Решение уравнений с модулем - правила, методы и примеры

Необходимо решить уравнение биквадратного типа |4z ⁴ + 8z ² — 20| = 4. Ошибочное утверждение, которое делают новички, заключается в упрощении (разделить обе части на 4). Однако это делать не рекомендуется, поскольку следует придерживаться алгоритма:

1. Раскрытие модуля (двойное выражение): 4z ⁴ + 8z ² — 20 = 4 и -[4z ⁴ + 8z ² — 20] = 4.
2. Упрощение: 4z ⁴ + 8z ² — 20 — 4 = 4z ⁴ + 8z ² — 24 = z ⁴ + 2z ² — 6 = 0 и -4z ⁴ — 8z ² + 20 — 4 = -z ⁴ + 2z ² — 4 = 0.
3. Решение z ⁴ + 2z ² — 4 = 0 с вводом параметра замены t = z ² : t ² + 2t — 6 = 0.
4. Дискриминант: D1 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-6) = 28 = [2 * (7)^(½)]^2.
5. Корни: t1 = [-B — (D1)^(½)] / 2A = [2 — 2 * (7)^(½)] / 2 = -1 — (7)^(½) и t2 = -1 + (7)^(½).
6. Окончательное решение первого уравнения: z1 = [-1 + (7)^(½)]^(½) и z2 = -[-1 + (7)^(½)]^(½).
7. Решение второго уравнения с w = z ² : w ² + 2w — 4 = 0.
8. Дискриминант: D2 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-4) = 20 = [2 * (5)^(½)]^2.
9. Корни: w1 = [-B — (D1)^(½)] / 2A = [2 — 2 * (5)^(½)] / 2 = -1 — (5)^(½) и w2 = -1 + (5)^(½).
10. Нахождение искомых корней: z3 = [-1 + (5)^(½)]^(½) и z4 = -[-1 + (5)^(½)]^(½).

Корнями являются четыре иррациональных значения. Если проверить при помощи онлайн-калькулятора, то ответы будут верными. В физике также можно встретить такой тип уравнений. Например, необходимо выполнить сравнение сил, направленных в противоположные стороны. В этом случае рекомендуется воспользоваться модулем для упрощения записи.

Задание любого типа следует решать, используя абстрактный алгоритм. Он позволяет произвести вычисления без ошибок, что позволит сэкономить много времени.