Содержание:

Точка пересечения медиан треугольника

Общие сведения

Перед доказательством теорем необходимо ознакомиться с основными понятиями. Прямой называется совокупность точек, расположенных в одной плоскости, через которые можно провести линию без искажений в пространстве. Отрезок — часть прямой, ограниченной правой и левой границами.

Треугольник (обозначается "Δ") — геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и вершин. Предпоследние являются отрезками, а последние — точками, не лежащими на одной прямой и соединяющими стороны между собой. Следует отметить, что треугольники бывают нескольких типов. К ним относятся следующие:

Виды треугольников по углам

  1. Произвольный.
  2. Равнобедренный.
  3. Равносторонний (правильный).

Первая группа состоит из сторон различной длины. При двух эквивалентных между собой сторонах фигура является равнобедренной. Обязательным условием для третьей группы считается равенство всех сторон. Кроме того, фигуры делятся по типу градусных мер таким образом:

  1. Остроугольные.
  2. Прямоугольные.
  3. Тупоугольные.

Остроугольным называется треугольник, у которого углы (в задачах обозначается символом "∠ ") меньше 90 градусов.

Если у него один из ∠ эквивалентен 90, то этот признак свидетельствует о принадлежности его ко второму типу. Когда у фигуры хотя бы один из ∠ больше 90, тогда он принадлежит к третьему виду.

Понятие дополнительных отрезков

Урок геометрии

У любого Δ существуют дополнительные отрезки, которые используются при решении задач по геометрии. К ним относятся следующие: медиана, биссектриса и высота. Они существенно отличаются между собой в произвольных треугольниках, а также совпадают в равнобедренных и правильных геометрических телах.

Медиана (М) — некоторый отрезок, исходящий из вершины на середину стороны. Иными словами, любой геометрический элемент, опущенный из вершины на среднюю точку, является медианой. Последних в треугольнике может быть не более трех.

Биссектриса (Б) — часть прямой, которая делит угол на два равных компонента. В любом треугольнике можно провести всего три таких отрезка. Высота (В) — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Следует отметить, что высоты бывают внешними и внутренними. Первые проводятся из вершины на проекцию Δ, а вторые находятся внутри фигуры. В каждом треугольнике можно провести определенное количество дополнительных отрезков:

Дополнительные отрезки треугольника

  1. Произвольный: М - 3, В - 3 и Б - 3. Все они не совпадают между собой.
  2. Равнобедренный: М - 2, В - 2, Б - 2 и М=В=Б=1 (совпадают между собой). Всего элементов: 2+2+2+3*1=9.
  3. Правильный: М=В=Б=3. Общее количество элементов: 3.

Во втором случае М, В и Б совпадают между собой только один раз, а в последнем — полное сходство, поскольку медианы являются биссектрисами и высотами. Их точка пересечения — центр треугольника. Далее следует перейти к непосредственному доказательству теорем.

Теорема о взаимном пересечении

Первую базовую теорему, которую следует разобрать, имеет такую формулировку: медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром фигуры. Ее доказательство осуществляется по такому алгоритму:

Медианы треугольника

  1. Начертить произвольный ΔSTU. Провести в нем медианы SS' и TT'. Обозначить точку их пересечения "F".
  2. Доказывать утверждение нужно от противного, т. е. предположить, что медианы не пересекаются, т. е. являются параллельными отрезками (SS'||TT').
  3. Из этого утверждения следует, что сторона фигуры ST является их секущей.
  4. Следовательно, ∠S+∠T=360. Однако это противоречит свойству градусных мер углов треугольника, которые должны быть не более 180. Исходя из этого, предыдущая гипотеза не подтверждается.
  5. На основании вывода из четвертого пункта теорема доказана полностью.

Аналогично можно доказать, что медиана UU' также пересекается с SS' и TT' в точке F. Для этой цели необходимо начертить еще один треугольник с таким же обозначением, т. е. ΔSTU.

После этого выполнить все пять пунктов алгоритма, но для медиан SS' и UU'. Затем сопоставить два доказательства для получения общей формулировки.

Утверждения о соотношении

Однако для решения задач одной теоремы о пересечении медиан недостаточно. Математики доказали несколько других утверждений, которые могут быть полезными при нахождении неизвестных величин. Первая из них гласит, что точка, в которой пересекаются медианы, пропорционально делит медианы 2:1 относительно вершины. Для доказательства утверждения необходимо воспользоваться такой методикой:

  1. Начертить ΔSTU и провести в нем SS' и UU', обозначив их пересечения точкой "F".
  2. Из точек S' и U' опустить отрезки на SF и UF так, чтобы разделить их на две равные части (U'' и S'').
  3. В результате операций, выполненных во втором пункте, получился четырехугольник. Его сторона U'S' является средней линией ΔSTU, т. е. U'S'||SU и U'S'=0,5SU.
  4. Сторона U''S'' — средняя линия ΔSFU, т. е. U''S''||SU и U''S''=1/2(SU).
  5. Из третьего и четвертого пунктов можно сделать вывод, что U'S'U''S'' — параллелограмм, у которого диагонали пересекаются в точке и делятся на две равные части.
  6. Выполнив анализ информации, полученной на пятом шаге, можно завершить доказательство теоремы, т. к. диагонали параллелограмма делятся в пропорциональном соотношении 2:1.

