Функция y=k/х - свойства, график и примеры решения задач

Общие сведения
Функцией называется некоторая зависимость переменных друг от друга. В некоторых случаях неизвестные величины могут быть выражены системой конкретных значений, интервалами, а также другими функциональными выражениями. Последний класс называется сложным или составным. Различают зависимые и независимые переменные (аргументы). Второй тип может принимать любые значения, кроме тех, которые превращают выражение в неопределенность.

Однако аргументы необходимо также обследовать, поскольку они могут обратить тождество в пустое множество. Одним из таких примеров является функция у = к / х. Ее аргумент x может принимать любые значения, кроме 0. Именно это число превращает уравнение в неопределенность, поскольку в математике существует следующее правило: запрещается делить на 0.
Следует отметить, что существует функция y = k/x и ее график — кривая, имеющая название гипербола. Многие путают его с параболой (в степени 2). Однако она является квадратичной. График строится в системе координат, которая называется декартовой. Кроме того, в математике встречается еще одно уравнение вида y = кх. Ее графиком является прямая.
Прямоугольная система координат
В математике существуют специальные инструменты для построения графиков функций. Одним из них считается распространенная прямоугольная система координат. Она может быть на плоскости и в пространстве. Поскольку y = k/x и y = kx являются элементарными, то для иллюстрации их графиков используется однородная прямоугольная декартовая система координат (рис. 1), элементом которой является точка.
Для декартовой системы на плоскости имеется только две координаты: по взаимно перпендикулярным осям ординат (ОУ) и абсцисс (ОХ). Они пересекаются в некоторой точке О, которая называется началом координат.

Рисунок 1. Прямоугольная декартова система координат (ДСК).
При указании координат нужно учитывать четверть. От нее зависит знак. Оси ординат (игрек) и абсцисс (икс) делят систему на четыре четверти. Они обозначаются римскими цифрами (рис. 1) и имеют такие свойства:
- Первая — I: координаты x и y являются положительными числами, т. е. x > 0 и y > 0.
- II: x < 0 и y > 0.
- III: x < 0 и y < 0.
- IV: x > 0 и y < 0.
Базовыми знаниями являются правильное нахождение координат произвольной точки и их запись. Например, на рисунке 1 нужно найти координаты С. Их нужно искать по следующему алгоритму:
- Опустить из точки перпендикуляры на ОУ и ОХ: b и a соответственно.
- Найти координаты по х и у (размерность шкалы деления осей нужно задавать при построении ДСК): B и С соответственно.
- Записать значения: C(В;С).
Допускается задавать одну шкалу в одних единицах, а вторую — в других. Например, при построении графика y = 100x можно задавать х в виде единичных значений, а вот уже у будут исчисляться сотнями. Чтобы приступать к дальнейшему изучению материала, математики рекомендуют потренироваться в нахождении координат любых точек.
Коэффициент пропорциональности

В математических дисциплинах бывает два типа пропорциональности — прямая и обратная. Они применяются для описания различных процессов, исследования дифференциальных уравнений, физических величин и законов.
Прямой пропорциональностью называется некоторая линейная функция вида y = kx, в которой аргументом является х, а к — коэффициент прямой пропорциональности. Иными словами, произведение к на аргумент x есть величина, определяющая прямую пропорциональную зависимость одной величины от другой. Обратной пропорциональностью называется некоторая функция вида y = k/x, значение аргумента которой никогда не равно нулю.
Графиком линейной функции вида y = kx является прямая, проходящая через начало координат в точке О(0;0). От к зависит угол наклона прямой. Если к > 0, то он является острым, т. е. его значение меньше 90 градусов. При к < 0 угол наклона больше 90 градусов (тупой).
Для обратной пропорциональности, заданной уравнением у = к / х, значение коэффициента влияет на расположение гиперболы в четвертях ДСК. Если к > 0, то она располагается в I и III. Когда к < 0, тогда ее расположение заключено во II и IV четвертях.
Исследование функции
Для полного анализа поведения функции применяется методика или алгоритм ее исследования. Это нужно прежде всего для подробного графика. Однако перед началом выполнения этой операции следует ознакомиться с основными пунктами полного исследования заданной функции. К ним относятся следующие:
- Область определения - D(f).
- Область допустимых значений - E(f).
- Нули.
- Знаковые промежутки.
- Периодичность.
- Параметры четности.
- Экстремумы (MAX и MIN).
- Монотонность (интервалы).
Однако некоторые пункты можно опускать или менять местами. После этого необходимо строить график, учитывая все необходимые материалы исследования. Следует подробно разобрать каждый пункт, поскольку только верное решение дает возможность построить правильный график. Кроме того, специалисты рекомендуют освоить интервалы и их правильную запись.
Правила записи интервалов
В некоторых пунктах алгоритма исследования функции встречается термин «промежуток» или «интервал». От правильности его задания зависит решение задачи. Во всем мире приняты обозначения, которые помогут сделать запись понятной и грамотной:
- Обозначение жесткой границы (включительно) квадратными скобками [], а значения, не входящего в интервал (не включительно), — круглыми скобками ().
- Тип границ можно комбинировать.
- Для объединения промежутков применяется специальный символ U.
- Бесконечность можно обозначать символом или inf. Например, (-inf;inf).
- Перед и после бесконечности всегда ставится круглая скобка.
- Порядок комбинации промежутков (интервалов или числовых отрезков): последовательно от большего к меньшему. Например, (-inf;-8) U (-4;0] U [5;8] U (10;15).
Обозначение inf используется в некоторых языках программирования или математических пакетах. В дисциплине «Алгебра и начало анализа» интервалы встречаются очень часто, поскольку она основана на исследовании выражений, уравнений, неравенств, функций и т. д. После ознакомления с правилами записи промежутков следует переходить к первому пункту — нахождению D(f).
Область определения и допустимые значения
Все значения аргумента, при которых существует заданная функция вида z = f(y), называется областью ее определения. Обозначается параметр комбинацией букв D(имя функции), т. е. D(z) или D(f(y)). Величина D(z) зависит от типа функции, в том числе от ее сложности. Если она состоит из нескольких простых элементов, то нужно рассматривать D(z) для каждого из них. Параметр всегда записывается в виде промежутка, на котором существует зависимая переменная.
Областью допустимых значений функции z = f(y) являются все значения, при которых она существует. Обозначается величина литерой Е(имя функции). Например, запись для z = f(y) выглядит таким образом: Е(z) или Е(f(y)). Этот параметр тоже зависит от типа выражения, как и D(z). Задается в виде интервала. Для его задания необходимо выяснить, при каких значениях функция не существует. Например, для z = 2 / y. В искомом выражении у не может быть равен 0. Следовательно, у принадлежит следующему интервалу: (-inf;0) U (0;inf). Для z = 3y параметр Е(z) = (-inf;inf), поскольку при любых значениях функция существует.
Нули и знаковые промежутки

Нулями функции называются все значения независимой переменной, при которых ее график пересекается с осями ОУ и ОХ. Для нахождения точки пересечения с ОУ необходимо подставить х = 0 в выражение и выполнить расчеты. Чтобы найти пересечение или пересечения с осью иксов, нужно решить уравнение, приравняв его к 0.
Знаковые промежутки (интервал знакопостоянства) — отрезки, на которых функция меняет знак на противоположный. Если интервал положительный, то короткая запись выглядит таким образом: f(x) > 0 при х, принадлежащим промежутку (2;6) U [8;10]. Аналогично указывается отрезок, на котором заданная функция принимает отрицательные значения (f(x) < 0). Математики рекомендуют воспользоваться методом интервалов. Он представлен таким алгоритмом:
- Найти D(z).
- Определить нули с ОХ.
- Начертить ось ОХ отдельно.
- Отложить на ней точки разрыва, нули функции.
- Определить знаки на интервалах.
Следует отметить, что на числовой прямой обозначаются только те точки, которые входят в ее область определения.
Периодичность и четность
Периодической является функция, повторяющая значения через некоторый период Т (регулярный интервал). Ее значения не меняются при добавлении к аргументу некоторого числа, неравного нулевому значению. Математическая запись для z = f(y) имеет такой вид: z = f(y + T) = f(y - T). Для любой периодической функции справедливо также следующее равенство: z = f(y + nT). Коэффициент n — любое целочисленной значение.
Для выявления признака четности следует воспользоваться очень простым соотношением f(y) = f(-y). Для этого необходимо подставить в выражение положительное, а затем отрицательное значение аргумента. Если в первом и втором случаях равенство будет выполняться, то можно сделать вывод о четности. Когда соотношение не выполняется, тогда исходная функция является нечетной.
Монотонность и экстремумы
Монотонная — функция z = f(x), которая может только возрастать или убывать (понижение) на всей области определения. Для исследования нужно воспользоваться следующим алгоритмом:
- Найти первую производную.
- Определить критические точки, приравняв производную к 0.
- Выяснить знаки производной на промежутках.
- Сделать выводы.
Далее нужно определить экстремумы, т. е. минимальное и максимальное значения функции на всей области ее определения. В этом случае также существуют определенные правила:

- Найти D(z) и сравнить его с отрезком, на котором нужно найти экстремумы (должен принадлежать D(z)).
- Найти производную заданной функции.
- Выполнить поиск стационарных точек (производная приравнивается к 0 и решается уравнение).
- Подставить корни уравнения в исходную функцию.
- Найти минимальное и максимальное значения.
Следует учесть все точки. Однако перед выполнением 4 пункта следует отсеять ложные корни. Для этого следует подставить в уравнение корни. Они должны соответствовать равенству. Если этого не происходит, то корень отсеивается.
Информация о свойствах
В некоторых источниках описываются свойства y = k/x и ее график. Следует отметить, что они получаются при исследовании последней. Существует два состояния. При первом коэффициент пропорциональности больше 0 (k > 0). Следовательно, она обладает такими свойствами:

- График: кривая-гипербола.
- D(y) = (-inf;0) U (0;+inf).
- Если x > 0, то y > 0.
- При отрицательных величинах аргумента функция принимает отрицательные значения.
- Она убывает на интервалах: (-inf;0) и (0;+inf).
- Точек экстремума нет.
- Непрерывна, кроме точки х = 0.
- Непериодическая.
- Нечетная.
Когда к < 0, тогда ее свойства отличаются только в 3 и 4 пунктах: y > 0 при отрицательных значениях аргумента, а y < 0 при x > 0. Функция y = kx обладает такими свойствами (k > 0):
- График: прямая.
- D(y) = (-inf;+inf).
- Если x > 0, то y > 0. Когда x < 0, то y < 0.
- Всегда возрастает по всей D(y).
- Минимумов и максимумов нет.
- Непрерывна.
- Нечетная.
- Непериодическая.
При k < 0 она обладает такими же свойствами, но есть такие отличия в пункте 3: y > 0 при x < 0. Следует отметить, что в высшей математике уравнения гиперболы отличаются. Каноническая форма имеет такой вид: [x^2 / a] - [у^2 / b] = 1 (a и b - некоторые целые числа).
Пример решения
Существует некоторый тип задач, в которых нужно исследовать и построить график функции y = k/x. Разобрать решение можно на примере y = 5 / (x - 3). Следует воспользоваться алгоритмом:

- D(5 / (x - 3)) = (-inf;3) U (3;+inf).
- Нули функции. По ОУ: y = 5 / (0 - 3) = - 5/3. По ОХ: 5 / (x - 3) = 0. Если решить уравнения, то у него нет корней.
- Знаковые промежутки: (-inf;3) и (3;+inf).
- Непериодическая.
- Четность: 5 / (-x - 3) = - 5 / (x + 3). Нечетная: - 5 / (x + 3) не равно 5 / (x - 3).
- Экстремумы: y' = [5 / (x - 3)] = - 5 / (x - 3)^2 = 0. Уравнение не имеет решений, а это значит, что максимума и минимума нет.
- Не является монотонной.
Чтобы построить график функции y = k / x + 3 (к = 5), нужно составить таблицу для его построения.
х | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
у | -5/7 | -5/6 | -1 | -1,2 | -5/3 | -2,5 | -5 | нет | 5 |
Таблица 1. Зависимость значения функции от ее аргумента.
После составления таблицы нужно начертить ДСК. На ней следует отмечать точки, а затем их плавно соединить (рис. 2).

Рисунок 2. График обратной пропорциональности y = k / x - 3 при к = 5.
Математики рекомендуют для проверки применять специализированные веб-приложения. Одним из них является онлайн-сервис, который называется yotx.
Таким образом, графиком обратной пропорциональности является гипербола, а прямой пропорциональности — прямая. Поведение функции исследуется по специальному алгоритму, который позволяет легко построить ее график и выяснить некоторые свойства.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов