Содержание:

Формулировка и доказательство принципа Дирихле

В научных источниках и учебниках по математике встречаются различные формулировки утверждения, например:

«Если количество клеток n, а зайцев – m, причём m больше n, то найдется минимум одна клетка с более, чем одним зайцем».

Важно! Под клетками ученый понимает ограниченное множество, а зайцы – объекты внутри него, которые должны быть распределены в некотором порядке.

В англоязычных источниках распространено обозначение «принципа голубей и ящиков».

Следствием из принципа является утверждение, что при одинаковом количестве ящиков и птиц, в каждом ящике разместится только одно животное, если по нахождение в одном ящике нескольких особей исключено.

задачи на принцип дирихле

При решении задач с применением теории Дирихле необходимо понимать, какие элементы принять за гипотетических голубей, а какие – за условные ящики.

Доказать принцип можно так.

  • Пусть в n клеток требуется посадить (n + 1) животных.

  • При этом в каждой клетке должно сидеть только 1 кролик.

  • Вывод: общее количество кроликов составляет n.

  • Такого распределения быть не может, т.к. это не удовлетворят исходным данным. Значит, в какую-то клетку попадут 2 кролика одновременно.

Геометрическая трактовка касается габаритных размеров фигур (длина, площадь).

  • Если на рассматриваемом отрезке с длиной l располагаются другие отрезки (их сумма длин больше l), то хотя бы пара из них имеет точку пересечения.

  • Если в геометрическую фигуру площадью s помещены другие фигуры (сумма их площадей больше s), то хотя бы две из них пересекаются между собой.

В стереометрии можно аналогично применять принцип Дирихле на объемах фигур.

Решение задач на принцип Дирихле

Первые задачи на принцип Дирихле встречаются в школьной программе уже в среднем звене. Несмотря на аналогичность применения теорем, в каждом разделе есть свои нюансы использования утверждения.

Пример 1. Задание на обобщенное правило.

Машинистка напечатала 25 страниц текста и сделала 102 ошибки. Доказать, что будет хотя бы дна страница с более, чем четырьмя ошибками.

Пусть за «клетки» приняты страницы, за клетки – ошибки. Тогда:

25 × 4 = 100 – страниц.

Зная, что в тексте 102 ошибки, можно с делать вывод, что среди напечатанных есть минимум 1 страница с более, чем 4 ошибками.

Пример 2 Задание по геометрии.

Газон имеет форму равностороннего треугольника; длина стороны 3 м. На газоне высажен десяток ромашек. Доказать, что существует такая пара цветов, расстояние между которыми не превышает 1 м.

Для решения необходимо разделить исходный треугольник на 9 подобных со стороной 1 м. которые принимаются за клетки. В них необходимо рассадить 10 «кроликов»-ромашек.

10 – 9 = 1.

Следовательно, в какой-то треугольник попадет более 1 цветка, и они будут высажены не далее, чем в 1 м один от другого.

Пример 3. На плоскость квадрата 4 × 4 нанесли 15 точек.

Доказать, что можно найти квадрат 1 × 1, не содержащий ни одной точки.

В большом квадрате 4 × 4 может поместиться 16 маленьких квадратов 1 × 1. Если нет ни одного такого квадратика без точек, то точек должно быть минимум 16. По условию задачи, количество точек 15, значит, согласно принципу Дирихле, квадрат 1 × 1 без точек найти можно.