Следующим полезным утверждением является формула, позволяющая найти длину медианы. Она в словесном эквиваленте звучит таким образом: длина равна квадратному корню из суммы половины квадратов двух других сторон, не принадлежащих ей, без четвертой части квадрата стороны, на которую она опущена. Для доказательства рекомендуется использовать такой алгоритм:

  1. Начертить ΔSTU с медианой SS'=М{u} (опущена на UT), обозначив его стороны s=US, t=ST и u=UT.
  2. По свойству медианы: US'=0.5*UT.
  3. Образовались два треугольника ΔUSS' и ΔTSS'.
  4. Для нахождения M необходимо к каждому Δ применить теорему косинусов. В результате этого получатся такие соотношения: s^2=M{u}^2+(u/2)^2-2M{u}(u/2)cos(∠U) и t^2=M{u}^2+(u/2)^2-2M{u}(u/2)cos(Pi-∠U).
  5. Выполняя математические операции по раскрытию скобок и складывая между собой полученные соотношения, получается искомая формула: M{u}=[(s^2)/2 + (t^2)/2 - (u^2)/4]^(1/2).
  6. Утверждение доказано.

Теорема имеет следствие, представленное в виде соотношения, позволяющее выявить взаимосвязь между сторонами и медианами. Оно имеет такой вид: (М{u})^2 + (М{s})^2 + (М{t})^2=3/4(s^2+t^2+u^2).

Координаты точки

При решении задач очень часто необходимо находить координаты точки пересечения медиан произвольного ΔSTU. Доказательство или выведение этой формулы является очень сложным. Однако математики решили данную проблему. Они предлагают использовать уже готовое соотношение, состоящее из двух компонентов:

  1. Ордината: Y=[(М{u})^2+(М{s}+М{t}^2 - 2М{u}М{s}М{t}]^(1/2)=[(s+t)^2+u^2 - 2((s*t*u)/(s*t*u))]^(1/2).
  2. Абсцисса: X=[((М{u})^2+(М{s}+М{t}^2)/(2М{u}М{s}М{t})]^(1/2)=[((s+t)^2+u^2)/(2((s*t*u)/(s*t*u)))]^(1/2).

Вышеописанные формулы рекомендуется применять, когда требуется определить координаты точек без чертежа. Специалисты на ранних этапах обучения рекомендуют размещать треугольник в прямоугольной декартовой системе координат. После этого отмечать каждую вершину с заданными координатами, а затем проводить медианы.

Центр треугольника это точка пересечения

Для нахождения величины абсциссы и ординаты нужно из искомой точки опускать перпендикуляры на последние.

Нахождение координаты будет очень простым и удобным. Кроме того, в интернете существует множество приложений для этих целей. Они называются онлайн-калькуляторами.

Иногда встречаются задания со следующей формулировкой: выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан, с исходными данными (вершинами или сторонами). Для этого рекомендуется просто подставить искомые значения в соответствующие формулы нахождения абсциссы и ординаты.

Полезные свойства

Математики для облегчения учебы вывели важные свойства медианы. К ним относятся следующие:

Положительные свойства

  1. Точка пересечения является центром вписанной и описанной окружностей, почему ее еще и называют симметрией фигуры.
  2. Точки соприкосновения медиан со сторонами образуют средние линии искомого треугольника. Их всего три.
  3. Подобие фигур относительно исходной.
  4. Медианы делят произвольный треугольник на шесть подобных.
  5. Отрезок, опущенный на гипотенузу, делит ее на два радиуса описанной окружности.

На координатной плоскости, руководствуясь первым свойством, чертится треугольник. После этого требуется провести две медианы, обозначив общую точку (где они пересекаются). Далее необходимо поставить в нее иголку циркуля, и начертить окружность вокруг фигуры. Затем в искомом круге проводится диаметр D.

В результате у вписанной окружности величина радиуса должна соответствовать значению D/4. На основании этого необходимо полагать, что построение выполнено правильно. В противном случае допущена некоторая неточность.

Используя второе свойство, можно найти следующие параметры: площадь, стороны и другие элементы фигуры. В любых задачах допускается подобное дополнительное построение. Однако специалисты рекомендуют его применять только при необходимости, а не загромождать чертеж.

Третье и четвертое свойства применяются для подсчета площадей подобных фигур. Коэффициент подобия зависит от количества проведенных медиан:

  1. Одна: 1:0,75.
  2. Две: 1:3,2.
  3. Три: 1:6.

Последние цифры являются коэффициентом подобия. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из прямого угла, делит ее на две равные части-радиусы описанной окружности.

Таким образом, сведения о медианах в треугольнике расширяет возможности расчета некоторых параметров фигуры.