Решение уравнений с модулем - правила, методы и примеры

Начало обучения
Теоретические знания нужно приобретать целенаправленно. Не имеет смысла запоминать огромные массивы информации, поскольку она не отложится в головном мозге. Объяснением этого является защита организма и нервной системы от переутомления. Однако следует обратить внимание на «лазейки», с помощью которых можно добиться успехов. При этом зубрить материал необязательно.
Математики рекомендуют не тратить время на заучивание материала. Они считают, что очень важно с ним ознакомиться и разобраться. Сегодня существует много информации, однако она часто изложена на непонятном языке или неправильно.
Перед изучением любой дисциплины следует составить подробный план. Эта операция довольно сложная, поскольку произвести ее может не каждый. Специалисты рекомендуют действовать по такому абстрактному алгоритму:
- Поставить задачу.
- Определить базовый минимум знаний.
- Найти информацию о каждом элементе второго пункта.
- Разобраться в терминах и теоретическом материале.
- Приступить к практике начиная с простых заданий.

Первый пункт должен быть подробно расписан. Необходимо точно описать проблему, а также последствия (например, научиться решать что-то). После этого нужно найти информацию, желательно использовать несколько источников. В некоторых случаях каждую задачу во втором пункте допускается разбивать на подзадачи.
Далее необходимо составить список всех необходимых знаний, которые нужны для достижения цели в первом пункте (например, решение квадратных уравнений с модулем). Их нужно расписать полностью. Можно воспользоваться любым текстовым процессором (Word, OpenOffice и т. д.). Основная задача третьего пункта заключается в полной систематизации информации.
Четвертый пункт — углубленное чтение. Нужно не просто прочитать материал, а попытаться в нем разобраться. Заучивать его нет смысла, поскольку такие действия очень часто приводят к разочарованию и усталости. После четвертого пункта следует приступить к решению простых примеров. Действия нужно выполнять до полного автоматизма. Основной принцип этого алгоритма — постепенное усваивание материала.
Базовые знания
Практическое применение описанного алгоритма следует разобрать на примере решения уравнений с модулем. Первый пункт — постановка задачи, формулировка которой следующая: научиться решать произвольные уравнения с модулем. На основании этого можно составить перечень элементов. Первым из них является модуль. Список пунктов по нему может быть следующим:
- Определение и обозначение.
- Геометрический и математический смысл.
- График функции y = |x|.
- Свойства.
Вторым пунктом является классификация уравнений, поскольку каждое из них может содержать модуль. Необходимо найти информацию о выражениях с неизвестным и их классификации. Третий пункт — способы и методы решения. В некоторых случаях потребуются алгоритмы нахождения корней. Если все систематизировать, то можно получить план такого вида:
- Модуль.
- Классификация уравнений.
- Алгоритмы и методы решения уравнений без модуля.
- Особенности решения выражений, содержащих неизвестные под знаком модуля.
Далее необходимо найти информацию об элементах плана. Нет необходимости включать в пункт 1 тыс. страниц печатного текста. Для этих целей следует воспользоваться и сравнить несколько источников. Объема, равного двум или трем листам, достаточно, но можно его сократить до одной страницы.
Общие сведения о модуле
Модулем числа называется абсолютная величина, представляющая неотрицательное число. Обозначается следующим образом: |любое число|. Следует отметить, что модуль рассматривается как два значения выражения (отрицательное и положительное). Это очень важно при решении уравнений. Запись |x| расписывается по формуле, которая состоит из кусочной линейной функции:

- х: x >= 0.
- -x: x < 0.
В результате этого нужно рассматривать два случая при решении: выражение принимает положительное и отрицательное значение. Алгебраическим смыслом модуля является положительная величина.
Геометрический смысл — расстояние от начала координат до искомой точки. Далее следует рассмотреть график функции y = |x|. Чтобы его начертить, нужно составить таблицу зависимости y от аргумента х.
y | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
Таблица 1. Зависимость значения функции y = |x| от ее аргумента.
Не имеет смысла использовать больше значений, поскольку графиком является прямая, зеркально отображенная относительно оси ординат ОУ. Далее нужно начертить декартовую прямоугольную систему координат и отметить на ней точки. Затем их следует соединить (рис. 1).

