Прямая в математике - определение, виды и свойства

Общие сведения

Прямая — базовая простейшая неограниченная в пространстве фигура, состоящая из точек, которые соединяются в линию без каких-либо искажений. Она обозначается прописными литерами латинского алфавита m, n, o, p. Точка — элементарная единица геометрии (обозначение заглавными буквами, W, Y, N). Их совокупность образует геометрические фигуры.

Прямые бывают нескольких видов:

1. Луч.
2. Отрезок.

Первый состоит из точки и прямой. Он имеет начало, но конец неограничен в пространстве. При построении нужно обозначить точку, а затем прямую, исходящую из нее. Следующим видом является отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Обозначается двумя латинскими литерами: МС, RT.

Луч можно отмечать не только на прямой, но и на другом его экземпляре, а также отрезке. Прямая состоит из двух лучей, направленных в противоположные стороны.

Аксиомы геометрии

Аксиомы — базовые утверждения, на которых основываются другие доказательства теорем и тождеств. К прямой применимы следующие:

1. Проводится только через 2 точки.
2. Относительно прямой существуют точки, лежащие и не лежащие на ней.
3. Произвольная точка может быть отмечена на прямой, так и вне ее.
4. Когда выполняется условие WV=WZ+ZV, точка Z лежит между W и V.
5. Прямая состоит из двух разнонаправленных лучей и бесконечного количества отрезков, лежащих на них.
6. Параллельные прямые никогда не пересекаются в пространстве (обозначаются знаком "||").
7. Если через 2 прямые, которые являются параллельными друг другу, проходит третья, она называется секущей. Последняя образует 2 типа углов: внутренние односторонние (равные) и накрест лежащие (алгебраическая сумма градусных мер равна 180).
8. Перпендикулярные прямые пересекаются и образуют прямой угол.

Все аксиомы — базовые утверждения, которые нет необходимости доказывать. Далее следует рассмотреть линейную функцию.

Прямо пропорциональная зависимость

В различных дисциплинах с физико-математическим уклоном существует понятие линейной функции двух и более величин. Кроме того, есть еще один параметр, называемый коэффициентом пропорциональности. Формула зависимости выглядит следующим образом: p=as+t, где р - зависимая величина, s - аргумент и t - свободный член (константа).

Графиком линейной функции является прямая, расположение которой зависит от а и t. На основании значений коэффициентов (a и t), математики выделяют 4 свойства, влияющие на положение фигуры в декартовой системе координат:

1. t=0: проходит через начало координат, образуя между осью абсцисс угол в 45 градусов. Положение фигуры зависит от коэффициента "а".
2. а>0 (t не равен 0): угол находится в пределах от 0 до 90.
3. а<0 (t не равен 0): угол наклона прямой (q) относительно оси абсцисс является тупым, т. е. 90<q<180.
4. a=0: фигура параллельна оси независимой переменной (абсцисс).

Коэффициент "а" называется угловым. Его можно вычислить по следующей формуле: tg(q)=(t/a)+(a-t)/2a.

График функции

У каждой функции существует графическое представление. Для его построения следует воспользоваться определенной методикой. Она имеет следующий вид:

1. Написать выражение.
2. Упростить искомую функцию.
3. Составить таблицу зависимости величин, состоящей только из двух значений (достаточно только 2 точки, через которые можно провести прямую).
4. Начертить систему координат, отметить на ней 2 точки, а затем соединить их линией.

Большее количество точек брать не рекомендуется, поскольку это дает лишние и бесполезные вычисления. Точность построения от этого не изменится. С этой проблемой сталкиваются начинающие математики.

Пример решения

Для закрепления теории нужно решить задачу. Ее условие имеет такой вид: подготовить данные для построения графика функции z=(t-1)^2+(t-1)(t+1)-2(t+6)^2 (cоставить таблицу). Для решения нужно воспользоваться такой методикой:

1. Написать выражение: (t-1)^2+(t-1)(t+1)-2(t+6)^2.
2. Операция преобразования (упрощения): (t-1)^2+(t-1)(t+1)-2(t+6)^2=t^2-2t+1+t^2-1-2t^2-24t-72=-26t-72.
3. Построение таблицы.

Следующий вид задач строится на доказательстве пересечения двух прямых. Один из них имеет такое условие: доказать, что графики функций 3t+s(7-s)+s^2=7 и 2t+2s=6 пересекаются в одной точке. Для этого нужно воспользоваться следующей методикой:

1. Составить систему уравнений, состоящую из двух тождеств: 3t+s(7-s)+s^2=7 и 2t+2s=6.
2. Выразить одну переменную через другую во втором выражении: t=(6-2s)/2=3-s.
3. Упростить первое тождество, раскрыв скобки и приведя подобные элементы: 3t+7s-s^2+s^2-7=3t+7s-7.
4. Подставить t в первое: 3(3-s)+7s=7.
5. Найти s: s=-2/4=-0,5.
6. Вычислить t: t=3-(-0,5)=3,5.
7. Проверить корни, подставив t и s в любое уравнение системы: 2*3,5-2*0,5=7-1=6.
8. Координаты точки пересечения: (-0,5;3,5).

На основании последнего пункта методики можно сделать вывод, что искомые графики функций пересекаются в одной точке. Если система не имеет решений, это доказывает полное отсутствие общих точек.

Очень важно после нахождения корней подставлять последние в исходные тождества, поскольку бывают случаи, когда они не соответствуют истинному значению выражения. Подстановку рекомендуется производить в более простое исходное уравнение. Следует акцентировать внимание на то, что она выполняется именно в первоначальном равенстве с неизвестным, а не упрощенное математическим путем посредством алгебраических преобразований.

Таким образом, прямая в математике является не только простейшей фигурой, но и графическим представлением прямо пропорциональной зависимости физических величин.