Рациональные числа в математике

Рациональные числа можно обсуждать до бесконечности, находя новые фишки и допуская ошибки в понимании.
Во избежание проблем с такими числами стоит рассмотреть подробнее некоторые сведения о них. Это поможет усвоить материал и обеспечить необходимые познания в математике.
Что представляют собой
Для начала следует понимать, какие числа называются рациональными. Таковыми считаются дроби в виде числителя и знаменателя. Причем последний не должен быть равен нулю, поскольку деление на такое число считается недопустимым.
Рациональными могут обозначаться такие категории чисел:

- Целые числа, будь то положительные или отрицательные.
- Математические дробные выражения разных типов.
- Комбинация обыкновенных и дробных.
- Десятичные дроби.
- Бесконечные периодические дроби.
Все группы обозначенных выражений представляют в виде дроби a/b. Например, число 2 можно представить и в виде дроби 2/1, что позволяет отнести его как к целым, так и рациональным.
Аналогично в виде дробей можно представить смешанные и бесконечные периодические дроби. Потому для подобных выражений принято обозначение рациональные числа.
На координатной прямой
Ранее при изучении отрицательных чисел на школьных уроках вводилось понятие о координатной прямой. На такой линии лежат множество точек. Особенно трудно решать поиск дробей и смешанных показателей, так как они лежат между целыми в бесконечном количестве:

- Например, дробь 0,5 располагается между нулем и единицей. Если увеличить интервал такой прямой, то легко увидеть дробные от 0,1 до 0,9, в середине же стоит ½. Аналогичным способом можно замаскировать и математические дроби вида 3/6, 4/8 и так далее.
- Что касается дроби 3/2, то она расположена на арифметической линии между единицей и двойкой. Между ними в большом количестве располагаются десятичные дроби, в том числе искомая. Увеличение определенных отрезков дает представление о том, что еще лежит на координатной прямой между целыми. В результате появлялись выражения, имеющие после запятой один знак. И таких значений великое множество, в том числе между дробными.
- А вот отыскать реальное место бесконечной периодической дроби можно лишь приблизительно, так как она идет до бесконечности. Можно найти много иллюстраций того, насколько близко может располагаться дробь в реальном выражении.
Потому при рассмотрении того, что значит рациональное число на координатных прямых, важно знать его вид и можно ли преобразовать в другое. Нередко требуется отыскать отдельное свойство или проиллюстрировать задачу с помощью конкретных отрезков.
Если стоит минус
Когда школьники проходили тему умножения и деления, то им стало известно: в роли делителей и делимых могут выступать как отрицательные, так и положительные выражения.

Так, вариации 6:-2=-3 и -6:2=-3 имеют одинаковый результат, хотя знак минус имеют разные части.
Так как каждое деление можно представить в виде дроби, то минус ставится в числителе или в знаменателе. Либо сделать его общим.
Между всеми тремя вариациями можно поставить знак равенства, так как их результатом является одно и то же число.
Каждый из рациональных показателей имеет противоположное.
Например, для дроби ½ таковым является -½ и ее вариации. Оба равноудалены по отношению к началу координат и располагаются посередине.
Перевод в дроби
Перевод смешанного выражения в неправильную дробь осуществляется с помощью умножения на знаменатель дробную часть и прибавить к числителю. Получившееся станет числителем новой дроби при прежнем знаменателе.
Рассматривать алгоритм можно на следующем простом примере:

- Имеется 2,5, которое следует перевести в неправильную дробь.
- Целый показатель нужно умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель этой же части.
- Полученное значение можно вычесть как (2*2)+1=4+1=5.
- 5 станет числителем, а знаменатель будет прежним и получится 5/2.
- Вернуть начальное смешанное можно выделением целой части.
Однако такой способ не подойдет для отрицательного значения. Если воспользоваться прежним правилом и выделить целую часть, то можно получить противоречие вида: (-2*2)+½=-3/2, хотя требовалось получить -5/2.
Поэтому следует определить другой метод. Целая часть умножается на знаменатель дробной части. Из полученного значения вычитается числитель дробной части. И тогда получается правильный ответ.
Благодаря координатной прямой можно понять, почему смешанное -2,5 расположилось в левой части. Минус указывает на смещение влево в количестве двух шагов. Попадание произошло в точке -2. После чего сдвиг еще на полшага и середина между -3 и -2.
Сравнение чисел между собой
Из предыдущих уроков легко доказать, что чем правее расположено значение, тем оно больше. И наоборот, более левое положение говорит о том, что рассматриваемое значение меньше другого показателя.

Для подобных случаев, когда сравнение чисел достигается просто, имеется такое правило: из 2 чисел с положительными знаками большим является то, у которого больше модуль. А для отрицательных большим является такое, чей модуль меньше. Например, есть числа -4 и -2. При сравнении модулей между собой можно сказать, что -4 меньше -2.
При этом новички нередко допускают следующую ошибку: путают между собой модуль и непосредственно число. Ведь модуль -3 и модуль -1 не обозначает, что -3 больше -1, а наоборот. Это можно понять из координатной прямой, где первое стоит левее второго. Если требуется сравнивать значения, то важно обращать внимание на знаки. Минус говорит об отрицательности выражения и наоборот.
Некоторые примеры
Несколько сложнее относиться к смешанным числами, извлечению корня, дробным значениям. Понадобится изменить правила, поскольку изобразить их на координатной прямой не всегда представляется возможным. В связи с этим требуется сравнить их иными способами, нежели в школе:

- Например, имеются два отрицательных значения, а именно -3/5 и -7/3.
- Сначала находятся модули в виде 3/5 и 7/3, которые являются положительными.
- Потом каждый приводится к общему знаменателю, которым выступает 15.
- Исходя из правила для отрицательных значений, рациональное -3/5 больше -7/3, так как его модуль меньше.
Проще сравнивать модули целых частей, поскольку можно быстро ответить на поставленный вопрос. Известно, что целые части более важны по сравнению с дробями. Если отметить числа 15,4 и 2,1212, то целая часть первого числа больше второго, а значит и дробь.
Несколько сложнее обстоит дело с примером, где имеются значения -3,4 и -3,7. Модули целых чисел одинаковы, потому придется сравнивать еще и для рациональных значений. Тогда получается, что -3,4 больше -3,7, так как его модуль меньше.
При сравнении простой и периодической дроби последнюю следует перевести в стандартную. Так, 0,(3) становится 3/9. Сравнивая, переводят дроби к общему знаменателю 0,(3) и 4/8, получается 24/72 и 36/72. Естественно, что 24/72 < 36/72. То есть, модуль 4/8 больше модуля 0,(3), значит и оно само считается большим.
Рациональные числа являются обширной темой. Их изучение считается довольно сложным, требуя учесть немало нюансов и объяснений основных моментов, действий с арифметическими числами и так далее. Несмотря на кажущуюся простоту, программа определения того, какие числа являются рациональными и сравнения оных составляется с учетом наличия дробных частей, знаков после запятой и перед выражением.
От этого зависит поиск правильного ответа и решение общей задачи, включая поиски процентов и объемов.
Рациональные показатели могут относиться к помощникам в деле перехода к сложным разделам в данном курсе математики и дают представление о натуральных и десятичных числовых выражений в целом и в частности о необычных случаях.
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов