Содержание:

Признаки параллельности прямых — это три утверждения об углах, которые получаются при пересечении двух прямых третьей (секущей). Если выполняется хотя бы одно из этих условий, значит, прямые никогда не пересекаются, то есть параллельны. Признаков ровно три, и каждый связан со своим типом углов.

Признаки параллельности прямых: три признака и как их применять

Что за углы получаются при пересечении прямых секущей

Представьте две прямые, а через них проведена третья — секущая. В точках пересечения образуется восемь углов. Их делят на пары по расположению:

  • соответственные углы — лежат по одну сторону от секущей, один сверху, другой снизу (или оба справа, оба слева) от исходных прямых;
  • накрест лежащие углы — лежат по разные стороны от секущей, между двумя прямыми;
  • односторонние углы — лежат по одну сторону от секущей, оба между двумя прямыми.

Без этой классификации признаки выучить трудно, потому что все три звучат почти одинаково: "если такие-то углы равны или в сумме дают 180°, прямые параллельны". Разница именно в том, какие углы берутся.

Ещё по теме: Параллельные прямые - основные свойства, доказательства теорем с видео.

Три признака параллельности прямых

Вот сами признаки, как их формулируют в учебнике:

  1. Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если сумма односторонних внутренних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Заметьте: в первых двух признаках речь про равенство углов, а в третьем — про сумму. Это единственное, что нужно не перепутать. Часто ошибаются именно здесь: пытаются складывать соответственные углы или, наоборот, искать равенство у односторонних.

ПризнакКакие углыУсловие
Первыйсоответственныеравны
Второйнакрест лежащиеравны
Третийодносторонниесумма равна 180°

Когда эти признаки нужны

Признаки параллельности прямых используют, когда надо доказать, что две прямые не пересекаются, а вы не можете просто продолжить их на чертеже и посмотреть — в задачах чертёж не доказательство. Обычно дана секущая с известными углами, и нужно показать, что прямые параллельны, ссылаясь на один из трёх признаков.

Типичная задача звучит так: даны две прямые и секущая, известно, что один из углов равен, скажем, 70°, а соседний с ним по определённому расположению угол тоже 70° (или в сумме с ним даёт 180°). Дальше нужно определить, какая пара углов перед вами — соответственные, накрест лежащие или односторонние — и назвать нужный признак.

Как решать задачу на признаки параллельности

Порядок действий почти всегда одинаковый:

  • найдите на чертеже секущую и две прямые, которые нужно проверить на параллельность;
  • определите, какая пара углов дана по условию — посмотрите, с одной стороны секущей они или с разных, между прямыми или снаружи;
  • сравните значения углов: равны они или дают в сумме 180°;
  • сформулируйте вывод со ссылкой на соответствующий признак.

Ошибка, которая встречается чаще всего: путают порядковый номер угла на чертеже с его типом. Угол под номером 1 у одной прямой и угол под номером 5 у другой могут быть и соответственными, и накрест лежащими — всё зависит от их взаимного расположения относительно секущей, а не от номера. Поэтому прежде чем применять признак, стоит мысленно (или на черновике) отметить, с какой стороны секущей и между прямыми или снаружи лежит каждый из данных углов.

Зачем это в геометрии дальше

Признаки параллельности — рабочий инструмент почти во всех темах курса, где встречаются параллельные прямые: свойства параллелограмма, средняя линия треугольника, теорема Фалеса. Везде, где в условии сказано "докажите, что стороны параллельны" или дан рисунок с углами при секущей, ответ строится через один из этих трёх признаков. Если вы уверенно различаете соответственные, накрест лежащие и односторонние углы, дальнейшие темы даются заметно легче — там эта база просто используется как готовый факт.

Вопросы и ответы про признаки параллельности прямых

Сколько всего признаков параллельности прямых?

Три. Один про соответственные углы, один про накрест лежащие углы и один про сумму односторонних углов.

Чем отличаются соответственные углы от накрест лежащих?

Соответственные углы находятся по одну сторону от секущей — например, оба сверху относительно своих прямых. Накрест лежащие углы находятся по разные стороны от секущей и оба лежат между двумя прямыми.

Можно ли доказать параллельность прямых без секущей?

Нет, все три признака работают именно через третью прямую — секущую, пересекающую обе исходные. Без неё нет углов, которые можно было бы сравнить, и признаки просто неприменимы.

Если запутались, какой признак использовать, начните не с формулы, а с чертежа: отметьте секущую, найдите заданные углы и определите их тип по расположению. Название признака подставляется в конце, когда тип углов уже понятен.

Читайте также