Формула Эйлера - доказательство, применение и примеры решения
Несмотря на простоту записи, эта формула несёт принципиально важную идею и находит применение почти во всех современных точных исследованиях и разработках.
Общие сведения
Формула Эйлера утверждает, что:
- i - мнимая единица, то есть корень квадратный из -1;
- e – экспонента, одна из важнейших математических констант, определяется выражением:
Формула, связывающая тригонометрические и функции экспоненциальные выражения, имеет множество применений. Она позволяет рассчитать некоторые выражения, решения которых невозможно или проблематично вычислить другим путём.
Необходимо лишь превратить исходные формулы в конструкцию, которая будет содержать удобные для проведения дальнейших операций функции.
Экспоненциальные и тригонометрические выражения обладают столь многочисленными свойствами, что имеют наиболее широкую область использования. Это делает неочевидную связь между ними особенно полезной.
История создания
Первым формулу опубликовал Роджер Котс, математик родом из Англии, в научном журнале, издаваемом Лондонским королевским обществом. Затем, формула была отображена в книге «Гармония мер», которую издали после смерти автора - в 1722 году. Котс не придал ей большого значения и отобразил среди геометрических построений. Чтоб полученное Котсом выражение приобрело привычный вид, необходимо исправить ошибку в знаке и перевести на современный язык описания математики.
Формулу в привычном для людей виде опубликовал Эйлер в статье 1740 года. В 1748 году выражение было также представлено в его книге «Введение в анализ бесконечно малых». Эйлер доказал формулу на основе бесконечных разложений составляющих формулы в степенные ряды.
Но учёные того времени не рассматривали геометрической интерпретации формулы, которая используется на сегодняшний день. Представление о комплексных числах в виде точек на комплексной плоскости, на основе которого строится геометрическая интерпретация равенства, появилось примерно на 50 лет позже в работах К. Весселя.
Доказательство формулы
Вывод формулы Эйлера можно выполнить, используя ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора при разложении функции в окрестности точки x=0. Раскладывая левую часть равенства, получится cтепенной ряд, в котором в различные степени будет возводиться мнимая единица. Необходимо вынести её, сформировав коэффициент перед x.
При расчёте степеней мнимой единицы удаётся получить интересный эффект: если степень чётная – можно её представить как умножение некоторого числа пар i*i, которые можно заменить на -1 (из определения мнимой единицы). А при умножении между собой отрицательных единиц возможны два случая, опять же исходя из чётности их количества. Если их число кратно 2, то получают просто единицу («минус на минус даёт плюс»). Если их нечётное число – получится -1.
С другой стороны, из всех членов, где мнимая единица стоит в нечётной степени, она выносится за скобки. В них останется выражение, подобное тому, которое вышло для чётных степеней.
Таким образом, чередование происходит дважды: по чётности степеней мнимой единицы, а следом – по чётности степеней -1, которые были получены вследствие первого шага. Получается циклическое изменение на каждые четыре члена суммы.
После разделения мнимых и вещественных членов последовательности и расстановки чередующихся знаков формируются две группы слагаемых, которые представляют собой разложения других функций – синуса и косинуса. При их подстановке получится равенство Эйлера.
Использование
Геометрическая интерпретация позволяет наглядно отобразить математические преобразования. Для этой цели используется комплексная плоскость. Она геометрически отображает комплексные величины: вдоль горизонтальной оси откладывается вещественная часть числа, а вдоль вертикальной – мнимая. Таким образом, число отражается точкой с координатами, представляющими собой вещественную (Re) и мнимую (Im) его части. Часто для удобства используется вектор, проведённый из начала координат в эту точку (радиус-вектор). Несложно понять, что его координаты совпадают с координатами той самой точки.
В геометрической интерпретации рассматривается единичная окружность (радиус равен единице). Для любой точки, принадлежащей окружности, можно построить прямоугольные треугольники, опуская перпендикуляры на оси координат. Это позволяет сделать переход в полярную систему координат, которая удобна для пояснения другой формы числа.
В ней положение точки определяется не расстояниями, отложенными на осях, а длиной вектора, проведённого в точку из начала координат и углом поворота относительно оси (вещественной).
