Содержание:

Существует три признака подобия треугольников: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Каждый из них — это самостоятельный способ доказать, что два треугольника подобны, то есть имеют одинаковую форму при разных размерах. Подобные треугольники получаются друг из друга простым увеличением или уменьшением, как фотография и её копия на принтере с другим масштабом.

Признаки подобия треугольников: три способа доказать подобие

Что вообще значит «треугольники подобны»

Два треугольника подобны, если у них равны все соответствующие углы, а соответствующие стороны пропорциональны — то есть отношения сторон одного треугольника к сторонам другого одинаковы для всех трёх пар. Записывают это так: если треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁, то угол A равен углу A₁, угол B равен углу B₁, угол C равен углу C₁, а стороны связаны отношением AB/A₁B₁ = BC/B₁C₁ = AC/A₁C₁.

Это отношение сторон называют коэффициентом подобия. Если коэффициент равен 1, треугольники не просто подобны, а равны.

Доказывать подобие каждый раз через все шесть равенств неудобно. Поэтому в геометрии есть три готовых признака — набора условий, которых достаточно, чтобы гарантировать подобие без проверки всего остального.

Первый признак: по двум углам

Если у двух треугольников совпадают по два угла, то треугольники подобны. Третий угол проверять не нужно: сумма углов треугольника всегда равна 180°, значит, если два угла совпали, третий тоже совпадёт автоматически.

Это самый быстрый признак на практике. Часто в задачах достаточно найти два равных угла — например, вертикальные углы при пересечении прямых или углы, образованные параллельными прямыми и секущей.

Второй признак: по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, треугольники подобны. Важно, что угол должен быть именно между теми сторонами, которые сравниваются, а не каким-то другим.

Этот признак применяют, когда в условии задачи даны длины сторон и хотя бы один угол между ними. Например, в задачах на теорему о средней линии треугольника или на пересечение диагоналей четырёхугольника этот признак работает чаще других.

Третий признак: по трём сторонам

Если все три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, треугольники подобны без всяких углов. Здесь важно правильно сопоставить стороны: сначала находят самую длинную сторону каждого треугольника, потом среднюю, потом самую короткую, и сравнивают их попарно.

Признак удобен, когда в задаче даны только длины сторон, а про углы ничего не сказано. Часто это задачи с числовыми данными, где нужно просто посчитать отношения и убедиться, что они равны.

Как выбрать нужный признак

Что дано в условииКакой признак применить
Два угла в каждом треугольникеПервый — по двум углам
Две стороны и угол между нимиВторой — по двум сторонам и углу
Все три стороны, углы неизвестныТретий — по трём сторонам

Ошибка, которую допускают чаще всего, — путают, какой угол считается «углом между сторонами» во втором признаке. Если стороны AB и AC сравниваются с A₁B₁ и A₁C₁, то угол между ними — это угол A, а не B или C. Если взять не тот угол, вывод о подобии окажется неверным.

Ещё одна частая ошибка — в третьем признаке сравнивают стороны не по порядку величины, а как попало. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 и треугольник со сторонами 6, 8, 10 подобны, потому что 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2. Но если сравнить 3 с 8 или 4 с 6, отношения не совпадут, и по ошибке можно сделать вывод, что подобия нет.

Где эти признаки нужны на практике

Подобие лежит в основе многих измерений, которые невозможно сделать напрямую. Через подобные треугольники находят высоту дерева или здания по длине тени, расстояние до недоступной точки, масштаб на карте. В самой геометрии признаки подобия используют для доказательства теоремы Пифагора, свойств средней линии, свойств биссектрисы и высоты треугольника.

В задачах ЕГЭ и ОГЭ признаки подобия часто применяют не сами по себе, а как промежуточный шаг: сначала доказывают подобие двух треугольников, а потом из пропорциональности сторон находят нужную длину или площадь.

Вопросы и ответы по теме

Чем подобие отличается от равенства треугольников

Равные треугольники совпадают полностью — у них равны и углы, и стороны. Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но разный размер: углы совпадают, а стороны пропорциональны с каким-то коэффициентом, отличным от 1. Равенство — это частный случай подобия, когда коэффициент равен единице.

Можно ли доказать подобие только по углам без сторон

Да, для этого существует первый признак: достаточно найти два равных угла в двух треугольниках, и они окажутся подобны без проверки сторон. Это самый простой и быстрый способ, если в задаче есть параллельные прямые или вертикальные углы.

Что делать, если ни один признак не подходит напрямую

Стоит поискать дополнительные построения: провести высоту, среднюю линию или параллельную прямую, чтобы получить пару треугольников с явными равными углами или пропорциональными сторонами. Часто нужный признак становится виден только после такого дополнительного отрезка на чертеже.

Проще всего запомнить признаки по тому, что в них дано: два угла — первый признак, две стороны с углом между ними — второй, три стороны — третий. Если перепутать, какой угол или какие стороны сравнивать, вывод о подобии окажется неверным, поэтому чертёж и подпись соответствующих вершин лучше делать всегда, даже если задача кажется простой.

Читайте также