Равными называются треугольники, которые можно совместить друг с другом наложением. Если один треугольник наложить на другой так, что все стороны и углы совпадут точка в точку, — треугольники равны. Это базовое определение геометрии, на нём строятся почти все доказательства в разделе про треугольники.

Равные треугольники: определение и признаки равенства

Что означает совмещение наложением

Представь, что один треугольник вырезан из бумаги. Если его можно положить точно на второй треугольник — вершина на вершину, сторона на сторону, — без зазоров и перекрытий, значит фигуры равны. Наложение можно мысленно выполнять с поворотом или переворотом фигуры: главное, чтобы в итоге контуры совпали полностью.

Отсюда следует важная вещь: равные треугольники не обязаны быть расположены одинаково на чертеже. Один может быть повёрнут, другой — зеркально отражён. Форма и размер у них одни и те же, а расположение в пространстве — разное.

Соответствующие стороны и углы

У равных треугольников совпадают не любые стороны и углы, а соответствующие. Это те элементы, которые накладываются друг на друга при совмещении фигур. У равных треугольников:

  • соответствующие стороны имеют одинаковую длину;
  • соответствующие углы равны по градусной мере.

Проще запомнить так: если треугольник ABC равен треугольнику A₁B₁C₁, то сторона AB равна стороне A₁B₁, сторона BC равна стороне B₁C₁, а угол при вершине A равен углу при вершине A₁. Порядок букв в записи равенства треугольников не случаен — он показывает, какая вершина какой соответствует.

Ошибка, которую часто допускают в тетради: считать, что если у двух треугольников просто есть три одинаковые стороны в наборе, но они «перепутаны местами» между вершинами, то треугольники автоматически равны. На самом деле важно совпадение именно соответствующих элементов, а не случайное совпадение чисел.

Признаки равенства треугольников

Проверять полное совпадение всех шести элементов (трёх сторон и трёх углов) неудобно и не нужно. Геометрия даёт признаки — минимальные наборы условий, из которых равенство треугольников следует автоматически. Их три.

ПризнакЧто даноСуть
По двум сторонам и углу между нимиДве стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, а угол между этими сторонами равен углу между соответствующими сторонами второго треугольникаУгол должен быть именно между заданными сторонами, а не при какой-то другой вершине
По стороне и двум прилегающим угламСторона одного треугольника равна стороне другого, а два угла, прилегающих к этой стороне, равны соответствующим углам второго треугольникаУглы берутся именно у концов данной стороны
По трём сторонамВсе три стороны одного треугольника равны трём сторонам другогоУглы можно не проверять — они получаются равными автоматически

Эти три признака обычно называют первым, вторым и третьим признаком равенства треугольников — именно в таком порядке их проходят в школьном курсе. Для доказательства равенства двух треугольников достаточно установить, что выполняется хотя бы один из признаков. Проверять всё остальное не требуется — это уже вытекает из признака.

Как признаки равенства применяют на практике

На чертежах признаки равенства треугольников используют, чтобы доказать, что два отрезка или два угла равны, даже если это не видно «на глаз». Например, если в задаче нужно показать, что диагонали в фигуре делят её на равные части, часто выделяют два треугольника и проверяют один из трёх признаков.

Возьмём пример. Пусть в треугольнике проведена медиана — отрезок от вершины к середине противоположной стороны. Она делит исходный треугольник на два маленьких. Если известно, что стороны, прилегающие к медиане с двух сторон, равны, а угол между ними и медианой совпадает, — это признак «две стороны и угол между ними», и маленькие треугольники равны. Отсюда сразу следует, что и другие их элементы (углы, третьи стороны) тоже равны — можно дальше решать задачу, опираясь на это.

Другой частый случай — доказательство равенства высот, биссектрис или медиан в равнобедренном или равностороннем треугольнике. Здесь тоже сначала находят два треугольника, у которых совпадают нужные элементы по одному из признаков, а затем из равенства треугольников делают вывод о равенстве конкретных отрезков или углов.

Частая ошибка на контрольных — путать признак «по двум сторонам и углу» с ситуацией, когда угол не лежит между данными сторонами, а находится где-то ещё. Такой набор условий признаком не является, и равенство треугольников из него напрямую не следует. Прежде чем ссылаться на признак, стоит явно проверить: угол действительно между теми двумя сторонами, которые указаны, или углы действительно прилегают именно к названной стороне.

Вопросы и ответы

Чем равные треугольники отличаются от подобных

У равных треугольников совпадают и форма, и размер — стороны и углы соответственно равны. У подобных треугольников совпадает только форма: углы равны, а стороны пропорциональны, но могут быть разной длины. Равенство — это частный случай подобия, когда коэффициент пропорциональности равен единице.

Можно ли доказать равенство треугольников по двум углам и стороне, которая не лежит между углами

Да, такое доказательство возможно, потому что если известны два угла треугольника, третий угол определяется однозначно (сумма углов треугольника всегда одна и та же). Значит, ситуация сводится к признаку равенства по стороне и двум прилегающим к ней углам, даже если на первый взгляд сторона расположена иначе.

Достаточно ли для равенства треугольников совпадения только углов

Нет. Если у двух треугольников равны все три угла, но стороны разной длины, треугольники будут подобными, а не равными — один просто больше другого при одинаковой форме. Для равенства обязательно должна совпадать хотя бы одна пара соответствующих сторон, причём в комбинации, которая соответствует одному из признаков равенства.

Главное, что путают в задачах: признак равенства требует, чтобы угол или сторона стояли на строго определённом месте — между указанными сторонами или между указанными углами. Если это условие проверить перед тем, как ссылаться на признак, ошибок в доказательствах становится намного меньше.

Читайте также