Из свойств прямоугольного треугольника следует, что синус используемого угла равен отношению мнимой части числа (противолежащего катета) к длине вектора (гипотенузе). Так как длина гипотенузы равна единице (радиус окружности), то мнимая часть числа равна синусу угла. Аналогично вдоль вещественной оси откладывается расстояние, равное косинусу этого угла. Теперь для получения числа в новом виде осталось только сложить его части, не забыв умножить мнимую на i. Таким образом, исходное число равно:
Последняя конструкция в точности повторяет выражение, стоящее в правой части равенства Эйлера. Значит, благодаря ей появляется возможность отобразить комплексную величину по-новому – через экспоненту:
Комплексный анализ
Формула играет важную роль в комплексном анализе. На её основе строится связь тригонометрической и показательной форм записи комплексного числа, которая отображена в только что полученной формуле.
Нельзя ограничиваться единичной окружностью. Как отобразить любую точку комплексной плоскости в новом виде? Можно это представить очень просто: будет изменяться радиус. Тогда числа, выраженные через синус и косинус, будут умножаться на длину гипотенузы (радиус окружности). Эта длина называется модулем комплексной величины, а угол поворота – аргументом.
Модуль обозначается так же, как и обычный модуль для вещественного числа, ведь он представляет просто более общий случай. В то же время для аргумента стало использоваться новое обозначение – arg.
И синус, и косинус умножаются на модуль. Следовательно, его можно вынести за скобки. Что осталось в скобках? – Всё та же правая часть любимой формулы. Можно заменить содержимое скобок на экспоненту.
Таким образом, имеется три формы записи комплексного числа:
- алгебраическая;
- тригонометрическая;
- показательная.
Последние две связаны между собой за счёт формулы Эйлера. Зачем их три? Новичку, как правило, приятно использовать алгебраическую, ведь она проще выглядит: лишь сумма двух чисел. Но некоторые операции очень сложно либо даже невозможно осуществить, используя лишь её.
Так что часто приходится переводить число из алгебраической формы в тригонометрическую, которая имеет ряд полезных особенностей. А вот перейти к показательной форме от тригонометрической не составит труда – копируется аргумент числа и вставляется в степень e, умножив на i.
Производные формулы
Формула Эйлера выражает экспоненту через тригонометрические функции, но можно получить и обратное преобразование. Применимость её для таких целей очевидна. Заменяют x на –x. Косинус – чётная функция, синус – нечётная. В результате замены происходит изменение знака перед синусом.
Сложение и вычитание полученных выражений приводит к уравнению, с одной стороны которого располагается удвоенный косинус или синус, а с другой – комбинация экспонент. Выразить отсюда тригонометрическую функцию не составит труда.
Эти формулы имеют большое значение при работе с преобразованиями комплексных величин. Например, они могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной.
При обычном рассмотрении тригонометрических функций не удаётся получить значения для комплексного аргумента, зато есть возможность поставить такое значение в только что полученную формулу. В результате преобразований можно получить значение, которое выражается лишь через косинусы и синусы вещественной переменной, а также гиперболические косинусы и синусы, опять же, с вещественными аргументами.
Таким образом, для получения значений ряда функций комплексных используются следствия формулы Эйлера.
Пример применения:
Также эти формулы значительно упрощают некоторые расчёты. С их помощью можно получить многие тригонометрические тождества путём проведения преобразований и дальнейшей обратной замены.
Кроме того, из формулы вытекает известное тождество Эйлера, которое связывает пять фундаментальных математических констант. Оно представляет собой частный случай при x=π. При подстановке числа π синус обращается в 0, а косинус принимает значение 1.
Остаётся лишь перенести 1 в другую часть уравнения, чтоб получить все пять констант в явном виде.
Тождество было опубликовано Эйлером в 1740 году и вызвало общественный резонанс. Имели место даже попытки мистического толкования как символа единства математики. Ведь тождество связывает величины, произошедшие из разных разделов математики:
- нуль и единица - из арифметики;
- число π - геометрии;
- мнимая единица (i) - алгебры;
- число Эйлера (е) - из математического анализа.
Наглядное доказательство
Существуют альтернативные доказательства, как для почти любых математических выражений. Более наглядное отображение может дать рассмотрение производной выражения в показательной форме, а именно от числа с модулем, равным единице.
Производная экспоненты равна той же самой экспоненте, но с одним изменением: необходимо умножить её значение, на которое умножался аргумент в степени.
Умножение на i аналогично повороту на 90 градусов. Полученный угол даёт возможность провести аналогию с центростремительной силой – подтверждается то, что точка движется по окружности с центром в начале координат. Но в то же время, для этой же окружности действует отображение точек через сумму косинуса и синуса. Отсюда вытекает взаимное соответствие комплексной экспоненты и тригонометрических функций.
В науке и технике
В комплексном анализе для возведения числа в степень его переводят в тригонометрическую или показательную форму. Например, возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме легко произвести, пользуясь формулой Муавра. Тем не менее, показательная форма позволяет сократить объёмы записей, не усложняя их. Так что имеет смысл проводить промежуточные расчёты, используя именно её. Хотя для простых случаев есть возможность просто вычислять корни и степени с помощью онлайн-калькуляторов. Они тоже используют переходы между формами комплексного числа.
Согласно формуле Муавра, при возведении комплексного числа в степень необходимо возвести в эту степень модуль числа и умножить аргумент на тот же показатель степени. Для вычисления корня производятся аналогичные операции: взятие корня и деление соответственно.
Но для получения всех корней необходимо учитывать возможность сдвига аргумента 2π и кратные ему значения (при повороте на полный оборот попадают в ту же точку – то же число). В связи с этим, при взятии корня образуется также множество результатов, но сдвиг между ними в равное показателю корня раз меньший. Следовательно, на каждый оборот приходится несколько корней, что необходимо учитывать в большинстве расчётов.
Ещё более широкие перспективы открываются благодаря свойству экспоненты при дифференцировании и интегрировании переходить самой в себя. Задачи решаются на порядок проще, чем при проведении вычислений с тригонометрическими функциями. Как следствие, показательная форма комплексного числа и формула Эйлера широко применяются в физике и технике, а также множестве программных алгоритмов.
Все тесты
- Биология
- Литература
- Обществознание
- Пунктуация
- Фонетический разбор
- Пушкин А.С
- Религия
- Карьера
- Информатика
- Физика
- Окружающий мир
- Стихи
- Математика
- Сочинения
- История
- ОБЖ
- Экономика
- Биографии
- Анализ стихотворений
- Русский язык
- Краткие содержания
- Физкультура
- Орфография
- География
- Помощь студенту
- Подготовка к ЕГЭ
- Тест на тему Что такое “железное легкое” и как жилось узникам аппарата 5 вопросов
- Тест на тему Суть и методы клеточной инженерии 5 вопросов
- Тест на тему Злаковые растения - общая характеристика, признаки и список представителей 7 вопросов
- Тест на тему Семейство бобовые - общая характеристика, строение и представители 7 вопросов
- Тест на тему Образы чиновников в комедии “Ревизор” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Роль образа вишневого сада в пьесе А. Чехова 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика профессора Преображенского в повести “Собачье сердце” М. Булгакова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа городничего в комедии “Ревизор” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа главного героя “Доктора Живаго” Б. Пастернака 5 вопросов
- Тест на тему Образ Цыганка в повести “Детство” М. Горького 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика Вани Солнцева в повести “Сын полка” В. Катаева 5 вопросов
- Тест на тему Образ автора в поэме "Василий Теркин" А. Твардовского 5 вопросов
- Тест на тему Образ портрета в повести "Портрет" Н. В. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа девушки-ундины из “Героя нашего времени” М. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Натальи Савишной в повести “Детство” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Костылина из “Кавказского пленника”. Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Карла Ивановича в повести “Детство” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Жилина в “Кавказском пленнике” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Дины из “Кавказского пленника” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Вулича из “Героя нашего времени” М. Лермонтова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов татар в “Кавказском пленнике” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа профессора Пирогова в рассказе “Чудесный доктор” А. Куприна 5 вопросов
- Тест на тему Народные образы героев в сказе «Серебряное копытце» П. Бажова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Акакия Акакиевича Башмачкина из “Шинели” Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов Лели и Миньки в одноименном рассказе М. Зощенко 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Сотникова из повести “Сотников” В. Быкова 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов родителей в повести “Детство” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа Флягина в “Очарованном страннике” Н. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ комедии «Мещанин во дворянстве» Мольера 5 вопросов
