Признаки равенства прямоугольных треугольников - свойства, правила и применение

Общие сведения

Треугольник — замкнутая геометрическая фигура, которая состоит из трёх отрезков, образующих 3 внутренних угла. Другими словами — это многоугольник, состоящий из трёх соединённых точек, не лежащих на одной прямой. При этом их последовательно объединяет 3 линии.

Обозначать фигуру принято тремя латинскими буквами — ABC. Причём по отдельности этими символами подписывают и точки соединения отрезков. Их ещё часто называют вершинами. Углы, которые образуются при них, обозначают одной буквой или используется специальный знак с указанием исходящих из точки линий. Например, в вершине A подписать угол можно как α или ∠ ABC. Стороны, которые лежат против углов, принято указывать маленькими буквами: a, b, c.

Все треугольные многоугольники разделяют на несколько групп по виду их углов. Причём их сумма, вне зависимости от типа фигуры, всегда равна 180 градусов. Треугольники бывают:

• остроугольными — все вершины состоят из лучей, градусная мера которых менее 90⁰;
• тупоугольными — фигура, у которой хотя бы один из внутренних углов превышает 90⁰;
• прямоугольными — один из углов в треугольнике образуется перпендикулярными сторонами.

Если у фигуры 2 стороны одинаковы по величине, её называют равнобедренной. Отличный от них отрезок является основанием треугольника. Если же боковые грани в многоугольнике одинаковые, его называют равносторонним или правильным. Есть и третий вид — разносторонний. Все боковые стороны в таком случае не равны друг другу.

Существуют несколько различных свойств равенства треугольников. Они выводятся из замечательных линий и точек фигуры. К ним относится: медиана, биссектриса и высота.

Под первой понимают линию, проведённую из угла к противоположной стороне, разделяющей её на 2 одинаковых отрезка. Биссектрисой является прямая, построенная из вершины к противолежащей грани и делящая её пополам. Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

В любом треугольнике можно начертить по 3 таких замечательных линии. Но при этом в прямоугольном многоугольнике высота совпадает с одной из сторон геометрического тела. Называют её катетом. Отличную же сторону — гипотенузой.

Особенности многоугольников с тремя углами

Признаком прямоугольного треугольника является прямой угол. Образуют его стороны — катеты. Равными называются фигуры, которые можно совместить наложением друг на друга. Другими словами, соответствующие стороны двух и более треугольников имеют одинаковую длину. Для определения признаков равенства прямоугольных многоугольников используют особенности фигур. Заключаются они в следующем:

1. Если сложить 2 угла, отличные от прямого, их сумма составит 90 градусов. Например, α = y + β = 90⁰.
2. Синус прямого угла в прямоугольном многоугольнике можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin (α) = BC / AB; sin (β) = AC / AB.
3. Косинус острого угла в фигуре можно найти, разделив прилежащий катет на гипотенузу: sin (α) = A C / AB; sin (β) = B C / AB.
4. Если в треугольнике стороны, образующие прямой угол, одинаковые по длине, сумма их квадратов равняется произведению гипотенузы самой на себя. Это правило называется теоремой Пифагора и в математическом виде записывается так: c = √‎ (a² + b²).
5. Пусть n и m проекции катетов на гипотенузу. Тогда будут справедливы следующие равенства: a ² = n * c, b² = m * c.
6. Высоты, построенные из вершин прямых углов, равны среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу. Кроме этого, высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит её в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов.
7. Медианы пересекаются в одной точке, находящейся внутри фигуры и делятся в ней 2 к 1, если вести отсчёт от вершины. Это место является центром тяжести фигуры.
8. Биссектрисы острых углов в точке пересечения образуют угол равный 45 градусам.
9. Определить длину медианы, проведённой к катетам, можно, зная размер проекций, опущенных на них: m²a = b² — a² / 4; m²b = a² — b² / 4.
10. Найти длину биссектрисы можно, воспользовавшись выражением: L = √‎2 * (a * b) / (a + b).
11. Площадь прямоугольного треугольника равняется сумме двух катетов, разделённой на 2 или пропорциональна произведению гипотенузы на высоту и обратно пропорциональна 2: S = (a * b) / 2 = (h * c) / 2.

Вокруг прямоугольной фигуры можно описать окружность. При этом радиус круга будет равняться половине гипотенузы: R = c / 2. Если же в треугольник вписать окружность, её диаметр можно вычислить по формуле: d = (a + b — c) = (2 * a * b) / (a + b + c).

