Внутренняя энергия идеального газа - формулы и примеры вычислений

Исторический экскурс

На середину XVII века приходится период расцвета экспериментальной физики. Во время опытов с заполненной ртутью стеклянной трубкой — прообразом барометра — Э. Торричелли в 1643 году обнаружил, что воздух имеет массу. Через девять лет в городе Магдебурге Отто фон Герике публично поставил эксперимент с медными полушариями, который наглядно продемонстрировал наличие атмосферного давления.

В 1662 году англичанин Р. Бойль установил, что при постоянной массе и температуре произведение давления газа на объём является величиной, которая не изменяется. Открытие стало одним из фундаментальных газовых законов, получившим имя Бойля-Мариотта.

В 1802 году французский академик Ж. Л. Гей-Люссак опубликовал статью, в которой сформулировал закон объёмов. По утверждению профессора химии, при постоянном давлении и массе между объёмом и температурой газа наблюдается прямо пропорциональная зависимость. При этом исследователь установил, что коэффициент изменения объёма одинаков для любой газовой среды.

В 30-х годах XIX столетия Гей-Люссак и офицер французской армии Николя Сади Карно независимо друг от друга объединили в одном уравнении законы Бойля-Мариотта и Шарля-Гей-Люссака. Однако математическому выражению, описывающему состояние газового тела, присвоили имя Б. Клапейрона, который в 1834 году подробно изложил идеи предшественников в мемуаре «О движущей силе огня». Во второй половине XIX века немецкий физик Р. Клаузиус опубликовал труды по теории термодинамики, где впервые ввел понятие «идеальный газ».

Значительным шагом в описании состояния идеального газа стал переход к универсальной газовой постоянной, которая обозначается физиками латинской буквой R. Первую математическую формулировку представил русский военный инженер И. П. Алымов в статьях, опубликованных в выпусках «Морского сборника» за 1861 и 1864 гг. Те же результаты получил Д. И. Менделеев в 1874 году.

Итогом работы великого русского химика стала формула идеального газа, которая в современной науке носит название уравнения Менделеева-Клапейрона:

P ∙ V = R ∙ T, где:

• P — давление газа.
• V — объём в молях.
• R — универсальная газовая постоянная.
• T — температура газовой среды.

Теоретическая формулировка

Элементарные частицы тела, обладая кинетической энергией, находятся в постоянном хаотическом движении. А также молекулы и атомы взаимодействуют между собой посредством электрических сил отталкивания и притяжения, что свидетельствует о наличии потенциальной энергии. Кроме того, энергией обладают электроны в атомах. Таким образом, тело наполнено силой, слагаемые которой имеют различную природу.

Компоненты внутренней энергии объекта, не подверженному внешнему воздействию:

• кинетическое движение частиц;
• потенциальное межмолекулярное взаимодействие;
• электронные силы;
• внутриядерная энергия.

При теоретическом изучении процессов термодинамики используется понятие «идеальный газ». Упрощённая модель газообразного тела, в отличие от реального газа, предполагает отсутствие гравитационного и электромагнитного взаимодействия между атомами вещества, а также не берётся во внимание энергия ядра. При этом движение молекул, которые представляются материальными точками, не имеющими объёма, ограничивается упругим соударением.

Теория термодинамики предлагает следующую формулировку: «В идеальном газе внутренняя энергия определяется суммарной кинетической энергией теплового движения составляющих его молекул». В Международной системе единиц СИ за единицу измерения энергии принят Джоуль.

В термодинамике главным свойством энергии является функция состояния системы в конкретный момент времени. Поэтому изменение энергии зависит от первоначальных и конечных параметров газового тела и происходит при совершении механической работы или путём теплопередачи. Если работа совершается самим газовым объектом, то внутренняя энергия уменьшается. В случае внешнего физического воздействия энергетический потенциал газового тела увеличивается.

Теплопередачей считается переход внутренней энергии без механического воздействия на газовую среду. Иногда этот процесс называют теплообменом. Существуют следующие разновидности явления:

• Теплопроводность.
• Конвекция.
• Тепловое излучение.

Теплопроводность веществ

При нахождении тела в области повышенной температуры, например, под пламенем горелки или в горячей воде, атомы начинают совершать интенсивные колебательные движения. Тем самым увеличивается кинетическая энергия соседних частиц и происходит постепенная передача теплоты от участка к участку. Таким образом, теплопроводностью называется перенос энергии от тёплых фрагментов объекта к холодным посредством теплового движения частиц среды.

Лучшими тепловыми проводниками являются металлы. Меньшую теплопроводность имеют жидкости, а хуже всего передают тепло газы. Предметы из плотного материала проводят тепло лучше, чем тела из пористого вещества.