- Тест на тему Описание образов героев рассказа “Галоша” М. Зощенко 5 вопросов
- Тест на тему Образ полковника - отца Вареньки из рассказа “После бала” Л. Толстого 5 вопросов
- Тест на тему Образ шинели в повести Н. В. Гоголя "Шинель" 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта Алексея Васильевича Кольцова 5 вопросов
- Тест на тему «Вечный зов» А. Иванова - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему «Убийство в восточном экспрессе» А. Кристи - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему Образ бабушки в повести «Детство» М. Горького 5 вопросов
- Тест на тему Описание образа барыни в рассказе «Муму» И. Тургенева 5 вопросов
- Тест на тему Главные произведения, написанные Александром Блоком 5 вопросов
- Тест на тему История создания песни “В лесу родилась елочка” 5 вопросов
- Тест на тему История создания поэмы “Двенадцать” А. Блока 5 вопросов
- Тест на тему История создания повести “Белые ночи” Ф. Достоевского 5 вопросов
- Тест на тему История создания балета «Щелкунчик» 5 вопросов
- Тест на тему "Пророк" - сравнительный анализ стихотворений А.С. Пушкина и М.Ю. Лермонтова 6 вопросов
- Тест на тему «Мика Морозов» - описание картины Валентина Серова 5 вопросов
- Тест на тему Любовная лирика С.А. Есенина - особенности и анализ творчества 5 вопросов
- Тест на тему История создания рассказа «Бежин луг» И. Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему История создания пьесы «Вишневый сад» А. Чехова 6 вопросов
- Тест на тему История создания поэмы «Русские женщины» Н. Некрасова 6 вопросов
- Тест на тему История создания рассказа «Левша» Н. Лескова 5 вопросов
- Тест на тему История создания романа “Что делать” А. Чернышевского 7 вопросов
- Тест на тему История создания рассказа “После бала” Л. Толстого 7 вопросов
- Тест на тему История создания повести “Ася” И. Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про Михаила Лермонтова 7 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про Льва Николаевича Толстого 7 вопросов
- Тест на тему "Банты" - как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Конечно же» - выделяется ли слово запятыми? 5 вопросов
- Тест на тему «Подчеркивать» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Лифты» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Строку» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Апостроф» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Зубчатый» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Прозорлива» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Балашиха» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Реку» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Полно» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Говорено» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Досыта» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Упрочение» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Развила» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Подолгу» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Логин» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Окон» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Втридорога» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Утра» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Запломбированный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Цыган» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Шарфы» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Бармен» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Положенный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Крадущийся» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Донизу» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Явишься» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Ободрить» - как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Предприняв» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Прочтено» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Низок» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Исчерпать» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Роба» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Исчерпывающий» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Будучи» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Понятым» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Повторен» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Изредка» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Донельзя» − как ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Загодя» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Принужден» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Опошлить» − как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Краны» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Торты» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Инструмент» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Брало» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Забрала» − как правильно ставить ударение? 5 вопросов
