Биквадратные уравнения - примеры с решениями

Без знания методов нахождения корней в квадратных уравнениях решить самостоятельно биквадратное равенство не удастся, так как исходное неравенство в итоге приводится к виду квадратичного. Существует несколько способов, позволяющих быстро найти нужные корни или доказать невозможность существования равенства.

К основным относят:

• разложение части уравнения с неизвестной на множители;
• вынос за скобки полного квадрата;
• использование специальных формул;
• графический метод;
• теорему Виета.

Разложение многочлена на множители основано на группировании и нахождении дискриминанта, то есть знака, по виду которого можно судить о существовании корней. Для решения используется формула: a * p ² + b * p + c = a * (p — p 1) * (p — p 2), где p и являются корнями уравнения. Этот способ понятен и используется при обучении учащихся решению задач такого типа.

Нахождение корней методом выделения полного квадрата требует опыта использования формул сокращённого умножения, особенно если коэффициентами являются рациональные числа. При решении используется выражение: (a + b)² = a ² + 2* a * b + b ² и (a — b)² = a ² — 2* a * b + b ².

Существуют специальные формулы нахождения корней квадратного, а значит, и биквадратного уравнения. Выглядят они следующим образом: p 1 = (- b — (b ²— 4 ac)^½) / (2* a) и p 2 = (- b + (b ² + 4 ac)^½) / (2* a). С их помощью можно решить любое уравнение. При этом часто для упрощения решения вводят замену подкоренному выражению (b ²— 4 ac) обозначая его буквой D — дискриминант. Если D больше нуля, то есть два корня, если меньше — решений нет. Если же D = 0, то существует только один корень.

Франсуа Виет, проводя математические исследования, смог обнаружить зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами. Он установил, что если p1 и p2 являются решениями равенства, то их сумма будет равна второму коэффициенту с другим знаком, а произведение свободному члену. То есть для уравнения вида: p2 +r*p + k = 0, будет справедливо записать, что p1 + p2 = - r, p1 * p2 = k.

Графическое решение требует построения зависимостей. График первой представляет собой параболу, проходящую через начало координат, а второй — прямую. Для того чтобы выделить зависимости используют перенос. В результате получается две функции: y = a * p ² и y = -(r * p+k). Построение функций и нахождение точек пересечения занимает много времени, поэтому этот метод практически никогда не используется.

Примеры уравнений

Решения любым из способов имеют свои достоинства и недостатки. По мнению математиков, проще решать уравнения, используя теорему Виета. Например, пусть дано выражение: 4p⁴ — 5p + 1 = 0, необходимо найти все бинарные корни. В первую очередь задание нужно привести к виду квадратного равенства. Для этого вводится переменная m = p². Тогда заданное уравнение можно записать как 4 m² — 5m + 1 = 0.

Теперь можно определить дискриминант: D = (-5)² — 4 * 4 * 1 = 9. Используя формулы нахождения корней, вычисляют: m1 = (5+3) / 8 = 1, m2 = (5−3) / 8 = ¼. Оба ответа удовлетворяют условию, то есть больше нуля. Подставив полученные значения в исходные выражения, решают неполные квадратные уравнения: p1 = 1; p2 = -1; p3 = ½; p4 = -½. Это цифры и будут искомыми корнями.

Довольно легко решаются уравнения с помощью метода Виета. Вероятность допущения ошибки при определении корней в этом случае стремится к нулю. Например, p⁴ — 10 * p² + 9 = 0. Чтобы избавиться от четвёртой степени, вводят переменную p. В результате уравнение принимает вид: p² — 10 * p² + 9 = 0. Теперь можно найти корни, используя обратную теорему Виета: p 1 = 9, p 2 = 1. Так как оба ответа больше нуля, то действительными корнями уравнения будут: p 1 = 3, p 2 = -3, p 3 = 1, p 2 = -1.

Определить, что решать биквадратное уравнение не имеет смысла, можно, используя комбинаторный анализ. Например, p⁴ + 11*p² + 10 = 0. Для его решения необходимо расписать каждые члены уравнения, используя определение равенства. Так как каждый член p⁴, 11*p², 10 должен быть больше либо равен нулю, то справедливым будет выражение: p⁴ + 11*p² + 10 > 0.

Отсюда можно сделать вывод, что p⁴ + 11*p² + 10 решения не имеет, ведь сумма неотрицательных чисел с положительным не может быть равной нулю. И также можно разложить и доказать бесперспективность поиска для задания с одними минусами, например, -2 p⁴ — 45 p² — 12 = 0.

Но не всегда уравнение будет иметь четыре корня. Например, p ⁴ +4 *p ² — 21=0. Если принять p² = m, квадратное уравнение изменится до вида: m ² +4*m -21=0, отсюда m 1 = -7, m 2 =3. Теперь нужно решить первоначальное уравнение. Первый ответ не имеет действительных корней, из второго же находят решение. Им будут корни: m 1 = (3)^½ и m 2 = -(3)^½.

Разложение на множители

Самостоятельная работа, дающаяся в школе, часто предполагает решение биквадратных равенств методом разложения на множители. Связанно это с тем, что этот способ позволяет понять принцип нахождения корней для многочлена любой степени.

Например, нужно разложить уравнение p⁴ + p³ — 6p² на множители. В первом действии неизвестное выносится за скобки p² (p² + p — 6). Во втором, используя формулу нахождения решений, вычисляют: p 1 = (-1 + (1² — 4 * (-6))^½) / 2, p 2 = (-1 — (1² — 4 * (-6))^½) / 2. Отсюда корни уравнения будут p1 = -3, p2 = 2. Подставив полученные значения в заданное выражение, можно записать: p 2 + p — 6 = (p — p 1)*(p — p 2) = (p + 3) * (p-2).

Пошагово описать разложение многочлена можно на следующем примере: p⁴ + 2p³ + 3p² + 4p +2. Решают его в следующей последовательности:

1. Предположив, что решение имеет хотя бы один рациональный корень, можно утверждать, что он и будет делителем второго члена. Значит, он будет любым из цифр: -2, -1, 1, 2.
2. Подставив эти числа в уравнение, получим четыре ответа: 6, 0, 12, 54. То есть одним из корней будет -1.
3. Разделив многочлен на (p- p1), запишем уравнение p³ + p² + 2p + 2.
4. Теперь можно составить равенство: p⁴ + 2p³ + 3p² + 4p +2 = (p + 1) * (p ³ + p² + 2p + 2).
5. Для решения уравнения, стоящего во второй части произведения, делают предположение, что кубический многочлен имеет целый корень числа 2, а значит, его ответом будет так же -1.
6. Сгруппировав члены, можно записать: (p + 1) * p² + 2 * (p + 1) = (p + 1) * (p² + 2).
7. Из-за того, что уравнение p² + 2 = 0 не может иметь действительных корней, разложение будет иметь вид: p⁴ + 2p³ + 3p² + 4p +2 = (p + 1)² * (p² + 2).

Вычисление корней требует внимательности и усердия. Для проверки своих навыков можно использовать онлайн-калькуляторы. Это сервисы, использующие специальное программное обеспечение, часто написанное на Паскале, умеют быстро и безошибочно рассчитывать корни любого примера.

Чтобы решить биквадратное уравнение онлайн, особых умений или знаний правил не нужно. Всё, что требуется — это ввести в предложенную форму параметры решаемого равенства. Из наиболее популярных интернет-порталов выделяют Allcalc. Используя его, можно проверить свои знания, исправить допущенные ошибки при самостоятельном расчёте. Причём свои услуги сайт предлагает совершенно бесплатно.