Свойства и признаки параллельных прямых — 7 класс

Параллельные прямые — это прямые на одной плоскости, которые не пересекаются, сколько их ни продолжай. В геометрии есть два вида утверждений про такие прямые: признаки помогают доказать, что прямые параллельны, а свойства описывают, что из этого следует. Путать их не стоит — направление рассуждения разное.

Что такое секущая и какие углы она образует

Секущая — это прямая, которая пересекает две другие прямые. Если провести секущую через две прямые, получится восемь углов: по четыре в каждой точке пересечения. Эти углы делят на пары с особыми названиями.

• Накрест лежащие углы — находятся по разные стороны от секущей, между прямыми.
• Соответственные углы — находятся с одной стороны от секущей, один между прямыми, другой снаружи.
• Односторонние углы — находятся по одну сторону от секущей, оба между прямыми.

На эти три пары углов и опираются все признаки параллельности прямых.

Признаки параллельности двух прямых

Признак — это условие, при котором можно утверждать, что прямые параллельны, не проверяя это напрямую (провести обе прямые до бесконечности и посмотреть, пересекутся они или нет, всё равно не получится). В школьном курсе изучают три признака.

• Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
• Если сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Работает это так: чертишь две прямые и секущую, измеряешь или вычисляешь один из углов, сравниваешь с парным. Совпали накрест лежащие — прямые параллельны, доказательство готово. Не совпали — по этому признаку вывод сделать нельзя, но можно попробовать другой из трёх.

Свойства параллельных прямых

Свойство работает в обратную сторону: если прямые уже известны как параллельные, из этого факта можно получить сведения об углах и о пересечении с третьей прямой.

• Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она обязательно пересечёт и другую.
• При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
• Соответственные углы при этом тоже равны.
• Сумма односторонних углов равна 180°.

Заметно, что последние три пункта — это те же самые утверждения про углы, что и в признаках, только читаются в обратном порядке. В признаках равенство углов — причина, а параллельность — следствие. В свойствах параллельность — данность, а равенство углов — следствие. Это одна из главных путаниц у семиклассников, и на неё стоит обратить особое внимание при решении задач.

Признаки и свойства: в чём разница

Как применять эти правила при решении задач

В типовой задаче обычно даны две прямые и секущая с одним известным углом. Дальше два варианта.

Первый вариант: нужно доказать параллельность. Тогда находишь пару накрест лежащих, соответственных или односторонних углов, сравниваешь их значения (или сумму) и ссылаешься на нужный признак.

Второй вариант: параллельность уже дана в условии, и нужно найти неизвестный угол. Тогда используешь свойства — переносишь значение известного угла на парный или считаешь дополнение до 180°.

Частая ошибка — перепутать пары углов. Накрест лежащие лежат между прямыми, но по разные стороны от секущей, соответственные — с одной стороны, но один снаружи. Если перепутать пару, получится неверный вывод даже при правильной логике рассуждения. Помогает простое правило: перед тем как писать ответ, обязательно отметить на чертеже, какие именно углы сравниваются, буквами или дугами.

Ещё одна ошибка — использовать признак там, где нужно свойство, и наоборот. Если в условии написано «докажите, что прямые параллельны», работают признаки. Если написано «прямые параллельны, найдите угол», работают свойства.

Частые вопросы про параллельные прямые

Сколько всего углов образуется при пересечении двух параллельных прямых секущей?

Восемь углов: четыре в каждой точке пересечения секущей с одной из параллельных прямых. Среди них есть равные пары — накрест лежащие и соответственные, а есть пары, сумма которых равна 180° — односторонние.

Чем отличается признак параллельности от свойства параллельных прямых?

Признак используют, чтобы доказать параллельность прямых по известным углам. Свойство используют в обратной ситуации: прямые уже параллельны, и по этому факту находят значения углов. Формулировки почти совпадают, но направление логики разное.

Можно ли доказать параллельность прямых, если известен только один угол?

Одного угла недостаточно — нужна пара углов при секущей: накрест лежащие, соответственные или односторонние. Если дан только один угол без второго, для сравнения его находят через смежные или вертикальные углы, а затем уже применяют признак параллельности.

Проще всего запомнить так: признаки идут от углов к параллельности, свойства — от параллельности к углам. А путаница чаще всего возникает не в самой формуле, а в том, какую именно пару углов на чертеже сравнивают.

Читайте также

• Аксиома параллельных прямых: формулировка и смысл
• Перпендикулярные прямые - основные свойства, признаки и правила построения