- Тест на тему «Отзыв» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Рефлексия» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему Образ Шарикова в повести «Собачье сердце» М. Булгакова 5 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести «Невский проспект» Н. Гоголя 5 вопросов
- Тест на тему Московские главы в романе «Мастер и Маргарита» Булгакова 7 вопросов
- Тест на тему Описание образа бирюка из рассказа И. Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему Образы героев в романе «Отцы и дети» И. Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему Образы героев в повести «Котлован» А. Платонова 7 вопросов
- Тест на тему Образы героев в пьесе «Гроза» А. Островского 7 вопросов
- Тест на тему История создания повести Н. В. Гоголя “Шинель” 7 вопросов
- Тест на тему История создания сборника рассказов Тургенева “Записки охотника” 7 вопросов
- Тест на тему История создания повести "Муму" Ивана Тургенева 7 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения "Реквием" Анны Ахматовой 10 вопросов
- Тест на тему История создания повести Гоголя "Тарас Бульба" 10 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения Пушкина "Деревня" 6 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения М. Лермонтова “Нищий” 7 вопросов
- Тест на тему История создания стихотворения "Она сидела на полу" 7 вопросов
- Тест на тему История создания Пушкиным стихотворения "К морю" 6 вопросов
- Тест на тему История создания повести «Станционный смотритель» А. Пушкина 10 вопросов
- Тест на тему История создания «Оды на день восшествия» М. Ломоносова 7 вопросов
- Тест на тему Тайны убийства Петра Столыпина 5 вопросов
- Тест на тему Отмена подушной подати на Руси 5 вопросов
- Тест на тему Период регентства Елены Глинской: события и реформы 5 вопросов
- Тест на тему Экономика России в годы Первой мировой войны 5 вопросов
- Тест на тему Битва при деревне Лесной 28 сентября 1708 года 5 вопросов
- Тест на тему 10 любопытных фактов про Рождество 5 вопросов
- Тест на тему 10 любопытных фактов про Новый год 5 вопросов
- Тест на тему История потешных полков Петра Первого 5 вопросов
- Тест на тему Образование и распад тушинского лагеря при Лжедмитрии II 5 вопросов
- Тест на тему Чем ведал и какие функции выполнял Разрядный приказ? 5 вопросов
- Тест на тему Задачи и направления внешней политики России в 16 веке 5 вопросов
- Тест на тему Установление и отмена бессрочного сыска беглых крестьян на Руси 5 вопросов
- Тест на тему История создания и деятельности Вольного экономического общества 5 вопросов
- Тест на тему Период правления Вещего Олега: внешняя и внутренняя политика 5 вопросов
- Тест на тему Правление и политика князя Игоря 5 вопросов
- Тест на тему Суть и последствия Нерчинского договора России с Китаем 1689 года 5 вопросов
- Тест на тему Причины, ход и итоги войны за польское наследство 1733-1735 гг. 5 вопросов
- Тест на тему Восстановление экономики СССР после Великой Отечественной Войны 5 вопросов
- Тест на тему Как и зачем были созданы полки иноземного строя 5 вопросов
- Тест на тему Создание стрелецких войск при Иване Грозном 5 вопросов
- Тест на тему Причины, ход событий и итоги выступления старообрядцев при Петре I 7 вопросов
- Тест на тему Как и почему началась Ливонская война: основные причины 5 вопросов
- Тест на тему К чему привела опричнина Ивана Грозного: последствия для страны 5 вопросов
- Тест на тему Положение черносошных крестьян на Руси 5 вопросов
- Тест на тему История Астраханского восстания: причины, события, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Деятельность Великого посольства Петра I 5 вопросов
- Тест на тему Герои отечественной войны 1812 года - характеристика участников и полководцев 5 вопросов
- Тест на тему Развитие системы образования и науки в первой половине 19 века 6 вопросов
- Тест на тему Первые князья Киевской Руси - даты правления и особенности проводимой политики 7 вопросов
- Тест на тему Характеристика, периоды развития жизни в Палеозойскй эре 7 вопросов
- Тест на тему История праздника 23 февраля - происхождение и значение для России 7 вопросов
- Тест на тему Кто придумал отмечать 8 марта: история праздника 8 вопросов
- Тест на тему Славянские праздники - список праздников, обрядов и обычаев славян 10 вопросов
- Тест на тему Биография поэта и писателя Льва Рубинштейна 5 вопросов
- Тест на тему Биография президента Белоруссии Александра Лукашенко 5 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про Афанасия Фета 5 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про Ивана Тургенева 5 вопросов
- Тест на тему Биография писателя и поэта Вячеслава Урюпина 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта Николая Михайловича Рубцова 5 вопросов
- Тест на тему Биография поэта Андрея Дмитриевича Дементьева 5 вопросов
- Тест на тему Биография президента РФ Владимира Путина 5 вопросов
- Тест на тему Биография и личная жизнь Даниила Хармса 5 вопросов
- Тест на тему Краткая биография Валентины Осеевой 5 вопросов
- Тест на тему Григорий Остер: биография писателя и избранные произведения 7 вопросов
- Тест на тему Елена Благинина: творческая биография и личная жизнь 10 вопросов
- Тест на тему Биография детской писательницы Ирины Пивоваровой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Догорел апрельский светлый вечер…» И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Фонтан» Ф. Тютчева 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Посмотри - какая мгла» Я. Полонского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Школьник» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Несжатая полоса» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему «Весенний дождь» - анализ стихотворения А.А. Фета 7 вопросов
- Тест на тему «Поет зима - аукает» - анализ стихотворения С.А. Есенина 7 вопросов
- Тест на тему Сообщение на тему: «Традиции русской речевой манеры общения» 5 вопросов
- Тест на тему Определение и виды простых осложненных предложений 5 вопросов
- Тест на тему Какие бывают виды текстов? 5 вопросов
- Тест на тему Образование и правописание страдательных причастий настоящего времени 5 вопросов
- Тест на тему Как определить начальную форму прилагательного? 5 вопросов
- Тест на тему Местоимение-прилагательное в русском языке 5 вопросов
- Тест на тему Сборник правил по русскому языку для 6 класса 7 вопросов
- Тест на тему Сборник правил по русскому языку за 5 класс 7 вопросов
- Тест на тему Упражнения для тренировки школьников 7 класса по причастному обороту 9 вопросов
- Тест на тему Тест: Склонение фамилий в русском языке 7 вопросов
- Тест на тему Общеупотребительные и необщеупотребительные слова 5 вопросов
- Тест на тему Дефисное и слитное написание сложных прилагательных 5 вопросов
- Тест на тему Морфологический разбор числительного - правило и примеры 5 вопросов
- Тест на тему «Акула» Л. Толстого - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему Русская народная сказка «Хвосты» - краткое содержание 5 вопросов
- Тест на тему Краткое содержание оперы «Снегурочка» Римского-Корсакова 5 вопросов
- Тест на тему «Обезьяний язык» М. Зощенко – краткое содержание 10 вопросов
- Тест на тему «Сердце не камень» - краткое содержание пьесы А.Н. Островского 5 вопросов
- Тест на тему Балет «Щелкунчик» — краткое содержание 7 вопросов
- Тест на тему Реферат по физкультуре на тему: «Здоровое питание» 5 вопросов
- Тест на тему История развития лыжного спорта в разных странах - классификация и интересные факты 6 вопросов
- Тест на тему Важность самоконтроля при занятиях спортом 5 вопросов
- Тест на тему Как выполняются прыжки через козла? 5 вопросов
- Тест на тему Что такое здоровый образ жизни? 5 вопросов
- Тест на тему Как правильно выполнять кувырки? 5 вопросов
- Тест на тему Развитие гибкости тела: упражнения и польза для тела 5 вопросов
- Тест на тему Виды и польза прыжков через скакалку 5 вопросов
- Тест на тему Какие есть зимние виды спорта? 5 вопросов
- Тест на тему Реферат на тему: “Гимнастика как вид спорта” 8 вопросов
- Тест на тему Реферат по физкультуре на тему “Футбол” 7 вопросов
- Тест на тему Реферат по физкультуре на тему: “Баскетбол - виды и лиги” 7 вопросов
- Тест на тему Реферат на тему «Лыжный спорт» 10 вопросов
- Тест на тему Реферат по физической культуре «Формы и виды закаливания» 10 вопросов
- Тест на тему Правописание слов с непроверяемой безударной гласной в корне 5 вопросов
- Тест на тему Нужно ли ставить запятую к фразе - "с уважением"? 5 вопросов
- Тест на тему «Во-вторых» или «во вторых» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему "Нету" или "нет" - как правильно писать и говорить? 5 вопросов
- Тест на тему «Не я» или «нея» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Полным-полно» или «полным полно» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Как пишется «кто-нибудь» или «кто нибудь»? 5 вопросов
- Тест на тему Мягкий знак после шипящих в глаголах - правила, примеры 5 вопросов
- Тест на тему «Потвёрже» или «по твёрже» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Какой-то» или «какой то» – как пишется правильно? 5 вопросов
- Тест на тему «Мало-помалу» или «мало помалу» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «По-осеннему» или «по осеннему» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему "Находу" или "на ходу" - слитно или раздельно писать? 5 вопросов
- Тест на тему "ЮлИчка" или "ЮлЕчка" - как правильно писать? 5 вопросов
- Тест на тему «Не пойму» или «непойму» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Доброе утро» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Почему-то» или «почему то» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «На вынос» или «навынос» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Невежливо» или «не вежливо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Негодуя» или «не годуя» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КуриНый» или «куриННый» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ТеННис» или «теНис» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ТумаННый» или «тумаНый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЗамечеННый» или «замечеНый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Семнадцать» или «семЬнадцать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВыздОравливающий» или «выздАравливающий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Свеж» или «свежЬ» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СлаЩе» или «слаДЧе» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПрЕтерпевать» или «прИтерпевать» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Удастся» или «удастЬся» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СписаНо» или «СписаННо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Происшествие» или «проишествие» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НачИнающий» или «начЕнающий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Невозможно» или «не возможно» – как пишется слитно или раздельно? 5 вопросов