Рисунок 1. График y = |x|.
Необходимо знать также основные свойства абсолютной величины, которыми можно воспользоваться при решении соответствующих уравнений. К ним относятся следующие:

- Неотрицательное число: |x| >= 0.
- Модули чисел с разными знаками равны: |x| = |-x|.
- Произведение под знаком модуля равно произведению абсолютных величин: |x * y| = |x| * |y|.
- Частное двух чисел под знаком модуля равно частному их абсолютных значений: |x / y| = |x| / |y|. Необходимо учитывать, что y не равен нулю. Для пропорции тоже справедливо это утверждение: |x / y| = |z / w| = |x| / |y| = |z| / |w|.
- Модуль суммы равен или меньше суммы модулей значений: |x + y| <= |x| + |y|. Аналогично утверждение и для разности: |x – y| <= |x| – |y|.
- Константу (положительное число), умноженную на переменную, допускается выносить за знак модуля: |C * y| = C * |y|.
- Квадрат абсолютного значения равен квадрату числа, стоящего под модулем: |x|^2 = x 2.
- Корень четной степени 2n из числа a в степени 2n эквивалентен |a|: [a^(2n)]^(½n) = |a|.
Объем информации небольшой. Далее необходимо разобраться и приступить к сбору данных для следующего пункта.
Классификация уравнений
Существует огромное разнообразие уравнений и их частных случаев. Однако следует разобрать самые основные виды, которые встречаются в алгебраических задачах. Тождества с одним неизвестным бывают таких видов:
- линейные;
- квадратные;
- кубические;
- биквадратные (четвертая степень).
Первый тип является самым простым. Это уравнение вида Ay + B = 0. Для нахождения корня следует перенести известные величины в правую сторону относительно знака равенства, а неизвестный член оставляют в левой. В результате оно принимает такой вид: Ay = -B. Неизвестный аргумент можно найти по такой формуле: у = -В / А.

Квадратные уравнения вида Ay 2 + By + C = 0 (А не равно 0) решать немного сложнее, поскольку появляется новая величина. Она называется дискриминантом. Для нахождения корней следует применить такой алгоритм:
- Вычислить дискриминант: D = (-B)^2 – 4AC.
- Если D > 0, то решениями тождества считаются два корня: y1 = -B – D^(½) / 2A и y2 = -B + D^(½) / 2A.
- При D = 0 оно имеет всего один корень: y = -B / 2A.
- Если D < 0, то корней не существует.
- После нахождения корней или корня нужно проверить их, подставив в исходное тождество.
Если В = 0, то D считать нет смысла. Для решения достаточно перенести свободный член С в правую сторону тождества (Ay2 = C). Далее следует выполнить следующие шаги:
- Разделить С на А.
- Если (С / А) > 0, то извлечь квадратный корень из него: y = (С / А)^(½). Результат будет в виде двух решений, поскольку значение квадратного корня из числа являются положительной и отрицательной величинами.
- При (С / А) < 0 корней нет вообще.
Следует также рассмотреть случай, когда свободный член С = 0 (Ay 2 + By = 0). Уравнение решается при помощи вынесения общего множителя за скобку. Алгоритм решения довольно простой:
- Вынести неизвестную величину за скобку: y (Ay + B) = 0.
- Разобрать каждое уравнение: y1 = 0 и Ay2 + B = 0.
- Оба примера в пункте 2 решаются просто: первое — готовое решение, а второе — линейное.
Эти виды уравнений являются простыми. Отдельно следует описать принцип решения сложных тождеств с неизвестным.
Сложные типы
Сложнее решаются кубические тождества с неизвестным (Ay 3 + By 2 + Cy + D= 0). Они бывают нескольких типов, по которым и следует выбирать алгоритм решения:
- Ay 3 + D= 0.
- Ay 3 + By 2 + By + A = 0.
- Ay 3 + By 2 + Cy = 0.
- Ay 3 + By 2 + Cy + D = 0.
Для решения первого типа его следует привести к такому виду: y 3 + D/А= 0. Затем нужно воспользоваться формулой разложения на множители: y 3 + D/А = (y + (D/A)^(1/3)) * (y 2 — [(D/A)^(1/3)]y + [(D/A)^2]^(1/3)) = 0. В результате операции степень понижается, и получаются два уравнения.
Второй тип следует решать при помощи метода математических преобразований: Ay 3 + By 2 + By + A = A (y 3 + 1) + B (y 2 + x) = A (y + 1)(y 2 — y + 1) + By (y + 1) = (y + 1)(Ay 2 + y (B — A) + A) = 0. Получаются два тождества: линейное и квадратное. Для решения третьего вида следует просто вынести неизвестное за скобку: Ay 3 + By 2 + Cy = y (Ay 2 + By + C) = 0.
Сложно решить уравнение четвертого типа. Для этого следует воспользоваться формулой Кардана. Кроме того, необходимо придерживаться такого алгоритма:
- Ввести коэффициенты: Е1 = В/А, Е2 = С/А и Е3 = D/A.
- Параметры для формулы: u = -((E1)^2 / 3) + E2 и v = [2 (E1)^3 / 27] - [(E1 * E2) / 3] + E3.
- Формула Кардана: z = [(-v / 2) + ((v 2 / 4) + u 3 / 27)^(½)]^(1/3) + [(-v / 2) — (-(v 2 / 4) + u 3 / 27)^(½)]^(1/3).
- Найти корни: y1 = z – E1, y2 = z – E2 и y3 = z – E3.
Существуют также и биквадратные уравнения вида Ay 4 + By 2 + C = 0. Все они решаются при помощи замены. Суть методики сводится к понижению степени. Алгоритм решения имеет такой вид:
- Разделить все члены уравнения на А. Если А = 1, то этот пункт следует пропустить.
- Ввести параметр замены: t = y 2.
- Записать уравнение с учетом нового параметра: t 2 + (B/А)t + C/А = 0.
- Найти корни квадратного уравнения относительно t.
- Вернуться ко второму пункту, найти корни: y1 = t^(½) и y2 = -[t^(½)].
В пятом пункте следует учитывать, что корней может быть четыре, поскольку у квадратного тождества с неизвестным t есть один или два корня. Далее можно рассмотреть алгоритм для решения модульных уравнений.
Поиск корней
После изучения основных элементов, которые необходимы для решения равенств модульного типа с неизвестными, можно переходить к рассмотрению алгоритма. Следует на первоначальном этапе правильно раскрыть модуль в уравнении. Эту методику можно применить и к неравенствам такого же типа. Правила нахождения корней следующие:

- Раскрыть модуль.
- Упростить.
- Решить два уравнения по одной из методик.
- Проверить корни, подставив их в исходное выражение.
- Автоматизированная проверка.
При раскрытии модуля образуются выражения с противоположными знаками. Специалисты рекомендуют заключить их в квадратные скобки, а также указывать минус и плюс. Последний пункт — использование онлайн-калькулятора для решения уравнений с модулем. После теории можно приступить к практическому решению.

Пример решения
Необходимо решить уравнение биквадратного типа |4z 4 + 8z 2 — 20| = 4. Ошибочное утверждение, которое делают новички, заключается в упрощении (разделить обе части на 4). Однако это делать не рекомендуется, поскольку следует придерживаться алгоритма:

- Раскрытие модуля (двойное выражение): 4z 4 + 8z 2 — 20 = 4 и -[4z 4 + 8z 2 — 20] = 4.
- Упрощение: 4z 4 + 8z 2 — 20 — 4 = 4z 4 + 8z 2 — 24 = z 4 + 2z 2 — 6 = 0 и -4z 4 — 8z 2 + 20 — 4 = -z 4 + 2z 2 — 4 = 0.
- Решение z 4 + 2z 2 — 4 = 0 с вводом параметра замены t = z 2 : t 2 + 2t — 6 = 0.
- Дискриминант: D1 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-6) = 28 = [2 * (7)^(½)]^2.
- Корни: t1 = [-B — (D1)^(½)] / 2A = [2 — 2 * (7)^(½)] / 2 = -1 — (7)^(½) и t2 = -1 + (7)^(½).
- Окончательное решение первого уравнения: z1 = [-1 + (7)^(½)]^(½) и z2 = -[-1 + (7)^(½)]^(½).
- Решение второго уравнения с w = z 2 : w 2 + 2w — 4 = 0.
- Дискриминант: D2 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-4) = 20 = [2 * (5)^(½)]^2.
- Корни: w1 = [-B — (D1)^(½)] / 2A = [2 — 2 * (5)^(½)] / 2 = -1 — (5)^(½) и w2 = -1 + (5)^(½).
- Нахождение искомых корней: z3 = [-1 + (5)^(½)]^(½) и z4 = -[-1 + (5)^(½)]^(½).
Корнями являются четыре иррациональных значения. Если проверить при помощи онлайн-калькулятора, то ответы будут верными. В физике также можно встретить такой тип уравнений. Например, необходимо выполнить сравнение сил, направленных в противоположные стороны. В этом случае рекомендуется воспользоваться модулем для упрощения записи.
Задание любого типа следует решать, используя абстрактный алгоритм. Он позволяет произвести вычисления без ошибок, что позволит сэкономить много времени.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов