Гипербола - виды, правила и примеры построения функции

Перед вами родственные кривые, полученные при сечении конуса плоскостью. Парабола, эллипс (окружность), гипербола.

Что такое гипербола в математике

Это геометрическое место точек M, физическая разница расстояний от которых до выбранных (F₁, F₂), называемых фокусами, постоянна.

Оговоримся, что все сказанное относится к Евклидовой плоскости, где параллельные прямые не пересекаются.

Но если из отрезка |F₁F₂| соорудить координатную прямую X, за начальную точку взять середину (она же будет центром гиперболы) отрезка, то получим декартову систему координат. Где кривая описывается алгебраическим уравнением II-го порядка. 

Получим классическую формулу аналитической геометрии:

где a – действительная полуось, b – мнимая.

Особенности:

• поскольку x и y связаны квадратной зависимостью, обе оси будут осями симметрии;

• пересечения с осью абсцисс (фокусов) с координатами ±a называются вершинами гиперболы, и расстояние между ними является минимальной дистанцией между ветвями (о последних ниже);

• кратчайший отрезок от фокуса до вершины зовется перицентрическим расстоянием и пишется «r_p».

Асимптоты и фокусы гиперболы

Фокусы находятся на оси X (из этого исходили). Расстояние до центра гиперболы (он же центр симметрии C) называется фокальным и обозначается «c». Его формула:

Умозрительно очевидно, что сечение конуса состоит из двух кривых. Называются они ветвями гиперболы. Также не подлежит сомнению то, что ветви ограничены воображаемой поверхностью. Фокусы всегда находятся внутри ветвей.

Помучившись с производными и пределами, получим формулы асимптот (прямые, расстояние до которых от кривой стремится к нулю на бесконечном удалении от «0»):

Дистанцию от фокуса до асимптоты зовут прицельным параметром и обозначают буквой «b».

Как построить график функции гиперболы

Существует много ресурсов, где можно онлайн наблюдать, как строится функция. Но нужно все уметь самому. Итак, давайте учиться.

Построим для примера график уравнения

Решение:

1. По формуле выше выстраиваем асимптоты.

2. Отмечаем вершины х = ±2 (А1, А2). Приблизительный вид уже ясен.

3. При х = ±3, y = ±3,5 (примерно).

4. x = ±4, y = ±5,2.

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом считают величину:

Или, в иной записи:

Является параметром, характеризующим отклонение конического сечения от окружности:

• кривые с равным эксцентриситетом подобны;

• показатель угла наклона асимптот.

Равнобочная (равносторонняя) гипербола

Таковой кривая является при условии a = b. Если покрутить систему координат, функцию можно свести к виду:

Эксцентриситет данной конструкции составит квадратный корень из 2.

Иначе говоря, получаем график обратной пропорциональности:

Или «любимую» школьниками.

Коль уж речь зашла о школьном курсе, добавим сведений:

• прямые x = 0, y = 0 – асимптоты;

• область определения – все действительные числа, кроме 0;

• область значений – все, за исключением 0;

• функция нечетная, поскольку меняет знак при смене знака аргумента;

• убывающая при положительных и отрицательных x.

Касательная и нормаль

В каждой точке гладкой кривой возможно построить касательную и нормаль (перпендикуляр). Гипербола – не исключение. Касательная – прямая, совпадающая с кривой только в одной точке (в пределах изгиба одного порядка).

Уравнение касательной в точке с координатами (x₀y₀) имеет вид:

В другой форме:

Для нормали:

Сопряженные гиперболы

Записанное таким образом уравнение даст сопряженную фигуру:

То есть с теми же асимптотами, но расположенную по-другому, с поворотом на 90°. 

Пример на рисунке.

Свойства гиперболы

Их должен знать каждый школьник:

1. Касательная в произвольной точке H окажется биссектрисой угла F₁HF₂.

2. Кривая симметрична относительно осей и своего центра.

3. Отсеченный асимптотами отрезок касательной делится точкой соприкосновения пополам. Площадь же выделенного треугольника не меняется от изменения точки.

Использование

Где применяются знания о гиперболе:

• для создания эллиптических и других координат;

• в солнечных часах (сечение конуса света);

• для анализа движения космических объектов.

Заключение

Непростая кривая с неожиданными в некоторых случаях применением. Что удивительно, задача о сечениях конуса была поставлена древнегреческими учеными во II-м веке до нашей эры. Это говорит о высочайшем уровне тогдашних инженеров.

Нет, солнечные часы понятно были, а мелких искусственных спутников не было точно. И астероиды не исследовали, но вопросы возникали. И были ответы без ссылок на многочисленных богов. Удивительные люди.