- Тест на тему «Налету» или «на лету» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Надолго» или «на долго» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПьющАя» или «пьющЕя» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Неужели» или «не ужели» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НИкого» или «нЕкого» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «БаССейн» или «баСейн» − как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему "Не согласованно" или "несогласованно" - слитно или раздельно? 5 вопросов
- Тест на тему «ОбстОятельствам» или «обстАятельствам» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОбижеННый» или «обижеНый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Аллах» или «Алах» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «БелОрусский» или «белАрусский» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЧИсло» или «чЕсло» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «УвЕряющий» или «увИряющий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НенасТный» или «ненасный» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Постричь» или «поДстричь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «КоЛея» или «коЛЛея» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика природных зон Поволжья 5 вопросов
- Тест на тему Для каких рек в России характерно летнее половодье? 5 вопросов
- Тест на тему Как правильно заполнять дневник наблюдения за погодой 5 вопросов
- Тест на тему Влажные экваториальные леса - особенности климата, характеристика флоры и фауны 7 вопросов
- Тест на тему Европейский север России - географическое положение, особенности развития предприятий и промышленности 7 вопросов
- Тест на тему Что такое масштаб карты и как его определять 7 вопросов
- Тест на тему Особенности и примеры островных государств 5 вопросов
- Тест на тему Природные зоны Южной Америки - характеристики и особенности 7 вопросов
- Тест на тему 10 интересных фактов про океан 7 вопросов
- Тест на тему Сектор Газа: где он находится и откуда такое название? 6 вопросов
- Тест на тему Что нужно сдавать на бухгалтера? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на пилота 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на фотографа? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на хореографа? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на актера? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на режиссера? 5 вопросов
- Тест на тему Что нужно сдавать на художника? 5 вопросов
- Тест на тему Что нужно сдавать для поступления на визажиста? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на полицейского? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы нужно сдавать на фармацевта? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы сдавать для поступления на врача? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на учителя 5 вопросов
- Тест на тему Кадетский корпус - как поступить, чему учат и условия для проживания 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы к поступлению на психолога? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы к поступлению на дизайнера? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на стюардессу? 5 вопросов
- Тест на тему Какие экзамены нужно сдавать на повара? 5 вопросов
- Тест на тему Какие предметы сдавать для поступления на программиста 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы сдавать экзамены на стоматолога? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы сдавать экзамены на маркетолога? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы сдавать экзамены на ветеринара? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы поступать на экономиста? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы к поступлению на юриста? 5 вопросов
- Тест на тему Готовы ли вы поступать на архитектора? 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к сочинению на тему: «Добро и зло в пьесе “Гроза” А. Островского» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к сочинению 15.3 из пьесы «Горе от ума» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к итоговому сочинению по рассказу «Матренин двор» А. Солженицына 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения ЕГЭ по роману «Мастер и Маргарита» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы к итоговому сочинению по рассказу «Куст сирени» 5 вопросов
- Тест на тему Аргументы для итогового сочинения ЕГЭ по «Гарри Поттеру» 5 вопросов