"Березовая" и "берестяная" однокоренные слова или нет?

Нет, эти слова однозначно не являются однокоренными.
Прилагательное "березовая" образовалось от существительного "береза". Корень будет "берез".
А прилагательное "берестяная" образовалось от существительного "береста". Общий корень будет "берест".
Предположительно эти слова имеют одинаковое этимологическое происхождение. Однако на данный момент они не однокоренные.