Теорема Чевы и Менелая - доказательство, формулы, примеры

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина - точка, точка - вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B₁C₁ через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B₁CD и B₁AC₁. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B₁ между ними.

Углы B₁CD и B₁AC₁ равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA₁ и BC₁A₁ подобны, так как углы CA₁D и BA₁C₁ равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA₁ равен углу BC₁A₁, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C₁D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Так же выразим CD:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство: