередине своих отрезков (Q₁ из характера нагрузки на 1/3 от точки Д).

В предыдущем примере шаровая опора могла вращать балку вокруг себя, поэтому не имела момента вращения. В данном случае опора представляет собой жестко закрепленную опору, поэтому имеет ко всему прочему еще и момент М_А. 

После всех преобразований схема балки будет следующей:

Рис. 4

Теперь можно приступать к выписыванию сил:

∑F_x = X_A – Q₁ – Q₂ – P × cos α = 0;

∑F_y = Y_A – G + P × sin α = 0;

∑М_В = M_A – G × 0.5 × b – Q₁ × 2/3 × a – Q₂ ×1,5 × a + M + P × sin α × 2b – P × cos α × 2a.

Две силы Р в последнем уравнении связаны с формой самой балки, которая может испытывать момент вращения от каждой из них.

Теперь можно подставлять уже известные значения:

X_A – 2 – 4 – 20 × cos 30⁰ = 0 → X_A = 23,32 кН;

Y_A – 10 + 20 × sin 30⁰ = 0 → Y_A = 0 кН;

M_A – 10 × 0,5 × 3 – 2 × 2/3 × 2 – 4 ×1,5 × 2 + 4 + 20 × sin 30⁰ × 2 × 3 – P × cos 30⁰ × 2 × 2 = 0 → M_A = 34,95 кН.

Задача решена.