"Близжайший" или "ближайший" как правильно?

Правильно: ближайший.
1) Близ/к/ий - ближ/айш/ий, слово образовано как превосходная степень к "близкий", но оно может иметь и другие значения: первоочередный, непосредственный, прямой и др.
При образовании формы слова его основа усекается на суффикс К.
2) А откуда берется неправильное "близжайший"? Дело в том, что сочетание ЗЖ произносится как удлиненный звук Ж, поэтому во всех случаях необходима проверка морфемного состава слова.
Сравнить: позже - по(жж)е. Проверка: о/позд/ать - позж/е, корень ПОЗД/ПОЗЖ, чередование Д/Ж в корне, поэтому пишем сочетание ЗЖ.
3) Также есть слово "близлежащий" - расположенный вблизи, по соседству, в этом слове выделяется приставка БЛИЗ.