Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Все формулы объема геометрических тел

Объем куба

Куб


Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба: 

V = a 3

где:

V - объем куба, 
a - длина грани куба.

Объем призмы

Призма

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:
Объем призмы

где:

V- объем призмы, 
So - площадь основания призмы, 
h - высота призмы.

Объем параллелепипеда

Параллелепипед

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:
Объем параллелепипеда

где:

V- объем параллелепипеда, 
So - площадь основания, 
h - длина высоты.

Объем пирамиды

Пирамида


Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

Формула объема пирамиды:

Объем пирамиды

где:

V - объем пирамиды, 
So - площадь основания пирамиды, 
h - длина высоты пирамиды.

Объем усеченной пирамиды

Усеченная пирамида


Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Формула объема усеченной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды


Где:

S1 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды,
S2 - площадь нижнего основания усеченной пирамиды,
h - высота усеченной пирамиды.

Объем цилиндра

Цилиндр


Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формула объема цилиндра:

V= π Rh

V= Sоh

Где:

V - объем цилиндра, 
So - площадь основания цилиндра, 
R - радиус цилиндра, 
h - высота цилиндра, 
π = 3.141592

Объем правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS).


Формула объема правильной треугольной пирамиды:

Объем правильной треугольной пирамиды

Где:

V - объем пирамиды;
h - высота пирамиды;
a - сторона основания пирамиды.

Объем конуса

Конус


Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H.

Формула объема конуса:

Объем конуса

Где:

V - объем конуса;
R - радиус основания;
H - высота конуса;
I - длина образующей;
S - площадь боковой поверхности конуса.

Объем усеченного конуса

Усеченный конус

Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов.

Формула объема усеченного конуса:

Объем усеченного конуса

Где:

V - объем усеченного конуса;
H - высота усеченного конуса;
R и R- радиусы нижнего и верхнего оснований.

Объем тетраэдра

Тетраэдр


Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

Формула тетраэдра:

Объем тетраэдра


Где:

V - объем тетраэдра;
a - ребро тетраэдра.

Объем шара

Шар

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе перемноженного на число пи.

Формула объема шара:

Объем шара


Где:

V  - объем шара;
R - радиус шара;
S - площадь сферы.

Объем шарового сегмента и сектора

Шаровой сегмент
      
Шаровой сектор



Шаровый сегмент - это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

Формула объема шарового сегмента:

Шаровый сегмент


Где:

R - радиус шара
H - высота сегмента
π ≈ 3,14

Формула объема шарового сектора:

Объем шарового сектора


Где:

h - высота сегмента
R - радиус шара
π ≈ 3,14

Объем прямоугольного параллелепипеда

Параллелепипед

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда


Где:

V - объем прямоугольного параллелепипеда, 
a - длина, 
b - ширина, 
h - высота.