Призма - свойства, виды и формулы вычисления площади и объема геометрической фигуры

Трактовка понятий

Основание призмы представлено в виде двух граней (конгруэнтные многоугольники), лежащих в параллельных относительно друг друга плоскостях. К боковым граням (параллелограмм) относятся все стороны, кроме основания. Они объединяются в единую поверхность. Чтобы найти высоту, понадобится провести на рисунке отрезок, соединяющий плоскости с основаниями.

Для определения диагонали в многограннике понадобится соединить две вершины, которые принадлежат разным бокам. Другие составные элементы фигуры:

1. Сечение диагональное. Образуется при пересечении плоскости и призмы. В результате появляется ромб, прямоугольник, квадрат.
2. Ортогональное сечение. Получается в результате пересечения призмы и плоскости, перпендикулярной боковому ребру.

Для фигуры характерны некоторые особенности, включая основание в виде равных многоугольников. К свойствам призмы относятся равенство и параллельность боковых ребёр, представление граней в качестве параллелограммов. Объём призмы рассчитывается по следующей формуле: V=Sh, где V — объём, S — площадь основания, а h — высота.

Для вычисления площади призмы (полная поверхность) потребуется суммировать S бок. пов. и 2S основания. Если форма фигуры произвольная, тогда площадь вычисляется путём умножения периметра перпендикулярного сечения на длину ребра.

Классификация фигуры

Угол перпендикулярного сечения считается линейным при соответствующих рёбрах. Для его определения применяется транспортир. На практике встречается несколько схем построения фигуры, что зависит от вида призмы:

1. Если основанием является параллелограмм, тогда чертится параллелепипед.
2. Для прямой призмы характерно наличие боковых ребёр, перпендикулярных плоскости основания. Из этого утверждения вытекает следствие, что грани являются прямоугольными четырехугольниками. Другие фигуры считаются наклонными.
3. Правильная призма — прямая с основанием в виде соответствующих многоугольников. Если боковыми гранями являются кубы, то грани представлены в виде полуправильных многогранников.
4. Усеченная фигура имеет непараллельные основания.

Чтобы визуализировать четырёхмерный многогранник, используется диаграмма Шлегеля, развертка (объединение многоугольников малых размерностей, при этом грани разъединяются и разгибаются до их оказания в одной гиперплоскости). С помощью диаграммы можно рассмотреть треугольную, четырехугольную, пятиугольную, шестиугольную призму.

При вычислениях учитывается тип тела. Если фигура имеет сферическую симметрию, то вид тела не изменяется при его вращении в пространстве. Для двухсторонней симметрии характерна одинаковая длина правой и левой стороны относительно любой плоскости. Если симметрия нарушена, явление называется аритмией (ассиметрией). В машиностроении и компьютерных играх внешний вид детали отображается с помощью проекции — изометрия.

В геометрии встречаются следующие понятия:

1. Скрученная призма. Представлена в виде невыпуклого многогранника, который получается в результате деления граней диагональю и вращения верхнего основания. Если последний элемент напоминает треугольник, то фигура называется многогранником Шёнхардта.
2. Мозаика. Для неё характерна зеркальная симметрия.
3. Связанные многогранники. Первой фигурой является треугольная призма, а последующие представлены в виде пирамиды, цилиндра, последующих однородных многогранников. Подобную теорию разработал Торольд Госсет в 1900 году.

Решение задач

На уроках геометрии ученики решают задачи на рассматриваемую тему разной сложности. Чтобы найти неизвестную, используются разные формулы. Задача № 1. Дана правильная 3-угольная призма со стороной основания 10 и высотой 15. Нужно найти S полной и боковой поверхности. Решение: так как фигура прямая, то ребро перпендикулярно основанию и соответствует высоте. Чтобы вычислить S, умножается периметр основания на высоту. S бок. пов.= Р осн h= 3х10х15=450 (кв.см).

Так как в основании находится правильный треугольник, его площадь находится путем умножения сторон на ½ и sin угла. Подставив данные, получаем 25 √3 (кв.см). S полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. пов.+2S осн.= 450+2х 25 √3=450+50√3.

Задача № 2. Дана наклонная четырёхугольная призма с боковым ребром в 12 см. В результате перпендикулярного сечения получается ромб со стороной в 5 см. Необходимо найти S бок. Решение: так как площадь боковой поверхности данной фигуры равняется произведению периметра сечения на ребро, в формулу подставляются данные.

По условию задачи, стороны ромба равняются 5 см. Периметр перпендикулярного сечения вычисляется по формуле: P=axb=5х4=20 (см). Чтобы вычислить S бок. пов., потребуется P умножить на длину бокового ребра. S бок. пов.=Pх12=240 (кв.см).

Экзаменационные примеры

Задача № 3. На чертеже находится прямая призма с основанием в виде равнобедренной трапеции. Основания последней фигуры равны 25 см и 9 см, а высота — 8 см. Необходимо вычислить двугранные углы при боковых рёбрах прямой призмы.

Решение: предварительно определяется понятие «двугранный угол». Для этого строится 2 плоскости α и β так, чтобы они пересекались по прямой СС1. Таким способом образуется двугранный угол с соответствующим ребром. Для определения его значения используется линейный угол.

Чтобы построить последнюю фигуру, понадобится поставить произвольную точку М на ребре. Через неё проводятся 2 перпендикуляра:

• один в плоскости β (для его обозначения используется b);
• второй в плоскости α (обозначается как а).

Угол, который образуется между прямыми, будет считаться двугранным. Чтобы найти линейный угол при СС1, учитывается перпендикулярность ребра к плоскости. Из последнего следует, что ребро перпендикулярно каждой прямой из плоскости. Угол между прямыми будет линейным.

Аналогично можно доказать, что оставшиеся углы являются линейными и образуются сторонами трапеции. Для нахождения их градусной меры используются данные задачи. Дополнительно проводятся высоты в трапеции. По условию одна равняется 8 см. Чтобы найти вторую, учитывается свойство перпендикулярности. Из него вытекает, что прямые перпендикулярны основанию (значение 9 см). При этом они образуют параллелограмм.

Так как трапеция равнобедренная, то (25−9)/2=8 (см). Учитывая, что треугольник является не только равнобедренным, но и прямоугольным, его стороны образуют углы в 45 градусов. Так как трапеция равнобедренная, то два её угла равны 45 градусов каждый. Третий и четвёртый вычисляются следующим образом: 180 град — 45 град = 135 град.

В более сложных заданиях, с которыми могут столкнуться ученики на ЕГЭ, необходимо найти уровень жидкости после её перелива в другой сосуд. Задача № 4. В сосуд в форме правильной призмы налили воду. Её уровень равен 18 см. Нужно вычислить высоту уровня воды, если её перелить в другой аналогичный сосуд, но со стороной основания в 3 раза больше первого.

Решение: Если за сторону основания правильной призмы взять a, тогда S= a ²√¾. Объём воды во второй призме будет равен: V =18 xS =18 x a²√¾=9a²√3/2. Если перелить воду в другой сосуд с основанием 3а, тогда S=9√3a²/2. Записывается равенство: 9√3a²/2xh=9a²√3/2. Высота равняется 2 см.