Углы при параллельных прямых и секущей - виды и свойства

Изучаемый геометрический объект

Прежде чем рассматривать углы, которые образуются в результате различного взаимного расположения прямых на плоскости, следует подробно изучить сам геометрический объект. Любая прямая линия представляет собой набор точек в пространстве любой мерности, каждая из которых может быть получена из предыдущей путем ее переноса на вектор, имеющий конкретное направление.

Рассматриваемый объект является одномерным, то есть он имеет лишь один единственный размер, который отличен от нуля. Прямая — это бесконечная линия, любые две точки на которой отсекают отрезок определенной длины.

Векторное представление

Определение прямой говорит о том, что для универсального ее математического описания следует воспользоваться понятием вектора. Под ним в математике подразумевают направленный отрезок, имеющий начало и конец. В двумерном пространстве любой вектор представляется набором двух чисел, например, a (a1, a2). Построить его можно следующим образом:

1. Необходимо начало вектора расположить в точке (0, 0) (пересечение осей абсцисс и ординат в декартовой системе).
2. Конец направленного отрезка помещается в точку с координатами (a1, a2).
3. Начало и конец соединяются так, что стрелка (направление) указывается в точку (a1, a2).

Самостоятельно вектор не может задать прямую, поскольку существует бесконечное множество объектов a (a1, a2), которые получаются с помощью параллельного переноса их по всей плоскости. Необходима фиксированная точка, чтобы привязать начало направленного отрезка. Так образуется прямая линия. Ее векторное уравнение может быть записано в следующем виде:

A (x, y) = A0 (x0, y0) + alfa*(a1, a2).

Здесь A (x, y) — произвольная точка линии, A0 (x0, y0) — фиксированная точка на ней, (a1, a2) — координаты вектора, который называется направляющим, alfa — любое рациональное число, которое показывает, на какую долю направленного отрезка (a1, a2) следует переместить A0 (x0, y0), чтобы попасть в A (x, y).

Другие формы уравнений

Векторное уравнение прямой является неявным по отношению к координатам x и y. Для одних задач его удобно использовать, для других же следует применять иные формы записи. Одной из них является параметрическая. Ее можно записать так:

• x = x0 + alfa*a1;
• y = y0 + alfa*a2.

Этой формой удобно пользоваться для определения конкретных координат x и y. Если из этой системы равенств выразить параметр alfa, то можно получить симметричное уравнение прямой:

(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2.

Наконец, если представить это выражение таким образом, чтобы y был выражен, как функция от x, то получится общее представление прямой линии в двумерной системе координат:

y = a2/a1*x + (y0-a2/a1*x0).

Эта формула известна любому школьнику, поскольку основное внимание при изучении геометрических свойств рассматриваемого одномерного объекта в школах уделяется именно ей. Зная, как перевести один вид уравнения прямой в другой, можно выполнять соответствующие преобразования для решения конкретных задач.

Взаимное расположение

Рассматривая вопрос параллельных углов, следует изучить все возможные варианты расположения на плоскости прямых линий. Количество ситуаций зависит от числа присутствующих геометрических объектов, а также от размерности координатной системы.

Две прямые

На плоскости существует три разных варианта расположения двух прямых относительно друг друга. К ним относятся следующие:

1. Совпадение. Два объекта могут иметь разные направляющие вектора и фиксированные точки, но при этом будут накладываться друг на друга. Чтобы это проверить, необходимо взять произвольные две точки, которые принадлежат одной линии, и подставить их координаты в уравнение для другой. Если равенство в обоих случаях будет верным, то прямые являются идентичными.
2. Параллельность. В этом случае ни одна точка одной прямой не принадлежит другой. Однозначным и достаточным доказательством параллельности является возможность выразить направляющий вектор одного объекта, через направленный отрезок другого путем его умножения на какое-либо рациональное число.
3. Пересечение. Обе прямые имеют одну общую точку. Чтобы ее найти, следует решить систему уравнений. Для этого удобно воспользоваться общей формулой выражения для прямых.

Три прямые

Когда на плоскости имеются три прямых, то количество вариантов их взаимного расположения возрастает. Возможные следующие случаи:

1. Пересечение в одной точке.
2. Параллельность двух, которые пересекаются третьей.
3. Все три параллельны друг другу.
4. Каждая пересекает каждую так, что образуются три точки пересечения.

Для определения всех этих ситуаций следует проводить геометрический анализ с применением уравнений разных форм представления прямых. Случай номер 2 является наиболее интересным, поскольку в результате такого взаимного расположения образуется набор специальных углов.

Секущая и углы

В школьном курсе геометрии изучение прямых и секущей имеет особый интерес. В результате такого расположения одномерных объектов получаются несколько углов, обладающих специальными свойствами. Полученные выводы используются для решения не только теоретических, но и практических вопросов.

Выделяют три типа углов, образующихся при пересечении секущей двух параллельных линий:

• накрест лежащие;
• односторонние;
• соответственные.

Один из накрест лежащих углов расположен во внутренней области параллельных линий с одной стороны от секущей, второй же лежит во внешней области с другой стороны. Поскольку секущая пересекает каждую параллельную, образуется четыре пары рассматриваемых углов, которые лежат друг относительно друга накрест. Попарно эти углы равны. Две пары из них являются тупыми, а две — острыми. Особый случай составляют вертикальные прямые углы.

Односторонние — это такие углы, которые бывают между параллельными линиями и только с одной стороны от секущей (отсюда их название). Причем один из них образован одной параллельной прямой, а другой относится к другой параллельной линии. Они в общем случае не равны друг другу, поскольку один является острым, а другой тупым. Однако если секущая перпендикулярна параллельным прямым, то односторонние углы будут составлять 90 градусов. Их важное свойство состоит в том, что в сумме всегда получается 180 градусов. В рассматриваемом расположении одномерных объектов существует лишь две пары этих углов.

Соответственные углы при параллельных прямых лежат по одну сторону от секущей, но по разные стороны от каждой параллельной прямой. Они также являются смежными. Их существует четыре пары, которые попарно одинаковы. Их сумма в каждой паре всегда равна 180 градусам.

Следует запомнить, что соответственные углы всегда лежат по одну сторону от секущей. В указанном расположении прямых можно найти еще четыре пары смежных углов, которые, однако, будут располагаться по разные стороны от секущей и по одну сторону от параллельной линии. Они соответствующими не являются.

Методы вычисления

Зная значение любого из накрест лежащих, односторонних и соответственных углов, можно найти величины всех остальных, воспользовавшись их свойствами. Для проведения вычислений проще всего воспользоваться векторной формой представления прямых.

Пусть существует две параллельных линии, которые заданы следующим образом:

• A (x, y) = A0 (x1, y1) + k*(a1, a2);
• B (x, y) = B0 (x2, y2) + w*(b1, b2).

Секущая задается векторным уравнением: C (x, y) = С0 (x3, y3) + l*(c1, c2). Для расчета угла пересечения любых двух прямых необязательно искать их общую точку, достаточно воспользоваться свойствами умножения направляющих векторов. Они могут перемножаться двумя различными способами:

• скалярно;
• векторно.

Пусть следует найти угол пересечения прямых A и C. Для скалярного произведения можно записать: ((a1, a2)*(c1, c2)) = a1*c1 + a2*c2 = ((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5*cos (teta). Откуда получается неизвестный угол teta:

teta = arccos ((a1*c1 + a2*c2)/(((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5)).

Другой способ определения teta заключается в применении векторного произведения. Получается следующее выражение: [(a1, a2)*(c1, c2)] = a1*c2 — a2*c1 = ((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5*sin (teta). Тогда teta может быть вычислен по формуле:

teta = arcsin ((a1*c2 — a2*c1)/(((a1)^2+(a2)^2)^0,5*((c1)^2+(c2)^2)^0,5)).

Вычислить соответствующие функции арксинуса или арккосинуса можно с использованием инженерного калькулятора. Как только известен угол пересечения секущей и параллельной прямых, остальные углы находятся с помощью добавления или вычитания его из 180 градусов, согласно их свойствам.

Пример решения задачи

Для наглядной демонстрации использования методов вычисления всех типов углов при параллельных прямых полезно решить задачу. Пусть одна из параллельных линий имеет уравнение: y = -2*x + 1. А ее секущая выражается равенством y = x. Необходимо найти значение углов для каждой пары трех типов.

Прежде чем перейти к использованию скалярного или векторного произведения, следует найти направляющие отрезки для каждой из прямой. Сначала каждую из них нужно записать в параметрической форме:

y = -2*x + 1 ==>

(y-1)/1 = (x-0)/-0.5 ==>

k = (y-1)/1 и k = (x-0)/-0.5 ==>

x = 0 — 0,5*k;

y = 1 + 1*k.

Откуда получаются координаты направляющего вектора: (-0,5, 1). Проведение аналогичных преобразований для второй линии приводит к ее направляющему отрезку с координатами (1, 1).

Воспользовавшись формулой для угла teta через скалярное произведение, можно получить следующий результат:

teta = arccos ((-0,5*1 + 1*1)/(((-0,5)^2+(1)^2)^0,5*((1)^2+(1)^2)^0,5)) = 71,6 градуса.

Тогда накрест лежащие углы составят 71,6 градуса, а односторонние и соответствующие будут равны 71,6 и 108,4 градуса (180−71,6).

Знание уравнений прямых и умение производить операции умножения векторов позволяет вычислять любые типы углов, которые образуются при пересечении параллельных прямых секущей линией. Подобные расчеты можно проводить не только в двумерном, но также в трехмерном пространстве.