Замечательные точки треугольника не просто так описываются таким прилагательным. Для многих учеников, а начинают знакомиться с этим понятием в 8 классе, эта тема кажется наиболее интересной и простой в курсе геометрии, поэтому многочисленные теоремы и свойства запоминаются достаточно просто. 

Итак, какие же четыре точки называются замечательными? Перечислим их:

  • точку пересечения медиан треугольника;

  • точку пересечения биссектрис треугольника;

  • точку пересечения высот треугольника;

  • точку пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Все точки обладают своими особенностями и свойствами, про всех есть свои теоремы и следствия из них. Кроме того, существует свойство, которое справедливо сразу для четырёх этих точек. Вне зависимости от того, медиана ли это, биссектриса или высота, все они пересекаются в одной точке.

Замечательные точки характерны не только для треугольников. Например, в трапеции так же четыре замечательные точки.

Теперь рассмотрим основные положения, связанные с замечательными точками треугольника.

Точка пересечения медиан треугольника

Из курса геометрии известно определение медианы треугольника. 

Медиана треугольника

На данном рисунке она обозначена прямой m, которая исходит из вершины А и заканчивается точкой М, являющейся центром стороны ВС.

Теперь сделаем чертёж треугольника, на котором укажем замечательную точку пересечения медиан. 

Порядок построения:

  1. Для начала постройте абсолютно любой треугольник и обозначьте его буквами А, В и С.

  2. На отрезке АВ отметьте центр С1, на стороне ВС центр А1, на АС центр В1.

  3. Проведите 3 медианы из вершин. Из угла А – медиана АА1,из угла В - медиана ВВ1, из угла С - медиана СС1.

  4. Должно получиться так, как показано на рисунке: три проведённые линии пересекаются в одной точке G (что является их свойством).

Изучим следующее свойство точки пересечения трёх медиан треугольника.

Отрезки медианы треугольника, разделённой замечательной точкой, относятся друг к другу как 2:1. Проследим это свойство на примере используемого нами рисунка:

A1G = 2AG, B1G = 2BG, C1G = 2CG.

Точка пересечения медиан

Точка пересечения биссектрис треугольника

Прежде чем мы приступим к изучению следующей точки, рассмотрим теорему о биссектрисе, проведённой из вершины неразвёрнутого угла, и докажем её.

101

Рассмотрим пример. Дано:

  • угол ВАС < 180 градусов;

  • т. М лежит на прямой, исходящей из т. А;

  • АМ - биссектриса угла ВАС (угол КАМ = углу МАН).

Доказать: точка М – равноудалённая от отрезков АВ и АС.

Доказательство.

Для начала достроим чертёж. Расстоянием от точки М до отрезка АС будет являться перпендикуляр МН. Аналогично и с остальной стороной (перпендикуляр МК). 

В треугольниках АКМ и АНМ:

  • есть общая сторона – АМ;

  • угол КАМ = МАН, так как АМ – биссектриса.

Сторона АМ является биссектрисой одновременно треугольников МКА и МНА, а при ней лежат равные углы. Значит треугольники равны (по гипотенузе и острому углу).

Так как треугольники равны, отрезки КМ и МН тоже равны, а значит т. М равноудалена от АВ и АС, что и требовалось доказать.

Переходим к построению замечательной точки.

103

Отрезки С1М, А1М иВ1М являются равными. Значит они однозначно могут быть радиусами вписанной в данный треугольник окружности. Это является свойством трёх пересекающихся биссектрис.

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника

Для начала вспомним определение серединного перпендикуляра. Теорема о серединном перпендикуляре:

Серединный перпендикуляр

Сделаем краткое доказательство. Соединим концы отрезка с вершиной серединного отрезка. Докажем равенство полученных треугольников, из чего следует АD = DB.

Построим эту точку.

105

В треугольнике АВС отмечаем середины его сторон. Проводим три серединных перпендикуляра КО, LO, МО и отмечаем точку их пересечения О.

106

4.


987456

Точка пересечения высот треугольника

107

Проведём три высоты в ∆АВС, все они пересекутся в т. Н. Точка Н по отношению к ∆АВС – ортоцентр.

Свойство высот треугольника:

  • если все три высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, то это ортоцентр;

  • СH * HНС = АH * АНА = ВH * ВНВ.

Ортоцентр может располагаться внутри треугольника, снаружи или совпадать с одной из вершин. 

На рисунке показано расположение ортоцентра в остроугольном, прямоугольном и тупоугольном треугольниках.

108

Пример решения задач с построением

Замечательные точки треугольника замечательные именно потому, что они имеют много полезных для решения задач свойств. Рассмотрим пример решения задачи на эту тему.

Задача.

Серединный перпендикуляр в ∆АВС, опущенный к АС, пересекает ВС в т. В. Найти BD, DC, если AD = 5 см BC = 9 см.

109

Решение.

Сделаем дополнительное построение – серединный отрезок КD к прямой АС. Тогда DK это и высота, и медиана в ∆АВС. Если в треугольнике проведена прямая, которая является высотой и медианой, то он равнобедренный. Значит, AD = DC = 5 см.

ВD =ВС — DC = 4 см.

Ответ: DC = 5 см, ВD = 4 см.