Параметрическое уравнение прямой - виды, параметры и примеры решения

Краткое описание

В геометрии прямая линия представляет собой совокупность обычных точек, которые соединяют любые две точки пространства отрезком небольшой длины. Он является неотъемлемой частью прямой. Все кривые линии, которые будут пересекаться в зафиксированных двух точках, в итоге получат большую длину, из-за чего они не могут называться прямыми. Понять все тонкости поможет универсальная параметризация (моделирование и проектирование с использованием параметров элементов модели и соотношений между ними).

В геометрии принято различать несколько разновидностей уравнений параметрического типа. С их помощью можно лаконично и правильно описать окружность прямой в двухмерном или трёхмерном пространстве. Специалисты различают следующие разновидности уравнений:

• параметрическое;
• векторное;
• общего типа;
• в отрезках;
• каноническое (симметричное).

Лучше всего начать изучение параметрического уравнения прямой в пространстве на векторном примере.

Этот метод чаще всего используют в школах при объяснении темы. Нелишним также будет узнать связь параметрического уравнения с симметричным. В каждом случае действуют свои правила, которые нельзя оставлять без внимания.

Ключевые особенности

Представление прямой К в уравнении имеет обычную формулировку: в=в1+nr/c=c1+wr. В этом случае в1 и с1 являются координатами точки M1 на прямой К. Вектор q={m, w} считается направляющим элементом отрезка К. Используемый символ r отображает некоторый параметр.

При записи уравнения направляющий вектор не должен быть нулевым. Для самостоятельного построения отрезка на поверхности в декартовой прямоугольной системе координат, которая была задана соответствующими уравнениями, достаточно задать параметру r две разные величины, правильно вычислить в и с, а также провести через эти две точки прямые параллельные линии.

Чтобы составить нормальное уравнение прямой линии на плоскости К, достаточно иметь точку на этой линии и направляющий вектор (можно заменить двумя точками). В первом случае нужно все координаты точки и направляющего вектора вставить в конструкцию. Во второй ситуации необходимо первым делом найти направляющий вектор для прямой q={m, w}. Обязательно нужно вычислить разность точек М1 и М2: в=в2-в1, w=с2-с1. После этого остаётся только правильно подставить координаты одной из точек и направляющего вектора (q).

При желании также можно вывести формулу параметрического уравнения, когда одна линия проходит сразу через две точки. Для этого нужно подставить значения m= в2-в1, w=с2-с1. За счёт этого можно получить уравнение отрезка на плоскости, которая проходит через точки М1 (в1, с1) и М2 (в2, с2). Решение таких задач считается элементарным, но важно не запутаться во всех формулировках.

Значение векторного типа

Все разновидности примеров в геометрии тесно связаны друг с другом. В качестве основы для них выступает векторное уравнение, так как именно оно следует из определённой прямой. Для примера можно рассмотреть ситуацию, когда в пространстве дана точка Y (t0, e0, x0). По условиям известно, что она принадлежит прямой. В этом случае можно провести бесконечное количество линий.

Для проведения единственной прямой следует правильно задать направление, которое определяется вектором. Для обозначения можно задействовать v (a, b, c). Символы в скобках являются координатами. Для всех точек W (s, z, m), которые расположены на конкретной прямой, можно написать логическое равенство: (s, z, m) = (t0, e0, x0) + а*v^— (a, b, c).

В приведённом примере был взят символ а, который может принимать любое значение. Если попробовать умножить вектор на определённое число, то в итоге можно будет изменить не только первоначальный модуль, но и направление. Это равенство принято называть векторным уравнением для прямой в трёхмерном пространстве. Если правильно оперировать параметром а, то в итоге можно получить все точки (s, z, m), которые сформируют одну линию.

Направляющим принято называть стоящий в уравнении вектор v^— (a, b, c). Длина прямой бесконечна, к тому же она не имеет чёткого направления. Все эти факторы означают, что абсолютно любой вектор, который был получен из v^- при помощи умножения на действительное число, тоже будет выступать в роли направляющей для прямой.

Если нужно определиться с точкой Y (t0, e0, x0), то в качестве примера вместо неё можно задействовать произвольную точку, которая лежит на прямой. Когда приведённый пример сопоставить с двухмерной реальностью, можно будет получить следующую формулу: (s, z) = (t0, e0) + а * (a; b). Результат практически идентичен с предыдущим случаем, но только в этой ситуации применяются две координаты вместо привычных трёх для указания всех векторов и точек.

Универсальное каноническое уравнение

Специалистами было доказано, что все уравнения, которые задают прямую на плоскости и в пространстве, являются зависимыми друг от друга. Способ получения канонического уравнения из параметрического лучше рассмотреть на конкретном примере. Для пространственного случая свойственны следующие данные:

1. L = l0 + g * a.
2. E = e0 + g * b.
3. S = s0 + g * c.

Теперь можно выразить необходимый параметр в каждом равенстве: g=(l — l0) / a; g=(e — e 0) / b; g=(s — s0) / c. Так как все левые части равенства являются идентичными, то правые тоже будут равны друг другу. Пример: g=(l — l0) / а=(e — e0) / b=(s — s0) / c. Он является обычным каноническим уравнением для прямой в пространстве. В каждом выражении значение определённого знаменателя представляет собой соответствующую координату направляющего вектора.

Из любой переменной обязательно вычитаются необходимые значения в числителе. Благодаря полученному результату можно построить уравнение таким образом, чтобы получить ответ в виде проекции на координатные плоскости.

Наглядный пример

Параметрическое уравнение прямой на плоскости можно получить в том случае, когда в полном объёме раскрыть векторный пример. Если всё сделать правильно, то в итоге можно получить следующие данные:

• d = d0 + j x a;
• f = f0 + j x b;
• v = v0 + j x c.

В этом случае представлена определённая совокупность трёхлинейных равенств, в каждом из которых есть только одна переменная координата и параметр j. Последний принято называть параметрическим уравнением обычных прямых линий в пространстве. Ничего нового введено не было, поскольку просто был записан смысл соответствующего векторного выражения.

Для более глубокого понимания этой темы следует учесть один важный момент: число j является произвольным, но для всех трёх равенств оно одинаковое. Например, если j = -2,5 для первого равенства, то именно это значение будет присвоено второму и третьему во время определения координат конкретной точки.

Правильное решение параметрических уравнений в онлайн-режиме пользуется большим спросом, но для лучшего понимания этого направления в геометрии следует искать правильный ответ не только при помощи калькулятора, но и самостоятельно. Если внимательно изучить теорию, то можно сделать вывод, что параметризация прямой на плоскости идентична пространственному случаю. А это означает, что для составления уравнения параметрической прямой линии нужно записать для неё в явном виде векторное уравнение.

Задача с параметрическими прямыми на плоскости

Именно этот пример является актуальным, так как он чаще всего используется по отношению к прямоугольной системе координат. В задачах первого типа заданы определённые координаты точек, которые иногда могут принадлежать прямой, подробно описанной геометрическими уравнениями.

Для поиска правильного решения необходимо полагаться на следующий факт: числа (f, r) всегда определяются из стандартного уравнения: f<>f1+af*ϰ / r=r1+ar*ϰ. В примере используется действительное значение ?, при котором полученные координаты точки относятся к прямой линии, описываемой этими уравнениями параметрического типа.

В геометрии также часто можно встретить задачу, когда задана определённая точка Е0 (х0, у0) на плоскости в прямоугольной системе координат. Ученику нужно определить, принадлежит ли конкретная точка прямой. Для преобразования следует задействовать следующую формулу: х=х1+ах*ϰ / у=у1+ау*ϰ. Для правильного решения задания нужно подставить координаты заданной точки в известные уравнения. Если после проделанных манипуляций удастся определить то, что ?=?0, при котором правильными окажутся оба уравнения, то заданная точка принадлежит конкретному отрезку.

Задачи второго типа рассчитаны на то, что абитуриент составит необходимое геометрическое уравнение линии на плоскости в прямоугольной математической системе координат. Для поиска верного решения необходимо выполнить элементарный переход одной математической конструкции в другую. А вот в задачах третьего типа необходимо плавно преобразовать параметрические уравнения заданной прямой в иные виды уравнений, которые её определяют. В качестве примера следует изучить задачу.

Дана прямая линия в системе координат прямоугольного типа, которую можно определить обычным уравнением х=1-3/4*ϰ / у=-1+ϰ. Цель задачи: отыскать верные координаты какого-либо вектора прямой. Решение основано на том, что для достижения желаемого результата необходимо осуществить перевод к общему уравнению:

1. Х=1-¾*ϰ / у=-1+ ϰ.
2. ϰ =х1/-¾ / ϰ =у+1/1.
3. Х-1 / -¾=у+1/1.
4. 1*(х-1)=-¾*(н+1).
5. Х+¾у-¼=0.

Коэффициенты х позволяют получить все необходимые координаты вектора. Это значит, что вектор прямой х=1-¾*ϰ /у=-1+ϰ после проделанных манипуляций будет иметь координаты 1, ¾.

Использование трёх точек

Такие задачи отличаются повышенной сложностью, поскольку для их решения необходимо обладать необходимыми знаниями. Для лучшего усвоения этой темы следует изучить следующий пример. По условиям задачи были даны координаты трёх точек:

1. H (5; 3; -1).
2. D (2; 2; 0).
3. W (1; -1; -5).

Нужно правильно определить, лежат ли все эти точки на одной прямой линии. Первым делом необходимо выполнить следующие действия: составить уравнение прямой сразу для двух любых точек, а только после этого подставить координаты третьей точки, чтобы проверить, соответствуют ли они полученному равенству. Лучше всего в параметрической форме составить уравнение через H и D. Для решения лучше задействовать обычную формулу, которую подгоняют под трёхмерный случай. В итоге можно получить:

• С=5+а*(-3);
• В=3+а*(-1);
• К-1+а*1.

После этого остаётся только поочерёдно подставить в эти выражения координаты точки W и отыскать значение параметра альфа, который максимально им соответствует. Решение:

• 1=5+а*(-3)=>а= 4/3;
• -1=3+а*(-1)=>а=4;
• -5=-1+а*1=>а=-4.

Проанализировав результат, можно понять, что все три равенства будут верны, но только в том случае, если каждое из них получит отличающееся от других значение параметра а. Конечно, последний факт логически противоречит условию параметрического геометрического уравнения прямой, в котором значение а должно быть равно для всех примеров. Это означает, что W прямой HD не принадлежит, из-за чего все три точки никак не могут лежать на одной плоскости.