Решение уравнений с модулем - правила, методы и примеры

Начало обучения

Теоретические знания нужно приобретать целенаправленно. Не имеет смысла запоминать огромные массивы информации, поскольку она не отложится в головном мозге. Объяснением этого является защита организма и нервной системы от переутомления. Однако следует обратить внимание на «лазейки», с помощью которых можно добиться успехов. При этом зубрить материал необязательно.

Математики рекомендуют не тратить время на заучивание материала. Они считают, что очень важно с ним ознакомиться и разобраться. Сегодня существует много информации, однако она часто изложена на непонятном языке или неправильно.

Перед изучением любой дисциплины следует составить подробный план. Эта операция довольно сложная, поскольку произвести ее может не каждый. Специалисты рекомендуют действовать по такому абстрактному алгоритму:

• Поставить задачу.
• Определить базовый минимум знаний.
• Найти информацию о каждом элементе второго пункта.
• Разобраться в терминах и теоретическом материале.
• Приступить к практике начиная с простых заданий.

Первый пункт должен быть подробно расписан. Необходимо точно описать проблему, а также последствия (например, научиться решать что-то). После этого нужно найти информацию, желательно использовать несколько источников. В некоторых случаях каждую задачу во втором пункте допускается разбивать на подзадачи.

Далее необходимо составить список всех необходимых знаний, которые нужны для достижения цели в первом пункте (например, решение квадратных уравнений с модулем). Их нужно расписать полностью. Можно воспользоваться любым текстовым процессором (Word, OpenOffice и т. д.). Основная задача третьего пункта заключается в полной систематизации информации.

Четвертый пункт — углубленное чтение. Нужно не просто прочитать материал, а попытаться в нем разобраться. Заучивать его нет смысла, поскольку такие действия очень часто приводят к разочарованию и усталости. После четвертого пункта следует приступить к решению простых примеров. Действия нужно выполнять до полного автоматизма. Основной принцип этого алгоритма — постепенное усваивание материала.

Базовые знания

Практическое применение описанного алгоритма следует разобрать на примере решения уравнений с модулем. Первый пункт — постановка задачи, формулировка которой следующая: научиться решать произвольные уравнения с модулем. На основании этого можно составить перечень элементов. Первым из них является модуль. Список пунктов по нему может быть следующим:

• Определение и обозначение.
• Геометрический и математический смысл.
• График функции y = |x|.
• Свойства.

Вторым пунктом является классификация уравнений, поскольку каждое из них может содержать модуль. Необходимо найти информацию о выражениях с неизвестным и их классификации. Третий пункт — способы и методы решения. В некоторых случаях потребуются алгоритмы нахождения корней. Если все систематизировать, то можно получить план такого вида:

• Модуль.
• Классификация уравнений.
• Алгоритмы и методы решения уравнений без модуля.
• Особенности решения выражений, содержащих неизвестные под знаком модуля.

Далее необходимо найти информацию об элементах плана. Нет необходимости включать в пункт 1 тыс. страниц печатного текста. Для этих целей следует воспользоваться и сравнить несколько источников. Объема, равного двум или трем листам, достаточно, но можно его сократить до одной страницы.

Общие сведения о модуле

Модулем числа называется абсолютная величина, представляющая неотрицательное число. Обозначается следующим образом: |любое число|. Следует отметить, что модуль рассматривается как два значения выражения (отрицательное и положительное). Это очень важно при решении уравнений. Запись |x| расписывается по формуле, которая состоит из кусочной линейной функции:

1. х: x >= 0.
2. -x: x < 0.

В результате этого нужно рассматривать два случая при решении: выражение принимает положительное и отрицательное значение. Алгебраическим смыслом модуля является положительная величина.

Геометрический смысл — расстояние от начала координат до искомой точки. Далее следует рассмотреть график функции y = |x|. Чтобы его начертить, нужно составить таблицу зависимости y от аргумента х.

Таблица 1. Зависимость значения функции y = |x| от ее аргумента.

Не имеет смысла использовать больше значений, поскольку графиком является прямая, зеркально отображенная относительно оси ординат ОУ. Далее нужно начертить декартовую прямоугольную систему координат и отметить на ней точки. Затем их следует соединить (рис. 1).

Рисунок 1. График y = |x|.

Необходимо знать также основные свойства абсолютной величины, которыми можно воспользоваться при решении соответствующих уравнений. К ним относятся следующие:

1. Неотрицательное число: |x| >= 0.
2. Модули чисел с разными знаками равны: |x| = |-x|.
3. Произведение под знаком модуля равно произведению абсолютных величин: |x * y| = |x| * |y|.
4. Частное двух чисел под знаком модуля равно частному их абсолютных значений: |x / y| = |x| / |y|. Необходимо учитывать, что y не равен нулю. Для пропорции тоже справедливо это утверждение: |x / y| = |z / w| = |x| / |y| = |z| / |w|.
5. Модуль суммы равен или меньше суммы модулей значений: |x + y| <= |x| + |y|. Аналогично утверждение и для разности: |x – y| <= |x| – |y|.
6. Константу (положительное число), умноженную на переменную, допускается выносить за знак модуля: |C * y| = C * |y|.
7. Квадрат абсолютного значения равен квадрату числа, стоящего под модулем: |x|^2 = x ².
8. Корень четной степени 2n из числа a в степени 2n эквивалентен |a|: [a^(2n)]^(½n) = |a|.

Объем информации небольшой. Далее необходимо разобраться и приступить к сбору данных для следующего пункта.

Классификация уравнений

Существует огромное разнообразие уравнений и их частных случаев. Однако следует разобрать самые основные виды, которые встречаются в алгебраических задачах. Тождества с одним неизвестным бывают таких видов:

• линейные;
• квадратные;
• кубические;
• биквадратные (четвертая степень).

Первый тип является самым простым. Это уравнение вида Ay + B = 0. Для нахождения корня следует перенести известные величины в правую сторону относительно знака равенства, а неизвестный член оставляют в левой. В результате оно принимает такой вид: Ay = -B. Неизвестный аргумент можно найти по такой формуле: у = -В / А.

Квадратные уравнения вида Ay ² + By + C = 0 (А не равно 0) решать немного сложнее, поскольку появляется новая величина. Она называется дискриминантом. Для нахождения корней следует применить такой алгоритм:

• Вычислить дискриминант: D = (-B)^2 – 4AC.
• Если D > 0, то решениями тождества считаются два корня: y1 = -B – D^(½) / 2A и y2 = -B + D^(½) / 2A.
• При D = 0 оно имеет всего один корень: y = -B / 2A.
• Если D < 0, то корней не существует.
• После нахождения корней или корня нужно проверить их, подставив в исходное тождество.

Если В = 0, то D считать нет смысла. Для решения достаточно перенести свободный член С в правую сторону тождества (Ay² = C). Далее следует выполнить следующие шаги:

1. Разделить С на А.
2. Если (С / А) > 0, то извлечь квадратный корень из него: y = (С / А)^(½). Результат будет в виде двух решений, поскольку значение квадратного корня из числа являются положительной и отрицательной величинами.
3. При (С / А) < 0 корней нет вообще.

Следует также рассмотреть случай, когда свободный член С = 0 (Ay ² + By = 0). Уравнение решается при помощи вынесения общего множителя за скобку. Алгоритм решения довольно простой:

• Вынести неизвестную величину за скобку: y (Ay + B) = 0.
• Разобрать каждое уравнение: y1 = 0 и Ay2 + B = 0.
• Оба примера в пункте 2 решаются просто: первое — готовое решение, а второе — линейное.

Эти виды уравнений являются простыми. Отдельно следует описать принцип решения сложных тождеств с неизвестным.

Сложные типы

Сложнее решаются кубические тождества с неизвестным (Ay ³ + By ² + Cy + D= 0). Они бывают нескольких типов, по которым и следует выбирать алгоритм решения:

1. Ay ³ + D= 0.
2. Ay ³ + By ² + By + A = 0.
3. Ay ³ + By ² + Cy = 0.
4. Ay ³ + By ² + Cy + D = 0.

Для решения первого типа его следует привести к такому виду: y ³ + D/А= 0. Затем нужно воспользоваться формулой разложения на множители: y ³ + D/А = (y + (D/A)^(1/3)) * (y ² — [(D/A)^(1/3)]y + [(D/A)^2]^(1/3)) = 0. В результате операции степень понижается, и получаются два уравнения.

Второй тип следует решать при помощи метода математических преобразований: Ay ³ + By ² + By + A = A (y ³ + 1) + B (y ² + x) = A (y + 1)(y ² — y + 1) + By (y + 1) = (y + 1)(Ay ² + y (B — A) + A) = 0. Получаются два тождества: линейное и квадратное. Для решения третьего вида следует просто вынести неизвестное за скобку: Ay ³ + By ² + Cy = y (Ay ² + By + C) = 0.

