Второй признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников звучит так: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Его называют признаком по стороне и двум углам, а в некоторых учебниках — признаком «угол-сторона-угол». Работает он наравне с двумя другими признаками равенства треугольников, и разница между ними — только в наборе элементов, которые сравниваются.

Что значит «сторона и два прилежащих угла»

Прилежащими к стороне называют те два угла треугольника, которые находятся на её концах. Например, если сторона называется AB, то прилежащие к ней углы — это угол A и угол B, а не угол C, который лежит напротив. Признак требует, чтобы совпадали именно сторона и оба угла, сидящих на её концах, а третий угол при этом сравнивать не нужно — он определяется автоматически, потому что сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам.

Важно сравнивать элементы в правильном порядке — то есть соответствующую сторону с соответствующей стороной, а угол при одном конце — с углом при том же самом конце в другом треугольнике. Если перепутать порядок соответствия, доказательство окажется неверным, даже если сами числовые значения углов и стороны совпадают.

Чем второй признак отличается от первого и третьего

В школьной геометрии есть три признака равенства треугольников, и все они отвечают на один вопрос — какого набора элементов достаточно, чтобы утверждать, что треугольники равны целиком, а не только частично похожи.

Путаница чаще возникает между вторым и третьим признаками, потому что оба звучат похоже — «набор из трёх элементов равен». Но во втором признаке набор смешанный: одна сторона и два угла. В третьем — только стороны, углы вообще не участвуют в условии, хотя из равенства сторон их равенство потом следует.

Как доказывать равенство треугольников по второму признаку

Порядок действий на практике обычно такой:

1. Найти сторону, которая точно равна соответствующей стороне другого треугольника — это может быть общая сторона, сторона, данная по условию, или сторона, равенство которой уже доказано на предыдущем шаге.
2. Показать, что углы, прилежащие к этой стороне с обоих её концов, равны соответствующим углам второго треугольника — например, потому что они вертикальные, накрест лежащие при параллельных прямых, или просто даны в условии равными.
3. Сослаться на второй признак равенства треугольников и сделать вывод, что треугольники равны целиком.

Пример: пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 сторона AB равна стороне A1B1, угол A равен углу A1, угол B равен углу B1. Тогда по второму признаку треугольник ABC равен треугольнику A1B1C1. После этого можно утверждать, что и оставшаяся сторона AC равна стороне A1C1, а угол C равен углу C1 — эти равенства не доказываются отдельно, они следуют из равенства треугольников.

Где второй признак применяют чаще всего

Этот признак удобен в задачах, где по условию или по чертежу легче найти два угла, чем сторону — например, когда речь идёт о параллельных прямых и секущей, о биссектрисах или о свойствах равнобедренного треугольника. Если в задаче есть параллельные прямые, накрест лежащие углы почти всегда подсказывают, что нужен именно этот признак, а не первый или третий.

Частая ошибка — попытка применить признак, когда равны сторона и углы, но угол не прилежит к этой стороне, а лежит напротив неё. Такой набор элементов не даёт равенства треугольников однозначно, и здесь второй признак не работает — нужно искать другой путь доказательства или дополнительные равенства.

Ещё одна распространённая ошибка — сравнивать элементы «на глаз» по чертежу, без опоры на условие задачи или доказанные факты. Равенство углов и сторон в доказательстве должно быть обосновано — ссылкой на условие, на свойство фигуры или на ранее доказанное утверждение, а не просто похожестью на рисунке.

Вопросы и ответы про признаки равенства треугольников

Можно ли доказать равенство треугольников по двум углам без стороны

Нет, двух углов недостаточно. Треугольники с одинаковыми углами могут быть разного размера — это будут подобные треугольники, но не равные. Для равенства обязательно нужна хотя бы одна сторона, причём именно прилежащая к обоим этим углам.

Как понять, какой угол прилежащий, а какой противолежащий

Прилежащий угол находится на конце стороны, то есть его вершина совпадает с одним из концов отрезка. Противолежащий угол — тот, что находится в вершине, не принадлежащей этой стороне, и смотрит на неё «снаружи». В треугольнике с вершинами A, B, C для стороны BC прилежащими будут углы B и C, а противолежащим — угол A.

Что делать, если в задаче даны сторона и один прилежащий угол, а второй угол неизвестен

Нужно попытаться вычислить второй угол через другие данные — например, через сумму углов треугольника, свойства параллельных прямых или равнобедренности. Если второй угол найти не удаётся, второй признак напрямую не применить, и стоит проверить, подходит ли к задаче первый или третий признак.

Второй и третий признаки равнения треугольников чаще всего путают из-за похожей формулировки «три элемента равны», но набор этих элементов у них разный: у второго — сторона и два угла, у третьего — только три стороны. Проще всего запомнить через буквенные обозначения — УСУ и ССС — тогда порядок букв сразу подскажет, что сравнивать в конкретной задаче.

Читайте также

• Равные треугольники: определение и признаки равенства
• Признаки подобия треугольников: три способа доказать подобие