Равенство фигур

Признаки равенства прямоугольных многоугольников вытекают из свойств треугольников общего вида. Они помогают решать задачи, связанные с нахождением параметров прямоугольников, квадратов, трапеций и других видов сложных фигур.

Всего есть 3 правила:

1. Если размеры катетов одного треугольника совпадают по величине с другим, фигуры равны. Пусть есть 2 фигуры ABC и A1B1C1. В них угол C и С1 по 90 градусов. Катет AC = A1C1, а BC = B1C1. Согласно первому признаку произвольных треугольников, если в них есть одинаковые углы, а прилежащие стороны равны, фигуры совпадают. Отсюда следует, что ABC и A1B1C1 будут идентичны друг с другом.
2. Если катет и прилежащий к нему угол одного прямоугольного треугольника, соответственно равны этим же параметрам у другого, эти фигуры одинаковые. Пусть есть ABC и A1B1C1, у которых: C = C1 = 90⁰, AC = A1C1, ∠A = ∠A1. Чтобы доказать равенство фигур, нужно использовать общее правило. Оно гласит: если есть 2 стороны равны, при этом одинаковые и два прилежащих угла, то такие треугольники идентичные.
3. Если гипотенуза и острый угол, соответственно равны такой же стороне и углу другого прямоугольного многоугольника, они одинаковые. Пусть имеются 2 треугольника, каждый из которых имеет острый угол. При этом AB = A1B1 и ∠A = ∠A1. Так как первые острые углы равны, идентичными будут и вторые. Это следует из дополнения до 90⁰ ∠A: ∠B = 90⁰ — ∠A. Соответственно, для второй фигуры будет верно: ∠B1 = 90⁰ — ∠A1. Но так как ∠A = ∠A1, то вытекает что ∠B = ∠B1. Получается, что все углы одной фигуры соответственно равны углам другого треугольника. Гипотенуза и прилежащие вершины одинаковые. Значит, многоугольники совпадают друг с другом.

Есть ещё одно правило, которое является следствием предыдущих признаков. Сформулировать его можно так: когда в двух треугольниках совпадает длина любого из катетов и гипотенузы, они идентичны. Доказательство этого признака заключается в использовании теоремы о равенстве фигур с одинаковыми боковыми гранями и большим углом. Для прямоугольной фигуры таким будет являться угол равный 90 градусов.

Применение правил на практике

Признаки равенства довольно важны для геометрии. Доказательства различных теорем построены именно на них. При этом с их помощью можно решать сложные задачи, связанные с многогранниками различных видов. Вот одно из таких заданий, для успешного решения которого нужно использовать правила равенства.

Имеется трапеция ABCD. В ней опущены высоты BK и CN. Известно, что AK = ND. Доказать, что заданная фигура равнобокая. Сделать это можно будет, установив, что 2 прямоугольных треугольника равны друг другу, то есть ABK и CND после совмещения друг с другом будут совпадать. Значит: AB = CD.

По условию AK = ND, при этом отрезки AD и BC параллельны между собой. Последнее следует из определения параллелограмма. Можно утверждать, что высоты BK и CN имеют одинаковую длину. Это известно из правила равенства расстояния между двумя параллельными прямыми. В результате получается, что в треугольниках равны между собой 2 стороны (катеты) и угол. Из равенства следует, что все элементы в треугольнике одинаковые, то есть ABK = CND, значит: AB = CD, что и требовалось доказать.

Ещё один пример. Пусть есть геометрическое тело ABCD. В нём ∠С и ∠D равны 90 градусов. Известно, что длина AC совпадает с AD. Нужно установить, какой отрезок фигуры будет равен BD. Сделать это можно следующим образом: если провести отрезок, соединяющий вершины A и B, получится 2 треугольника с прямыми углами. При этом гипотенуза у них будет общей. Но также по условию у них равны 2 катета. Опираясь на третий признак идентичности треугольников, можно утверждать, что ACB = ADB. Отсюда следует, что у них равны все противолежащие стороны. Значит: BD = CD. Задача решена.

Таким образом, при решении задач со сложными фигурами, можно вначале оценить их на возможность использования свойств и признаков треугольников. В частности, прямоугольного. Фигуры нужно научиться видеть и использовать их свойства. Ведь треугольные тела уникальные и помогают в ряде случаев намного упростить решение примеров.

Признаки равенства начинают изучать в седьмом классе, сразу же после ознакомления с простейшими видами геометрических тел. Причём эти правила пригодятся и в дальнейшем, на уроках по стереометрии и аналитической геометрии.