Сложно решить уравнение четвертого типа. Для этого следует воспользоваться формулой Кардана. Кроме того, необходимо придерживаться такого алгоритма:

• Ввести коэффициенты: Е1 = В/А, Е2 = С/А и Е3 = D/A.
• Параметры для формулы: u = -((E1)^2 / 3) + E2 и v = [2 (E1)^3 / 27] - [(E1 * E2) / 3] + E3.
• Формула Кардана: z = [(-v / 2) + ((v ² / 4) + u ³ / 27)^(½)]^(1/3) + [(-v / 2) — (-(v ² / 4) + u ³ / 27)^(½)]^(1/3).
• Найти корни: y1 = z – E1, y2 = z – E2 и y3 = z – E3.

Существуют также и биквадратные уравнения вида Ay ⁴ + By ² + C = 0. Все они решаются при помощи замены. Суть методики сводится к понижению степени. Алгоритм решения имеет такой вид:

• Разделить все члены уравнения на А. Если А = 1, то этот пункт следует пропустить.
• Ввести параметр замены: t = y ².
• Записать уравнение с учетом нового параметра: t ² + (B/А)t + C/А = 0.
• Найти корни квадратного уравнения относительно t.
• Вернуться ко второму пункту, найти корни: y1 = t^(½) и y2 = -[t^(½)].

В пятом пункте следует учитывать, что корней может быть четыре, поскольку у квадратного тождества с неизвестным t есть один или два корня. Далее можно рассмотреть алгоритм для решения модульных уравнений.

Поиск корней

После изучения основных элементов, которые необходимы для решения равенств модульного типа с неизвестными, можно переходить к рассмотрению алгоритма. Следует на первоначальном этапе правильно раскрыть модуль в уравнении. Эту методику можно применить и к неравенствам такого же типа. Правила нахождения корней следующие:

• Раскрыть модуль.
• Упростить.
• Решить два уравнения по одной из методик.
• Проверить корни, подставив их в исходное выражение.
• Автоматизированная проверка.

При раскрытии модуля образуются выражения с противоположными знаками. Специалисты рекомендуют заключить их в квадратные скобки, а также указывать минус и плюс. Последний пункт — использование онлайн-калькулятора для решения уравнений с модулем. После теории можно приступить к практическому решению.

Пример решения

Необходимо решить уравнение биквадратного типа |4z ⁴ + 8z ² — 20| = 4. Ошибочное утверждение, которое делают новички, заключается в упрощении (разделить обе части на 4). Однако это делать не рекомендуется, поскольку следует придерживаться алгоритма:

1. Раскрытие модуля (двойное выражение): 4z ⁴ + 8z ² — 20 = 4 и -[4z ⁴ + 8z ² — 20] = 4.
2. Упрощение: 4z ⁴ + 8z ² — 20 — 4 = 4z ⁴ + 8z ² — 24 = z ⁴ + 2z ² — 6 = 0 и -4z ⁴ — 8z ² + 20 — 4 = -z ⁴ + 2z ² — 4 = 0.
3. Решение z ⁴ + 2z ² — 4 = 0 с вводом параметра замены t = z ² : t ² + 2t — 6 = 0.
4. Дискриминант: D1 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-6) = 28 = [2 * (7)^(½)]^2.
5. Корни: t1 = [-B — (D1)^(½)] / 2A = [2 — 2 * (7)^(½)] / 2 = -1 — (7)^(½) и t2 = -1 + (7)^(½).
6. Окончательное решение первого уравнения: z1 = [-1 + (7)^(½)]^(½) и z2 = -[-1 + (7)^(½)]^(½).
7. Решение второго уравнения с w = z ² : w ² + 2w — 4 = 0.
8. Дискриминант: D2 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-4) = 20 = [2 * (5)^(½)]^2.
9. Корни: w1 = [-B — (D1)^(½)] / 2A = [2 — 2 * (5)^(½)] / 2 = -1 — (5)^(½) и w2 = -1 + (5)^(½).
10. Нахождение искомых корней: z3 = [-1 + (5)^(½)]^(½) и z4 = -[-1 + (5)^(½)]^(½).

Корнями являются четыре иррациональных значения. Если проверить при помощи онлайн-калькулятора, то ответы будут верными. В физике также можно встретить такой тип уравнений. Например, необходимо выполнить сравнение сил, направленных в противоположные стороны. В этом случае рекомендуется воспользоваться модулем для упрощения записи.

Задание любого типа следует решать, используя абстрактный алгоритм. Он позволяет произвести вычисления без ошибок, что позволит сэкономить много времени.