Центростремительное ускорение - формула, направление и физический смысл

Общие сведения

Явления, происходящие в окружающем мире, описываются рядом изменений, зависящих от времени и пространства. Простейшим видом такого процесса является движение, то есть изменение положения материальной точки относительно других окружающих объектов. Кинематика изучает любое перемещение, но при этом не выясняет вызвавших его причин. Несмотря на то что любое физическое тело имеет размеры, ими обычно пренебрегают, считая любое тело точкой.

Движение представляет собой векторную величину и является отрезком, соединяющим начальное положение с конечным. Путь же, пройденный точкой, считается скалярным и определяется как дуга траектории, пройденная телом за установленный промежуток времени.

Быстрота перемещения определяется скоростью, рассчитываемой от выбранной начальной системы отсчёта. Первую производную скорости, взятой по времени, называют ускорением.

Обозначать ускорение в физике условились латинской буквой «a». Находят параметр по формуле: a = dv / dt, где dV и dt — изменение скорости и времени. Существует несколько видов физической величины:

1. Тангенциальное (касательное) — характеризует изменение быстроты, направленной по касательной.
2. Центростремительное (нормальное) — наблюдается при перемещении как по окружности, так и по траектории, описываемой ненулевой кривизной.
3. Угловое — показывает, как изменяется угловая скорость за определённый промежуток времени, то есть относительно центра вращения к радиусу окружности.
4. Полное — складываемое из предыдущих видов ускорения.

Пусть имеется тело, которое движется по окружности. В начальный момент оно находилось в точке один, а после переместилось в точку два. Произошло это за время, равное Δt. За этот промежуток физический объект повернулся на угол f. Для описания процесса вводится понятие «угловая скорость». Обозначается она буквой гамма (w) и равняется углу, на который повернулось тело за единицу времени: w = f / Δt.

Простым примером нормального ускорения является движение по окружности. Вызывается оно силами, приложенными ортогонально вектору скорости. На чертеже его можно изобразить как вектор, перпендикулярный касательной пути в выбранной точке. Рассчитывается центростремительное ускорение по формуле: an = w ² * R, где w — угловая скорость, R — радиус кривизны. В векторном виде формула принимает вид: an = (V² / R) * e, где e — единичный вектор, рассчитываемый от центра кривизны к точке.

Вывод формулы

Математическое обоснование формулы для нахождения центростремительного ускорения при движении по окружности либо другой кривой траектории строится следующим образом. Величина убыстрения вычисляется, когда направление ускорения меняется, а вектор же всегда направлен к центру, причём его модуль равняется квадрату скорости, делённому на радиус: a = V² / r.

Можно представить спутник, который движется по круговой орбите вокруг Земли. Некоторые космические тела описывают окружность и вращаются против часовой стрелки. Радиус-вектор удобно определить как функцию времени. Он изменяется при вращении тела по окружности P(t). Итак, за начало координат можно взять точку, обозначающую планету Земля и провести через неё координатные оси.

Нужно определить вектор между положительной полуосью P(x) и радиус-вектором Q. Орбита имеет радиус R, величина которого постоянна. Модуль изменяющегося радиус-вектора будет равняться r || p (+)|| = r. Чтобы записать вектор через компоненты, используются основы тригонометрии, позволяющие выполнить разложение по базису.

В какой-то момент времени радиус-вектор будет обладать модулем r. Его угол равняется по иксу компоненте r * cosQ, а по игреку — r * sinQ. Параметр в любой момент может быть выражен через сумму икс и игрек компонентов: p (t) = r * cosQ (t) * I + r * sinQ (t) * j, где I — базис для икса компоненты, направленной вдоль оси ординаты, а j — параллельно оси абсциссы.