Явление конвекции

Если в газообразную среду поместить горячий предмет, то нагретая субстанция устремится вверх. Освободившееся пространство заполнит газ с меньшей температурой. Аналогичное явление наблюдается в жидкостях.

Конвекцией называется перемещение внутренней энергии в процессе циркуляции газовых или жидкостных потоков, приводящей к перемешиванию вещества. За счёт конвекции, например, происходит обогрев помещений с помощью отопительных приборов. Перемещение воздушных масс в атмосфере также основано на принципах конвекции.

Тепловое излучение

Как известно, атомы состоят из заряженных положительно протонов, вокруг которых вращаются электроны, имеющие отрицательный заряд. Хаотическое движение элементарных частиц порождает электрические поля. Принято считать, что тепловое излучение является проявлением электромагнитных волн, которые возникают в результате теплового колебания атомов.

Тепловое излучение, способное распространяться в любом веществе и вакууме, испускает каждое тело. Влияние данного явления испытывает человек, который решил погреться под солнечными лучами. Наглядно увидеть тепловое излучение позволяют приборы ночного видения.

Математическое выражение

Согласно теоретическому определению идеального газа, внутренний потенциал слагается из кинетических энергий всех частиц. На языке математике это выражается следующей формулой:

U = N ∙ (Ek),

где: U — внутренняя энергия тела;

N — количество элементарных частиц;

Ek — кинетическая энергия одной молекулы.

Число молекул определяется по формуле:

N = ν ∙ NA,

где: ν — количество вещества;

NA — постоянная Авогадро, константа, равная 6,02 ∙ 10²³ моль^-1

Энергия движения молекулы вычисляется из уравнения:

Ek = (i/2) ∙ k ∙ T,

где: i — количество степеней свободы, которые полностью определяют пространственное положение системы;

k — постоянная Больцмана, значение которой равно 1,38 ∙ 10^-23 Дж/К;

T — температура объекта измеряется по абсолютной шкале Кельвина.

Постановка уравнений количества молекул и кинетической энергии в формулу даёт следующее выражение:

U = (i/2) ∙ ν ∙ k ∙ NA ∙ T.

Произведение постоянных величин (k ∙ NA) называется универсальной газовой постоянной R, которая равна 8,31 Дж/(моль ∙ К). Тогда формула изменения внутренней энергии газа принимает окончательный вид:

∆U = (i/2) ∙ ν ∙ R ∙ ∆T,

где ∆T — разница между начальной и конечной температурой газового тела.

Полная кинетическая энергия складывается из поступательного и вращательного движения частиц. В одноатомном газе отсутствует вращательное движение молекул. В многоатомном газе необходимо принимать во внимание вращение молекул. Соотношение поступательного и вращательного моментов учитывается законом распределения энергии по степеням свободы. Это правило утверждает, что на одну степень свободы i приходится ½ ∙ (k ∙ T) всей энергии.

Таблица 1. Зависимость числа степеней свободы от количества атомов в молекуле.

Решение практической задачи

Задача.

Термоизолированный баллон, заполненный водородом, чья молярная масса равна 2,00 г/моль, движется со скоростью 250 м/с. Как изменится газовая температура при мгновенной остановке сосуда, теплоёмкостью которого можно пренебречь?

Решение.

Полная энергия газового тела W складывается из энергии водорода U и кинетической энергии движущегося тела E, или W = U + E. При движении сосуда:

W₁ = U₁ + E₁ = [(i/2) ∙ ν ∙ R ∙ T₁] + [mv²/2] = [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₁] + [mv²/2],

где i = 5, так как молекула водорода состоит из двух атомов;

ν — является частным от деления массы газа m на молярную массу водорода M;

R — универсальная газовая постоянная;

T₁ — начальная температура газа;

v — скорость движения.

После остановки сосуда, когда E₂ = 0, полная энергия равна:

W₂ = U₂+ E₂ = [(i/2) ∙ ν ∙ R ∙ T₂] = [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₂], где T₂ — конечная температура газа.

Поскольку в термоизолированном баллоне не происходит теплообмена между окружающей средой и газом, то можно записать:

W₁ = W₂, или [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₁] + [mv²/2] = [(5/2) ∙ (m/M) ∙ R ∙ T₂].

Из полученного уравнения можно найти разность температур:

∆T = (v² ∙ M)/(5 ∙ R), или [(250)²∙ 2,0 ∙ 10ˉ³]/[5 ∙ 8,31] = 3 K.

Ответ. При мгновенной остановке баллона с водородом температура газа повысится на 3 градуса по шкале Кельвина.

Законы термодинамики изучаются в старших классах общеобразовательной школы. Понимание смысла теории идеального газа поможет на выпускном экзамене, а умение решать задачи облегчит применение знаний на практике.