Как сравнивать рациональные числа: правило и примеры

Чтобы сравнить рациональные числа, сначала смотрят на знак, а потом на модуль: из двух положительных чисел больше то, у которого модуль больше, а из двух отрицательных — то, у которого модуль меньше. Рациональное число — это число, которое можно записать дробью вида числитель/знаменатель, где знаменатель не равен нулю.

Что такое рациональное число

Рациональные числа — это все дроби вида m/n, где m и n — целые числа, а n не равно нулю. Сюда входят обычные дроби, десятичные дроби, целые числа и даже отрицательные значения. Например, 3/4, -5, 0,2 и -7/10 — всё это рациональные числа. Знаменатель не может быть нулём, потому что делить на ноль нельзя — такое выражение просто не имеет смысла.

Любое рациональное число можно расположить на числовой прямой. Чем правее точка, тем больше число. Этим свойством и пользуются, когда нужно понять, какое из двух чисел больше.

Сравнение положительных рациональных чисел

Если оба числа положительные, работает простое правило: больше то число, у которого больше модуль. Модуль числа — это его значение без знака, то есть расстояние от нуля до точки на числовой прямой.

Рядом по теме: Чётные числа — это какие числа.

Например, сравним 2/3 и 3/4. Оба числа положительные, значит, нужно сравнить их модули — то есть просто сами числа. Приведём к общему знаменателю: 2/3 = 8/12, а 3/4 = 9/12. Раз 9/12 больше 8/12, то и 3/4 больше 2/3.

С десятичными дробями то же самое: 0,7 больше 0,65, потому что 0,7 = 0,70, а 70 сотых больше 65 сотых.

Сравнение отрицательных рациональных чисел

С отрицательными числами правило работает наоборот: больше то число, у которого модуль меньше. Это часто путает, потому что интуиция подсказывает сравнивать так же, как положительные числа, но на числовой прямой отрицательные числа выстроены в обратном порядке.

Возьмём -2/5 и -3/5. Модуль первого числа равен 2/5, модуль второго — 3/5. Модуль 2/5 меньше, значит, число -2/5 больше, чем -3/5. Если представить это на числовой прямой: -2/5 находится правее -3/5, ближе к нулю.

Ошибка, которую допускают чаще всего: считают, что чем больше цифры в дробной части, тем «больше» отрицательное число. На самом деле всё наоборот — большая цифра в отрицательном числе означает, что оно меньше.

Сравнение чисел с разными знаками

Здесь правило самое короткое: любое положительное число больше любого отрицательного. Не важно, насколько велик модуль отрицательного числа — оно всё равно будет меньше.

Например, -100 меньше, чем 0,001. Хотя модуль -100 огромный, знак минус сразу отправляет это число левее нуля на числовой прямой, а 0,001 находится правее нуля.

Если одно из чисел равно нулю, тоже просто: ноль больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного.

Порядок действий при сравнении

• Определить знак каждого числа — плюс, минус или ноль.
• Если знаки разные, сравнение уже закончено: положительное больше отрицательного, а ноль между ними.
• Если знаки одинаковые, привести дроби к общему знаменателю (если это дроби) или к одинаковому числу знаков после запятой (если десятичные).
• Сравнить модули по обычному правилу для положительных чисел.
• Для положительных чисел большему модулю соответствует большее число, для отрицательных — наоборот.

Частые ошибки при сравнении

Первая ошибка — забыть про знак и сравнивать числа так, будто оба положительные. Из-за этого -10 иногда «случайно» объявляют больше -3, хотя это не так: -10 меньше, потому что его модуль больше.

Вторая ошибка — сравнивать дроби с разными знаменателями без приведения к общему знаменателю. Например, кажется, что 3/5 больше 2/3, если смотреть только на числители. На самом деле нужно привести к общему знаменателю: 3/5 = 9/15, а 2/3 = 10/15, и получится, что 2/3 больше.

Третья ошибка — при работе с десятичными дробями не дописывают нули и сравнивают дроби разной длины. 0,5 и 0,45 сравнивать проще, если записать первое число как 0,50 — тогда сразу видно, что оно больше.

Вопросы и ответы про сравнение рациональных чисел

Как сравнить две отрицательные дроби с разными знаменателями?

Сначала привести обе дроби к общему знаменателю, как при сравнении положительных дробей. Потом сравнить полученные модули — и вспомнить, что для отрицательных чисел большему модулю соответствует меньшее число. Например, -3/4 и -5/6: общий знаменатель 12, получаем -9/12 и -10/12. Модуль 10/12 больше, значит, -10/12 меньше, а -9/12 больше.

Можно ли сравнивать рациональные числа без приведения к общему знаменателю?

Иногда можно, если числа легко представить на числовой прямой или перевести в десятичную форму. Например, 1/2 и 0,4 проще сравнить, переведя 1/2 в 0,5 — сразу видно, что 0,5 больше. Но для сложных дробей общий знаменатель — самый надёжный способ, который не зависит от того, насколько удобные числа попались.

Почему знаменатель дроби не может быть равен нулю?

Потому что деление на ноль не определено в математике — такая операция не даёт никакого числа. Если бы знаменатель мог быть нулём, дробь вообще не имела бы смысла, а значит, и рациональным числом она бы не считалась. Поэтому во всех рациональных числах знаменатель обязательно отличен от нуля.

Проще всего запомнить так: сначала смотришь на знак, и только потом — на цифры. У отрицательных чисел логика сравнения перевёрнута, и это единственное, что здесь стоит держать в голове постоянно.

Читайте также

• Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем
• Натуральные числа в математике - определение, свойства, примеры
• Основы рационального экономического поведения
• Принципы рационального природопользования - основные правила, особенности и примеры
• Производитель и потребитель (обществознание) - рациональное поведение, задачи и проблемы
• Рациональные дроби - свойства, преобразования и примеры решений