Производная от всего этого выражения и будет вектором скорости как функция от времени: V (t) = dp / dt = r (-sinQ (t)) * w * I + r * cosQ (t) * w * j. Сделав преобразования, можно получить выражение следующего вида: V (t) = -w * r (sinQ (t) * I — cos Q (t) * j). Теперь нужно взять производную от скорости, что является ускорением по времени: a (t) = dV / dt = =w * r * (cos (Q (t) * w * I + sin (Q (t) * w * j) = - w2 * r * (cos (Q (t) * I + sinQ (t) * j) = - w2 * p (t).

Таким образом, вектор ускорения как функция времени равняется отрицательному квадрату угловой скорости на радиус вектор. Теперь необходимо взять модуль обеих частей.

В итоге получится: ac = w ² * r = (V/r)² * r. Следует заметить, что направление центростремительного ускорения будет внутрь. В полученной формуле r сокращается и получается доказываемая формула: ac = V² / r.

Фактическое понятие

Пусть имеется физическая точка, совершающая равномерное движение по окружности. Чтобы найти направление, следует принять, что за промежуток времени t рассматриваемое тело переместится из точки А в точку Б. При этом скорость перемещения будет постоянной по модулю. Если нарисовать вектора скорости в точках А и Б, то можно найти вектор изменения скорости дельта V.

Для этого нужно рассмотреть треугольники АБО и БОВ. Так как они равнобедренные, то углы при их вершинах идентичные, согласно теореме о взаимно перпендикулярных сторонах. Отсюда следует, что треугольники подобны. Используя правило подобия, верным будет записать пропорцию: БС / ОА = БВ / АБ. Каждому отрезку соответствует свой физический параметр. Переходя к их обозначениям, полученное соотношение можно переписать в виде: V / r = ΔV / Δr. Следовательно, v = v * Δr / r. Если обе части равенства разделить на промежуток времени, определяющий, за сколько произойдёт смена положения с учётом того, что a = ΔV / t; V = r / t, то равенство примет вид: a = V * V / r = V² / r.

Если всё это изобразить на рисунке, то видно, что для определения ускорения нужно брать предел от Δt до бесконечности. Так как момент вращательный, то это значит, что угол w будет стремиться к нулю. Отсюда отрезок АБ стремится совместиться с АО, то есть вектор ускорения сонаправлен с изменением скорости.

Поэтому можно дать определение, что вектор ускорения при равномерном обращении всегда направлен к центру вращения, являясь, по сути, центростремительным.

Такого рода ускорение изменяет направление скорости, но оставляет неизменным её величину и является перпендикулярным вектору скорости. Как и любое убыстрение, за единицу измерения центростремительного ускорения берётся метр на секунду в квадрате, то есть единицы длины, делённые на квадрат единиц времени.

При решении задач часто также используется связь между угловой скоростью и линейной: a = V² / r = (w * r) / r = w² * r. Если провести аналогию дальше, то можно найти зависимость с равнопеременным прямолинейным движением: a = V — V 0 / t и равнопеременным перемещением по окружности: b = (w — w 0) / t = (v — v 0) / (r * t) = a / r .

Решение простых задач

После изучения теоретического материала важным этапом понимания темы является решение практических заданий. Существующие задачи можно разделить на элементарные и повышенного уровня. Учащимся в седьмом классе преподаватель задаёт для самостоятельного решения обычно несколько типовых заданий, научившись решать которые ученик получает не только практический опыт, но и понимает смысл изучения равнопеременного или равноускоренного движения.

Из наиболее типовых заданий можно выделить следующие:

1. На велотреке спортсмен проходит закруглённый поворот радиусом 25 метров. Необходимо рассчитать скорость велосипедиста, если известно, что его центростремительная скорость равняется четыре метра в секунду. Решение задачи выполняется по формуле ускорения: a = V² / R. Из неё можно выразить скорость: v = (4 * 25)^½ = 10 м/с.
2. С какой скоростью должен ехать автомобилист, чтобы пройти середину подъёма, имеющего доцентровое расстояние 22,5 метра, если его центростремительное ускорение и свободного падения должны равняться друг другу? Известно, что скорость связана с ускорением через формулу: V = √(a * R). Так как ускорение равняется величине свободного падения, то исходных данных хватает, чтобы их подставить в формулу и найти ответ: V = 10 * 22,5 = 15 м/с.
3. Скорость на экваторе земной поверхности при вращении Земли вокруг своей оси составляет два километра в секунду. Необходимо определить период вращения Земли и центростремительное ускорение физического тела, располагающегося на экваторе. Центробежной силой пренебречь. Для решения задачи необходимо знать радиус Земли. Он составляет приблизительно 6300 км. Используя основную формулу, можно вычислить ускорение: a = V² / R = 2² / 6 300 = 5,3 * 10^-3 км/с. Так как V = 2pR / V, то из формулы можно выразить период: T = 2 pR / V = (2 * 3,14 * 6,3 * 10⁸) / 2 * 10³ = 575 ч = 24 сут.

4. Как должен измениться радиус поворота колеса в автомобиле, если скорость движения машины составляет три метра в секунду, а ускорение — пять метров в секунду? Для удобства можно изобразить зависимость траектории движения на рисунке. На нём обозначить скорость и ускорение, указать начало системы координат в точке нахождения колеса. Одна ось получится направленной вдоль радиуса, а вторая — по касательной к окружности. Для решения задачи понадобится формула, связывающая скорость и ускорение: V² = a * R. Из неё можно выразить искомый радиус: R = V² / a = 32 / 5 = 1,8 метров.

Сложные задания

Элементарные задачи решать просто, понимая суть ускорения и зная формулы. Сложнее проводить вычисления, когда необходимо использовать несколько выражений и знать зависимость параметров между собой, а также единицы их измерения. Вот некоторые из таких примеров повышенного уровня.

Движение тела описано уравнением: k(t) = N (I * coswt + j * sinwt). Известно, что N равняется 0,5 метров, а w составляет пять радианов в секунду. Нужно вычислить скорость по модулю и модульное значение нормального ускорения. Решение задачи следует выполнять по следующему алгоритму:

1. Найти вектор скорости: V(t) = I * (drx / dt) + j * (dry / dt) = - i * Nw * coswt + j * Nw * sinwt.
2. Определить значение скорости, согласно начальным координатам: Vx = - i * Nw * coswt; Vy = j * Nw * sinwt.
3. Вычислить скорость по формуле: V = ( Vx ² + Vy ²)^1/2 = ((- Nw * cos²wt)² + (Nw * sinwt)²)^1/2 = ( N ² w ²)^1/2 = N * w = 2,5 метров в секунду.
4. Используя формулу ускорения, рассчитать ответ: a = I * Nw² * sinwt + j * Nw² coswt = A * w² = 12,5 метров, делённых на секунды в квадрате.

Пусть имеется точка, движущаяся по окружности с радиусом, равным двум метрам. Её путь описывается уравнением: j = At². Найти, в какой момент нормальное ускорение сравняется с тангенциальным и вычислить полное убыстрение тела. При этом А = 2 м/с², а центробежный момент мал и его можно не учитывать.

Для решения примера следует сначала выписать необходимые формулы.

Так, центростремительное ускорение точки определяется с помощью выражения: a = V ² / R = ( dS ( t )/ dt )² / R = (3 At ²)² / R. Тангенциальное ускорение вычисляется из выражения: at = d ² S ( t ) / d ²= A * t. Так как по условию ускорения равны, то можно записать равенство: ((3 At²)²) / R = 6 At. Отсюда можно выразить время: t = √‎(2 R /3 A ) = 0,874 секунды.

Полное ускорение точки вычисляется по формуле: a = √ a² n + a² t ‎ = √‎ 2 at = √‎ 2 * 6 * At = 14,82 м / с². Теперь можно рассчитать угловую скорость точки, она составит: w = (1/r) * ds(t) / dt = 3At2 / R = 2,289 и будет измеряться в радианах, делённых на секунду. Угловое же ускорение находится по формуле є = a / R = (6 * At) / t = 5,241 рад / с². Задача решена.