Содержание:

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Слово «медиана» происходит от латинского «средний»: отрезок как раз идёт к середине стороны, а не к любой её точке. Этим медиана отличается от высоты и биссектрисы, хотя внешне все три линии похожи — каждая выходит из вершины и упирается в противоположную сторону.

Медиана треугольника: определение, свойства, точка пересечения

Сколько медиан у треугольника

У любого треугольника ровно три медианы — по одной из каждой вершины. Первая медиана идёт из вершины A к середине стороны BC, вторая — из вершины B к середине стороны AC, третья — из вершины C к середине стороны AB. Построить медиану просто: находишь середину нужной стороны циркулем и линейкой или с помощью формулы координат середины отрезка, потом соединяешь эту точку с противоположной вершиной прямой линией.

Треугольник равнобедренный или равносторонний — не имеет значения. Медиана строится в любом треугольнике, без исключений. Разница только в том, что в равностороннем треугольнике все три медианы совпадают по длине и по свойствам с высотами и биссектрисами, а в произвольном треугольнике это, как правило, три разных отрезка.

Точка пересечения медиан треугольника

Все три медианы, проведённые в одном треугольнике, обязательно пересекаются в одной точке. Это не совпадение и не приближение — это доказанное свойство, верное для любого треугольника, каким бы «кривым» он ни был. Точку пересечения медиан называют центроидом или центром тяжести треугольника.

Центроид всегда находится внутри треугольника, а не за его пределами и не на границе. Это отличает точку пересечения медиан от точки пересечения высот: у высот точка пересечения может оказаться и снаружи треугольника, если треугольник тупоугольный. С медианами такого не бывает.

В каком отношении делится медиана

Точка пересечения медиан делит каждую из трёх медиан в отношении 2:1, если считать от вершины. Это значит: расстояние от вершины до центроида в два раза больше, чем расстояние от центроида до середины противоположной стороны.

Например, если длина медианы равна 12 см, то отрезок от вершины до точки пересечения будет равен 8 см, а от точки пересечения до середины стороны — 4 см. Проверить легко: 8 к 4 — это и есть отношение 2:1.

Из этого свойства следует ещё одна полезная вещь: все три медианы делят треугольник на шесть маленьких треугольников равной площади. Это удобно использовать в задачах на площадь, когда нужно доказать равенство частей фигуры без прямых вычислений сторон.

Формула длины медианы

Если известны стороны треугольника, длину медианы можно найти без построений — по формуле. Медиана, проведённая к стороне a, вычисляется так:

ma = ½ · √(2b² + 2c² − a²),

где b и c — две другие стороны треугольника. Формула работает для любого треугольника: остроугольного, тупоугольного, прямоугольного. Нужно только не запутаться, какая сторона какой буквой обозначена — медиана считается к той стороне, которая стоит с минусом под корнем.

Чем медиана отличается от высоты и биссектрисы

Все три линии выходят из вершины к противоположной стороне, поэтому их часто путают в задачах. Разница — в точке, куда они приходят, и в углах, которые они образуют.

ОтрезокКуда приходитОсобенность
МедианаВ середину противоположной стороныДелит сторону на две равные части
ВысотаПерпендикулярно противоположной сторонеОбразует прямой угол со стороной
БиссектрисаВ точку, зависящую от соотношения сторонДелит угол вершины на две равные части

В равностороннем треугольнике эти три отрезка, выходящие из одной вершины, совпадают. В остальных случаях они, как правило, разные линии, и точки их пересечения с противоположной стороной не совпадают.

Вопросы про медиану треугольника

Может ли медиана выходить за пределы треугольника?

Нет. Медиана всегда лежит внутри треугольника, потому что соединяет вершину с точкой на противоположной стороне, а не с точкой снаружи фигуры. Этим она отличается от продолжений сторон и от некоторых элементов, связанных с высотами в тупоугольном треугольнике.

Совпадает ли центроид с центром вписанной или описанной окружности?

В общем случае нет. Центроид, центр вписанной окружности и центр описанной окружности — это разные точки, у каждой своё правило построения. Совпадают все эти центры только в равностороннем треугольнике, где из-за полной симметрии фигуры многие особые точки сливаются в одну.

Как проверить, что медиана построена правильно?

Нужно измерить отрезок, на который медиана делит противоположную сторону: обе части должны быть равны. Если середина стороны найдена верно и отрезок проведён к ней от вершины, длину частей проверяют линейкой или вычислением по координатам — этого достаточно, чтобы убедиться в точности построения.

Чаще всего в задачах путают медиану с биссектрисой, потому что оба слова связаны с идеей «равного деления» — только одно делит сторону, а другое угол. Если запомнить, что медиана всегда идёт именно к середине стороны, ошибка сама уйдёт.

Читайте также