Содержание:

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам, то есть прямой. Два других угла у него всегда острые. Если посмотреть на такой треугольник, сразу видно: одна вершина как бы «раскрыта» строго на четверть оборота, будто угол школьной тетрадной страницы.

Прямоугольный треугольник: один угол всегда равен 90 градусам

Главный признак: прямой угол

У прямоугольного треугольника ровно один угол равен 90°. Не больше и не меньше. Если в треугольнике два прямых угла, фигура вообще не сможет замкнуться — это противоречит самому устройству треугольника, ведь сумма всех трёх углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, оставшиеся два угла обязательно острые, то есть меньше 90°.

Проверить на глаз, прямой ли угол, можно приложив угольник или обычный прямой край листа бумаги. Если угол совпадает с прямым углом листа — перед тобой прямоугольный треугольник.

Гипотенуза и катеты

У прямоугольного треугольника стороны называются по-особому, и это стоит запомнить твёрдо.

  • Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла. Это всегда самая длинная сторона треугольника.
  • Катеты — две другие стороны, они образуют между собой тот самый прямой угол.

Легко запутаться, если не знать, на что смотреть. Правило простое: найди прямой угол, а сторону, которая к нему не прикасается, назови гипотенузой. Две стороны, которые сходятся в вершине прямого угла, — катеты.

На чертеже прямой угол обычно обозначают маленьким квадратиком в вершине. Это удобная подсказка: увидел квадратик — сразу понятно, где гипотенуза.

Как связаны острые углы

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90°. Это прямое следствие того, что сумма всех углов треугольника равна 180°, а один угол уже «забрал» 90° из этой суммы. Значит, на оставшиеся два угла делится ровно половина полного оборота.

Отсюда полезное следствие: если известен один острый угол, второй находится вычитанием из 90°. Например, если один угол равен 30°, второй обязательно равен 60°.

Чем прямоугольный треугольник отличается от других

Треугольники различают по углам. Вот сравнение трёх видов.

Вид треугольникаУглыОсобенность
Остроугольныйвсе углы меньше 90°нет прямого или тупого угла
Прямоугольныйодин угол равен 90°есть гипотенуза и катеты
Тупоугольныйодин угол больше 90°самая длинная сторона лежит против тупого угла

Прямоугольный треугольник занимает промежуточное положение между остроугольным и тупоугольным: угол ровно на границе, не меньше и не больше прямого.

Где встречается прямоугольный треугольник

Такой треугольник получается, если разрезать прямоугольник по диагонали — сразу два одинаковых прямоугольных треугольника. Лестница, приставленная к стене, вместе с полом и стеной образует прямоугольный треугольник: стена и пол — катеты, сама лестница — гипотенуза.

В школьных задачах прямоугольный треугольник встречается чаще других видов, потому что для него есть удобные формулы — например, теорема Пифагора, которая связывает длины катетов и гипотенузы. Но саму теорему и её доказательство разбирают отдельно, а для распознавания фигуры достаточно найти прямой угол.

Частые ошибки при определении треугольника

Иногда школьники путают катет с гипотенузой, если чертёж развёрнут непривычно — прямой угол не сверху, а снизу или в стороне. Ошибка легко устраняется, если не смотреть на расположение на листе, а искать сам прямой угол и квадратик-обозначение возле него.

Другая частая путаница — считать прямоугольным любой треугольник с «острым на вид» углом. На глаз 80° и 90° различить трудно, поэтому при решении задач лучше проверять угол транспортиром или опираться на данные в условии, а не на рисунок.

Вопросы и ответы о прямоугольном треугольнике

Может ли у треугольника быть два прямых угла?

Нет. Сумма всех углов треугольника равна 180°, а два прямых угла уже дали бы 180° без остатка — третий угол оказался бы равен нулю, и фигура просто не замкнулась бы. Поэтому прямой угол в треугольнике всегда один.

Как отличить катет от гипотенузы на чертеже?

Найди вершину с прямым углом — обычно она отмечена маленьким квадратиком. Две стороны, которые выходят из этой вершины, — катеты. Третья сторона, противоположная прямому углу, — гипотенуза, и она всегда самая длинная из трёх сторон.

Правда ли, что гипотенуза всегда длиннее катетов?

Да, это так. Гипотенуза лежит против самого большого угла треугольника — прямого, а против большего угла всегда лежит большая сторона. Поэтому гипотенуза длиннее каждого из катетов по отдельности.

Самое надёжное правило для запоминания: сначала ищи прямой угол, а не длинную сторону. Углы не обманывают, а стороны на плохом чертеже могут выглядеть почти одинаково.

Читайте также