Гармонические колебания - характеристика, закон и формулы

Трактовка понятий

Чтобы записать закон гармонических колебаний математическим способом, используются следующие формулы: х (t)= A sin (wt+f) и х (t)= A cos (wt+f). Через x вычисляется изменяющаяся величина. Для времени используется t. Трактовка остальных постоянных параметров:

• А — амплитуда колебаний (АК);
• w — циклическая частота колебаний (ЦЧК);
• (wt+f) — полная фаза;
• f — начальный период.

В дифференциальном виде уравнение гармонических колебаний записывается следующим образом: d²x/dt²+w²x=0. Нетривиальное решение такого примера — гармоническое колебание (ГК) с зависимостью от величины w. Если точка двигается по окружности равномерно, тогда любая её проекция на прямую будет лежать в этой плоскости. Условия, при которых могут происходить изменения, — воздействие силы тяготения небольшого груза, подвешенного на длинной нити. На практических занятиях по физике ученики используют маятник. Вместо нити может применяться пружина либо иное тело.

Для него характерны малые амплитуды. ГК под воздействием силы упругости способствует изменению состояния пружины. Аналогичные движения совершает балансир в механических часах. Если рассматривать материальную точку, она выполняет КГ в положении равновесия. При периодических колебаниях (ПК) движение характеризуется координатой.

Описание графика

Чтобы отобразить пружинные колебания, используется график, на котором показывается смещение тела со временем. На практике устанавливается к маятнику карандаш, а за ним бумажная лента. Последнее тело будет равномерно колебаться за счет перемещения. Можно провести опыт с помощью математического маятника.

В любом случае график ГК — синусоида либо косинусоида. По нему осуществляется определение характеристик вынужденного либо свободного колебания. В уравнении координата тела зависит от времени. На первом интервале косинус максимален, а синус равен нулю.

Если исследование начинать из положения полного равновесия, график повторяет синусоиду. При максимальном отклонении описывается косинус. Значение волны в разных точках определяется по формуле: w=π/2.

Ускорение и сила достигают максимальных пределов при нахождении тела в крайних точках. В таком положении существует вероятность, что колебания могут затухать.

Скорость в крайних положениях равняется нулю. При прохождении равновесия она достигает максимума. Если проанализировать момент возникновения движения, уравнение зависимости, можно прийти к выводу, что скорость максимальна при тригонометрическом множителе -1 либо 1. Значение показателя вычисляется по формуле: Vmax=Aw.

Применение маятников

Для вычисления энергии гармонических колебаний используются на практике разные приборы, включая осциллятор. Он представлен в виде математического маятника со специальной механической системой. Последние элементы находятся в невесомости, в однородном поле сил тяготения. Период незначительных вертикальных колебаний не зависит от амплитуды. Параметр вычисляется по следующей формуле: T=2π √l/g.

Если для опыта используется физический маятник, твердое тело смещается в поле конкретных сил относительно материальной точки, которая не является центром масс тела. Когда учитывается неподвижная ось, колебания перпендикулярны направлению действия сил и не проходят через центр масс тела. В некоторых точках значение равняется нулю либо достигают максимума.

Чтобы найти значение стоячей волны, потребуется рассмотреть колебания в системе с амплитудой узловой. Подобное явление наблюдается в результате отражения волны от преграды. Для расчёта учитывается количество фаз, частота, коэффициент затухания волны в точке отражения. Подобные колебания создают струны, воздух в трубе.

В среде могут встречаться и бегущие волны, которые подводят энергию к точкам её излучения/поглощения. Если строить график при создании движений в электромагнитном поле, учитываются особенности соответствующей волны.

Процесс считается последовательным. При этом у него установлена тесная связь с вектором напряжения, магнитным полем. Одновременно изменяется магнитное поле, провоцирующее колебания в электрическом поле. Чтобы теоретически описать природные явления, используется монохроматическая волна.

Отличие этой модели заключается в том, что в спектр входит только одна составляющая по частоте волна:

• строго гармоническая;
• имеет постоянную частоту;
• имеет начальную фазу;
• имеет амплитуду.

Для дисперсии света также характерны ГК. В процессе разложения света участвуют фазовые скорости и преломление в абсолютном значении. Теория открыта Ньютоном в 1672 году.

Классификация системы

Свободные колебания выполняются под воздействием внутренних сил системы после её вывода из равновесия. Чтобы движения были гармоническими, нужно описать линейное уравнение. В системе нет диссипации энергии. При её ненулевом значении в системе после возбуждения приходит затухание.

Вынужденные движения совершаются под влиянием внешней силы, но с периодическим характером. Чтобы процесс был гармоническим, потребуется привести колебательную систему в линейную. При этом внешняя сила может меняться периодически как гармоническое колебание. В таком случае зависимость времени от силы будет носить синусоидальный характер.

Часто маленькие ГК вынужденного и свободного типа происходят в настоящих системах. Они могут принимать форму стандартных колебаний либо близким к ним движениям. В 1822 году Фурье открыл широкий класс функций периодического класса, который раскладывается на сумму тригонометрических составных компонентов. Таким способом формируется ряд Фурье.

Согласно такому утверждению, любое периодическое движение представлено в виде суммы ГК с соответствующими амплитудами, начальными фазами и частотами. К слагаемым этой суммы относится гармоническое колебание, характерна минимальная частота. Она называется основной. Само колебание считается первичной гармоникой либо главным тоном. Частоты других слагаемых, ГК, кратны основной частоте.

Такие колебания называются максимальными гармониками либо обертонами. Они могут быть первичными, вторичными. Приборы, функционирующие по такому принципу, обладают свойством линейности. Ученые установили связь воздействия и отклика, что называется устойчивой характеристикой системы. Подобная информация позволяет исследовать прохождение смещений, скачков, произвольных колебаний.

Если в задаче используется ускорение при свободном падении, учитывается постоянная величина g. Она равна 9.8. Другие формулы применяются в зависимости от неизвестных величин, заданных параметров.

Практические учебники издаются по отдельным темам, разделам физики. Так как уравнение повторяет график синуса или косинуса, поэтому в практические занятия входят математические упражнения. Для некоторых координат характерны конкретные значения. Уравнение решается любым возможным математическим способом.