Равномерное движение по окружности - характеристика, формулы и примеры вычислений

Общие понятия

Кинематика, входящая в состав механики, занимается изучением закономерностей движения. Под этим понятием понимается изменение положения тела относительно других объектов. Основная задача науки состоит в определении координат рассматриваемого предмета в любой момент. Кинематика изучает перемещение без учёта воздействия его вызвавшего. Любое движение считается относительным. Поэтому для его описания используют систему координат с начальной и конечной точкой отсчёта.

Для облегчения понимания процессов размерами исследуемого тела пренебрегают. Считая, что любой объект представляет собой совокупность материальных точек, повторяющих одинаковое движение при сравнении с друг другом. Существует несколько видов изменения положения. Различают их по траектории — воображаемой линии, повторяющей путь прохождения объекта. Сравнивая виды движения, выделяют два типа перемещения: прямолинейное и криволинейное.

Кроме этого, если рассматривать изменение положения во времени, движение можно различать по равномерности. При перемещении с постоянной скоростью движение называют равномерным, а при изменении её — неравномерным.

Более узкая классификация разделяет перемещение по характеру на следующие виды:

• равноускоренное — это перемещение, обусловленное движением тела, при котором ускорение будет постоянным по направлению;
• равнозамедленное — движение, при котором происходит отрицательное ускорение, до полного замедления объекта;
• равнопеременное — при таком виде перемещения скорость изменяется на одинаковое значение в любом промежутке времени;
• поступательное — если на перемещаемое тело нанести линии, они будут перемещаться параллельно сами себе;
• вращательное — это периодическое движение, при котором материальная точка описывает окружность.

Частным случаем криволинейного движения, то есть по траектории, отличной от прямой линии, является равномерное движение по окружности. Определение понятия включает в себя центростремительное ускорение и постоянную по модулю скорость. Под этим видом понимают изменение положения, при котором изменяется только направление скорости.

Характеристики движения

Перемещение по окружности характеризуется постоянной по модулю скоростью: |V| = const. При этом скорость точки может изменяться по направлению. Такое её поведение называют линейным. Равномерное изменение положения по окружности является перемещением с неким ускорением. Оно всегда имеет направление к центру и считается нормальным или центростремительным. Для обозначения параметра используется символ an по вектору.

При расчёте центростремительного ускорения по модулю используется формула: an = v2 / R, где: V — линейная скорость, R — радиус, по которому вращается тело. Но так как при решении заданий удобнее пользоваться не декартовой системой координат, а учитывать ещё радиус и угол поворота, то для формулы равномерного движение по окружности вводится дополнительный параметр — угловая скорость. Обозначается она буквой ω.

С помощью неё можно узнать быстроту изменения поворота при вращении. То есть определить угол φ. Угловая скорость — скалярная величина, для её нахождения используют следующую формулу: ω = Δ φ / Δ t. В качестве единицы измерения используют радиан, делённый на секунду (рад/с).

При использовании радиусных характеристик угол поворота ко времени обратно пропорционален периоду обращения T и прямо пропорционален два пи: ω = 2p / T = 2pV. При этом учитывается и то, что угловая связана с линейной скоростью равенством: V = ω * R. Учитывая это, модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле: an = ω² * R.

Выражение же, описывающее перемещение при прямолинейном равноускоренном изменении, выглядит как Δ s = V 0 * Δ t + (a * Δ t)/2. Таким образом, при вращении перемещение определяется углом поворота. Для поступательного же движения пройденное расстояние равняется: Δ s = (V² — V⁰) / 2a, а угловое ускорение находится из выражения: Δ φ = (ω² — ω0) / 2a.

За направление линейной скорости принимается путь по касательной к окружности. Например, при резке металла угловой шлифовальной машинкой искры, слетающие с диска, обозначают направление скорости.

Период определяет путь, который проходит тело за определённое время. При этом пройденное расстояние равняется длине окружности. Следует отметить, что при рассмотрении скорости, изменяющейся по величине при неравномерном вращении, используют два вида ускорения: касательное и тангенциальное.

Нахождение ускорения тела

Любое криволинейное движение происходит с ускорением, так как в его ходе изменяется направление вектора скорости. Найти его — определить направление вектора и вычислить его модуль.

Окружность является самым простым видом криволинейного движения. Древние греки считали, что идеальная линия — это окружность. Можно представить, что тело движется по окружности с центром, который находится в точке O. Объект перемещается равномерно, и в какой-то момент его скорость станет V0. Вектор характеристики будет направлен по касательной и совпадать с направлением движения.

Через некоторое время тело переместится. Модуль этой скорости совпадёт с начальной. Поэтому справедливо будет записать: V0 ≠ V. Для нахождения ускорения следует решить два вопроса:

• Определить направление вектора.
• Найти модуль вектора ускорения.

Для ответа на первый вопрос нужно рассмотреть исходную формулу: a = ΔV / Δt. То есть найти, как изменится скорость за небольшой промежуток времени к длительности этого промежутка. Из формулы понятно, что, куда направлен вектор ΔV, в ту же сторону направлено и ускорение. Следует построить вектор изменения скорости частицы, движущейся равномерно по окружности. Для этого вектор V0 необходимо перенести параллельно самому себе в точку V.

По правилу треугольника можно построить вектор: ΔV = V — V0. Он будет направлен снизу вверх, образуя катет прямоугольного треугольника. Вектор V0 направлен по касательной к окружности, которая перпендикулярна радиусу r. Аналогичное рассуждение можно привести для вектора V0. Угол, образуемый этими отрезками в вершине O, очень мал и совпадает с углом, образованным векторами V, Vo, ΔV.

Вектор ΔV перпендикулярен вектору V, значит и вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости. Можно утверждать, что вектор ускорения направлен к центру. Отсюда следует, что a направлен к центру окружности. Поэтому его и называют центростремительное ускорение.

Для нахождения модуля вектора используется зависимость: a = ΔV / Δt. Если известна скорость, с которой движется точка, то для нахождения её пути нужно её умножить на время (Δt). Таким образом, можно записать: ΔV / V = (V * Δt) / r. Это выражение легко упростить, умножив левую и правую часть на V / Δt. В итоге получится уравнение: V / Δt = V² / r. В левой части останется модуль центростремительного ускорения. Отсюда можно утверждать, что a = v² / r.

Решение задач

В повседневной жизни приходится постоянно встречаться с движением по окружности в динамике. Взять хотя бы оборот Земли вокруг своей оси. Кроме этого, можно привести ещё сотню примеров: вращение колёс движущего автомобиля, круговой оборот электронов вокруг атома, перемещение стрелок часов.

На уроках физики для закрепления материала часто предлагаются к самостоятельному решению несколько видов типовых задач. Вот некоторые из них:

1. Нужно определить центростремительное ускорение крайних точек предмета диаметром 40 см, если известно, что его угловая скорость равняется 180 рад/м. Заданные значения необходимо привести в соответствии с международной системой измерений (СИ). Вместо 40 см нужно взять 0,4 метра, а 180 рад/м — три радиана, делённые на минуту. Для решения используется определение, что ускорение равно квадрату скорости, делённому на радиус. Так как по условию дана скорость угла поворота, а не линейная, следует выразить последнюю из выражения: v = w * R. Таким образом, центростремительное ускорение для рассматриваемого случая будет равно: a = (w * R)² / R = w² * R = (w ² * D) / 2 = (3² * 0.4) / 2 = 1,8 м/с².
2. Пусть спидометр байка показывает 90 км/ч, а тахометр — 2400 оборотов в минуту. Необходимо определить радиус колеса. Вначале следует перевести данные в систему СИ. Учитывая, что в километре тысяча метров, в минуте шестьдесят секунд, а в часе 3600 секунд получается линейная скорость колеса, равная 25 метрам в секунду, и частота оборота оси 40 об/с. Тут нужно заметить, что скорость вращения колеса должна быть равна угловой скорости вращения оси: w к = w 0, так как они скреплены. Этот параметр легко может быть найден из равенства: w 0 = 2 pv 0. Радиус же находится из отношения линейной скорости, делённой на угловую скорость. Теперь останется подставить исходные данные и вычислить ответ: R = V к/ w к = v к / 2 pv = 25 / 2 pv 0 = 25 / 2 p * 40 = 0,625 = 62,5.

Это типовые задания, позволяющие понять связь между угловой и линейной скоростью, а также определять ускорение. Для того чтобы их успешно решать, нужно знать формулу углового ускорения, то есть угла поворота. А также знать, что период обращения тела, движущегося равномерно по окружности, определяют как время одного полного оборота. Обратная ему величина называется частотой. Находится она как число оборотов в единицу времени.

Занимательный пример

Пусть имеется некая планета, которая совершила полтора оборота за сорок два часа, при этом метеостанция, располагающаяся на её экваторе, прошла путь равный 50 тыс. километров, делённых на час. Нужно определить линейную и угловую скорости планеты при её вращении вокруг собственной оси. Кроме этого, вычислить, чему равны сутки, и найти радиус планеты. При этом считать, что форма космического тела — идеальный шар.

Для решения задачи следует обозначить буквой эн число оборотов: n = 1,5, а t — время, за которое планета их совершила. Путь же, который прошла станция, можно представить в виде материальной точки и принять за l = 50 000 км. Найти же будет нужно линейную и угловую скорости. Кроме этого, по условию задачи нужно найти сутки, длина которых равняется периоду — полному обороту планеты вокруг оси.

В такой задаче необязательно переводить данные в систему СИ. Можно использовать километры и часы, так как в задании не требуется дать ответ в соответствии с СИ, тем более что метры и секунды использовать неудобно.

Первое, что можно найти, это линейную скорость, равную отношению пройденного пути ко времени: v = l / t = 50000 / 42. Решив дробь, примерный результат будет равняться 1190 км /ч. Теперь можно найти скорость угла поворота. Нужно разделить угол, на который изменилось положение точки, на время. Так как один полный оборот — это 2p, то полтора оборота будут составлять 3p. Тогда искомая скорость будет равняться: w = φ / t = 3p / 42 = 0,22 рад/ч.

Сутки, то есть период обращения, будут определяться как полный период вращения, который можно разделить на число оборотов за это время. Формула для расчёта будет выглядеть следующим образом: T = t / N. Подставив значения, можно найти искомый период. Он будет составлять: T = 42 / 1,5 = 28 часов.

Осталось вычислить радиус, который равняется отношению линейной скорости к угловой: R = v / w. Так как в качестве ответов записывались примерные значения, то для предотвращения арифметической ошибки подставлять уже найденные числа не следует. Поэтому лучше подставить алгебраические выражения. Тогда: R = (l /t) / (φ / t) = l / φ = 50000 / 3p = 5305 км. Задача решена.