Рациональные числа в математике

Рациональные числа можно обсуждать до бесконечности, находя новые фишки и допуская ошибки в понимании.

Во избежание проблем с такими числами стоит рассмотреть подробнее некоторые сведения о них. Это поможет усвоить материал и обеспечить необходимые познания в математике.

Что представляют собой

Для начала следует понимать, какие числа называются рациональными. Таковыми считаются дроби в виде числителя и знаменателя. Причем последний не должен быть равен нулю, поскольку деление на такое число считается недопустимым.

Рациональными могут обозначаться такие категории чисел:

1. Целые числа, будь то положительные или отрицательные.
2. Математические дробные выражения разных типов.
3. Комбинация обыкновенных и дробных.
4. Десятичные дроби.
5. Бесконечные периодические дроби.

Все группы обозначенных выражений представляют в виде дроби a/b. Например, число 2 можно представить и в виде дроби 2/1, что позволяет отнести его как к целым, так и рациональным.

Аналогично в виде дробей можно представить смешанные и бесконечные периодические дроби. Потому для подобных выражений принято обозначение рациональные числа.

На координатной прямой

Ранее при изучении отрицательных чисел на школьных уроках вводилось понятие о координатной прямой. На такой линии лежат множество точек. Особенно трудно решать поиск дробей и смешанных показателей, так как они лежат между целыми в бесконечном количестве:

• Например, дробь 0,5 располагается между нулем и единицей. Если увеличить интервал такой прямой, то легко увидеть дробные от 0,1 до 0,9, в середине же стоит ½. Аналогичным способом можно замаскировать и математические дроби вида 3/6, 4/8 и так далее.
• Что касается дроби 3/2, то она расположена на арифметической линии между единицей и двойкой. Между ними в большом количестве располагаются десятичные дроби, в том числе искомая. Увеличение определенных отрезков дает представление о том, что еще лежит на координатной прямой между целыми. В результате появлялись выражения, имеющие после запятой один знак. И таких значений великое множество, в том числе между дробными.
• А вот отыскать реальное место бесконечной периодической дроби можно лишь приблизительно, так как она идет до бесконечности. Можно найти много иллюстраций того, насколько близко может располагаться дробь в реальном выражении.

Потому при рассмотрении того, что значит рациональное число на координатных прямых, важно знать его вид и можно ли преобразовать в другое. Нередко требуется отыскать отдельное свойство или проиллюстрировать задачу с помощью конкретных отрезков.

Если стоит минус

Когда школьники проходили тему умножения и деления, то им стало известно: в роли делителей и делимых могут выступать как отрицательные, так и положительные выражения.

Так, вариации 6:-2=-3 и -6:2=-3 имеют одинаковый результат, хотя знак минус имеют разные части.

Так как каждое деление можно представить в виде дроби, то минус ставится в числителе или в знаменателе. Либо сделать его общим.

Между всеми тремя вариациями можно поставить знак равенства, так как их результатом является одно и то же число.

Каждый из рациональных показателей имеет противоположное.

Например, для дроби ½ таковым является -½ и ее вариации. Оба равноудалены по отношению к началу координат и располагаются посередине.

Перевод в дроби

Перевод смешанного выражения в неправильную дробь осуществляется с помощью умножения на знаменатель дробную часть и прибавить к числителю. Получившееся станет числителем новой дроби при прежнем знаменателе.

Рассматривать алгоритм можно на следующем простом примере:

• Имеется 2,5, которое следует перевести в неправильную дробь.
• Целый показатель нужно умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель этой же части.
• Полученное значение можно вычесть как (2*2)+1=4+1=5.
• 5 станет числителем, а знаменатель будет прежним и получится 5/2.
• Вернуть начальное смешанное можно выделением целой части.

Однако такой способ не подойдет для отрицательного значения. Если воспользоваться прежним правилом и выделить целую часть, то можно получить противоречие вида: (-2*2)+½=-3/2, хотя требовалось получить -5/2.

Поэтому следует определить другой метод. Целая часть умножается на знаменатель дробной части. Из полученного значения вычитается числитель дробной части. И тогда получается правильный ответ.

Благодаря координатной прямой можно понять, почему смешанное -2,5 расположилось в левой части. Минус указывает на смещение влево в количестве двух шагов. Попадание произошло в точке -2. После чего сдвиг еще на полшага и середина между -3 и -2.

Сравнение чисел между собой

Из предыдущих уроков легко доказать, что чем правее расположено значение, тем оно больше. И наоборот, более левое положение говорит о том, что рассматриваемое значение меньше другого показателя.

Для подобных случаев, когда сравнение чисел достигается просто, имеется такое правило: из 2 чисел с положительными знаками большим является то, у которого больше модуль. А для отрицательных большим является такое, чей модуль меньше. Например, есть числа -4 и -2. При сравнении модулей между собой можно сказать, что -4 меньше -2.

При этом новички нередко допускают следующую ошибку: путают между собой модуль и непосредственно число. Ведь модуль -3 и модуль -1 не обозначает, что -3 больше -1, а наоборот. Это можно понять из координатной прямой, где первое стоит левее второго. Если требуется сравнивать значения, то важно обращать внимание на знаки. Минус говорит об отрицательности выражения и наоборот.

Некоторые примеры

Несколько сложнее относиться к смешанным числами, извлечению корня, дробным значениям. Понадобится изменить правила, поскольку изобразить их на координатной прямой не всегда представляется возможным. В связи с этим требуется сравнить их иными способами, нежели в школе:

1. Например, имеются два отрицательных значения, а именно -3/5 и -7/3.
2. Сначала находятся модули в виде 3/5 и 7/3, которые являются положительными.
3. Потом каждый приводится к общему знаменателю, которым выступает 15.
4. Исходя из правила для отрицательных значений, рациональное -3/5 больше -7/3, так как его модуль меньше.

Проще сравнивать модули целых частей, поскольку можно быстро ответить на поставленный вопрос. Известно, что целые части более важны по сравнению с дробями. Если отметить числа 15,4 и 2,1212, то целая часть первого числа больше второго, а значит и дробь.

Несколько сложнее обстоит дело с примером, где имеются значения -3,4 и -3,7. Модули целых чисел одинаковы, потому придется сравнивать еще и для рациональных значений. Тогда получается, что -3,4 больше -3,7, так как его модуль меньше.

При сравнении простой и периодической дроби последнюю следует перевести в стандартную. Так, 0,(3) становится 3/9. Сравнивая, переводят дроби к общему знаменателю 0,(3) и 4/8, получается 24/72 и 36/72. Естественно, что 24/72 < 36/72. То есть, модуль 4/8 больше модуля 0,(3), значит и оно само считается большим.

Рациональные числа являются обширной темой. Их изучение считается довольно сложным, требуя учесть немало нюансов и объяснений основных моментов, действий с арифметическими числами и так далее. Несмотря на кажущуюся простоту, программа определения того, какие числа являются рациональными и сравнения оных составляется с учетом наличия дробных частей, знаков после запятой и перед выражением.

От этого зависит поиск правильного ответа и решение общей задачи, включая поиски процентов и объемов.

Рациональные показатели могут относиться к помощникам в деле перехода к сложным разделам в данном курсе математики и дают представление о натуральных и десятичных числовых выражений в целом и в частности о необычных случаях.