Они точно знают, что 5 - 7 = - 2. Но бывает и так: 5 - 7 = 12. Откуда такой результат? Чтобы объяснить это, и понадобится модуль числа. Числовая ось поможет раскрыть геометрический смысл этого понятия.

Что такое модуль числа

Взгляните на человечка (рис.1):
  1. Какое количество шагов ему нужно сделать от “0” до станции “3”? Правильно, 3 шага.
  2. А от “0” до станции “- 3” ? Верно, тоже 3 шага.
Шаги не могут быть со знаком “-”. Неважно, в какую сторону мы идем – положительную или отрицательную. Рис. 1. Соотношение числа и модуля
Рис. 1. Соотношение числа и модуля
Важно! Всегда можно посчитать, сколько шагов сделано направо или налево и записать это с помощью модуля.
“Количество шагов” и есть модуль ​\( \left|М\right| \). Заменим слова “количество шагов” двумя палочками (рис.2):
  1. При движении направо мы запишем: ​\( \left|3\right| \)​ = 3. Это значит: количество шагов до “3” равно трем.
  2. Во втором случае: ​\( \left|-3\right| \)​ = 3 (расстояние до “-3” – три шага)
Звучать будет так:
  1. Модуль числа “3” равен 3-ем
  2. Модуль числа “-3” равен 3-ем
Если человечек стоял на месте, то есть сделал 0 шагов, то 0= 0. Модуль ​\( \left|М\right| \) – всегда число неотрицательное: \( \left|-7\right|=7\;\;\left|-25\right|=25 \)​     \( \left|7\right|=7\;\;\left|25\right|=25 \)​           Рис. 2. Модуль – это расстояние
Рис. 2. Модуль – это расстояние
Теперь представьте, что человечек отправился от станции “-3” до станции “3”. Если запишем все расстояние обычными цифрами, получится - 3 + 3 = ...0? Решено верно, но разве он прошел 0 шагов? Воспользуемся новым символом: ​\( \left|-3\right|+\left|3\right|=3+3=6 \) шагов – теперь получилось правильно. Вернемся к началу статьи – сейчас понятно, почему 5 - 7 = 12. Если записать выражения, используя специальный знак, то:\( \left|5\right|+\left|-7\right|=5+7=12 \)Обобщим:\( \left|х\right|=х \)​ ​\( \left|-х\right|=х \)​ ​\( \left|х\right|=\left|-х\right| \)​ ​\( \left|0\right|=0 \)

Перемещение и путь (расстояние)

Эти понятия на первый взгляд очень похожи. Но разница есть, и существенная. Попутешествуем еще немного вдоль числовой прямой. Движение направо – “плюс”, налево – знак “минус”. Начальная точка – “0” (рис. 3):
  • таксист отвез клиента на станцию “100 км” и привез обратно;
  • затем съездил с клиентом к “-100 км” и вернул его назад.
Рис. 3. Перемещение и путь
Рис. 3. Перемещение и путь
На сколько километров переместилась машина от начальной точки за время движения? Как далеко от “0” она оказалась в конце пути? +100 - 100 - 100 + 100 = 0 – автомобиль к концу движения оказался в исходной точке.  Перемещение = 0. Должен ли пассажир платить за услугу?
Важно! Когда говорят о перемещении, учитывается не пройденный путь, а только конечный результат, конечная точка. Модули не используются, результат может быть отрицательным.
А теперь посчитаем, какое расстояние проехал таксист, двигаясь по дороге вправо и влево. Раз речь идет о расстоянии, записываем весь маршрут, используя необходимые символы:
  • так: ​\( \left|100\right|+\left|100\right|+\left|100\right|+\left|100\right|=400 \) км
  • или так: ​\( 4\times\left|100\right|=400 \) км проехал автомобиль
Расстояние = 400 км. Конечно же, пассажир должен заплатить за эту поездку.
Важно! Расстояние – это всегда сумма модулей, то есть сумма положительных чисел и само – число положительное.

Свойства модуля

С модулями можно производить разные действия: складывать-вычитать, делить-умножать. При этом нужно учитывать их свойства:
  1. \( \left|х\right|\geq0;\;\left|0\right|=0-\left|М\right| \)​ числа – число неотрицательное;\( \left|М\right|0 \) равен нулю.
  2. \( \left|х\right|=\left|-х\right| \)​ – модули противоположных чисел равны.
    • \( \left|27\right|=27;\;\left|-27\right|=27;\;\Rightarrow\;27=27,\;\left|27\right|=\left|-27\right| \)
  3. \( \left|х\right|\times\left|у\right|=\left|х\times у\right| \)​ – произведение модулей равно модулю произведений. Пример:
    • \( \left|4\right|\times\left|8\right|=4\times8=32\;или\;\left|4\times8\right|=\left|32\right|=32 \)
    • \( \left|-5\right|\times\left|7\right|=5\times7=35\;или\;\left|-5\times7\right|=\left|35\right|=35 \)
  4. \( \left|х\right|\div\left|у\right|=\left|х\div у\right| \)​ – частное модулей равно модулю частного (y≠ 0). Проверим:
    • \( \left|25\right|\div\left|-5\right|=25\div5=5\;или\;\left|25\div(-5)\right|=\left|-5\right|=5 \)
  5. \( \left|x\;+\;y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right| \)​ – модуль суммы меньше или равен сумме модулей. Например:
    • \( \left|3-4\right|=\left|-1\right|=\;1,\;а\;\left|3\right|+\left|-4\right|=3\;+\;4=7\;\Rightarrow\;1\;<\;7 \)
    • \( \left|3+4\right|=\left|7\right|=7,\;а\;\left|3\right|+\left|4\right|=3\;+\;4=7\;\Rightarrow\;7=\;7 \)
  6. \( \left|cx\right|=c\left|x\right| \)​ (если c > 0). Положительный множитель при переменной можно вынести за знак ​\( \left|М\right| \). Отрицательный тоже можно, но только без “минуса”:
    • \( \left|5x\right|=5\left|x\right|,\;\left|0,6x\right|=0,6\left|x\right| \)
    • \( \left|-7x\right|=7\left|x\right|,\;\left|-0,71x\right|=\;0,71\left|x\right| \)
  7. \( \left|x\right|²=\left|x²\right| \)​ – квадрат модуля равен модулю квадрата. Посмотрим:
    • \( \left|4\right|²\;=4²\;=\;16;\;\left|4²\right|=\left|16\right|=16 \)
    • \( \left|-8\right|²=8²=64;\;\left|(-8)²\right|=\left|64\right|=64 \) – работает.

Практикум

Попробуем решить примеры, опираясь на эти свойства:
  • \( \left|6,75\right|-\left|-1,25\right|=6,75-1,25=5,5 \)
  • \( \left|33\right|\div\left|-1,5\right|=33\div1,5=330\div15=22 \)
  • \( \left|-2\frac13\right|²=(2\frac13)²=(\frac73)²=\frac{49}9=5\frac49 \)
А если сразу нельзя сказать, положительное число внутри ​\( \left|M\right| \) или нет:\( \left|2-\sqrt5\right|+\left|2+\sqrt5\right|? \)
  1. Прикинем: 2 – это ​\( \sqrt4 \)​, значит, ​\( 2<\sqrt5 \)​. Если из меньшего вычесть большее, то результат будет отрицательный (​\( 2-\sqrt5<0 \)). Как же вывести это выражение из-под знака ​\( \left|M\right| \)​ с положительным значением?
  2. Чтобы разность двух чисел стала положительной, нужно из большего вычесть меньшее, записать ее наоборот, вот так: ​\( \sqrt5-2 \).
  3. Тогда: ​\( \left|2-\sqrt5\right|+\left|2+\sqrt5\right|=\sqrt5-2+2+\sqrt5=2\sqrt5 \).
Еще пример: ​\( \left|\sqrt{5-3}\right|-\left|1-\sqrt5\right| \)
  1. Рассуждаем: 3 – это ​\( \sqrt9 \)​, значит, ​\( \sqrt5<3 \), тогда ​\( \sqrt5-3<0\Rightarrow \)​ меняем числа местами, разница останется прежней, но знак изменится с “-” на “+”: ​\( 3-\sqrt5 \)
  2. Дальше: 1 – это ​\( \sqrt1 \)​, значит, ​\( 1<\sqrt5,\;и\;1-\sqrt5<0\Rightarrow\; \) меняем числа местами – ​\( \sqrt5-1 \).
  3. Теперь соединяем: ​\( 3-\sqrt5-(\sqrt5-1)=3-\sqrt5-\sqrt5+1=4-2\sqrt5 \)

Уравнения и неравенства с модулем

Перед тем, как перейти к этой части, повторите, как решаются обычные уравнения и неравенства с одной переменной.

Уравнения

Приступая к задачам с ​\( \left|M\right| \), нужно все время помнить, что внутри знака может скрываться как положительное выражение, так и отрицательное. \( \left|3-x\right|=5\;\Rightarrow\;3-x=5\;или\;3-x=-5. \)​ Поэтому решить нужно оба варианта уравнения:                    x = 3 - 5  x = 3 - (- 5)                    x = - 2     x = 8 Корни уравнения: - 2 и 8. Или посложнее: ​\( \left|6-5x\right|=2x+1 \) Сразу напомним себе, что ​\( 2x+1\geq0 \), следовательно, ​\( 2x\geq-1,\;и\;x\geq-\frac12 \). Теперь два варианта для положительного и отрицательного выражения под знаком ​\( \left|M\right| \): 6 - 5x = 2x + 1 или 6 - 5x = - 2x - 1 7x = 5                        3x = 7 x = ​\( х=\frac57 \)                x = ​\( х=\frac73 \)                                           x = ​\( х=2\frac13 \) Все условия соблюдены, уравнение имеет два корня: ​\( \frac57 \) и ​\( 2\frac13 \).

Неравенства

Здесь тоже приходится учитывать двойственную природу ​\( \left|M\right| \). Если в уравнениях мы обозначаем условие ​\( \left|x\right|=a\;и\;\left|x\right|=-a \), то в неравенствах помещаем содержимое модуля “меж двух огней” таким образом (табл. 1):

Таблица 1. Неравенства

Важно! Если ​\( \left|M\right| \)​ меньше числа, то мы “упаковываем” его содержимое внутрь числового промежутка. Если ​\( \left|M\right| \) больше числа, то оно “вырывается” за его границы.
Фактически придется решить два неравенства. Подробнее на примере: \( \left|x-6\right|<12 \) (помним про возможные “+12” и “-12”). Определим промежуток для ​\( \left|М\right|:-12<x-6<12 \) Составим систему из двух неравенств и решим их:\( -12<x-6\;\Rightarrow\;x>-\;6 \)  ​\( \;x-6<12\;\Rightarrow\;x<18 \) Таким образом, корни неравенства – все значения x ∈ (-6;18). А теперь то же самое с противоположным знаком: ​\( \left|x-6\right|>12 \) Выражение в ​\( \left|M\right| \)​ должно стать “меньше маленького” и “больше большого”:\( \;x-6<-12\;\Rightarrow\;x<-6 \)​ ​\( x-6>12\;\Rightarrow\;x>18 \)Корни неравенства – x ∈ (- ∞ ; - 6) ∪ (18; + ∞).

График функции ​\( y=\left|x\right| \)

Все помнят, что графиком функции y = x является прямая, проходящая через центр координат (рис. 4). Рис. 4. График функции y = x
Рис. 4. График функции y = x
Она свободно течет из - ∞ в + ∞ как относительно оси Ох, так и оси Оу. Но значение ​\( \left|M\right| \)​ – это главное его свойство! – число неотрицательное. Если задано: ​\( y\;=\left|x\right| \), то ​\( y\geq0 \). Другими словами, каким бы ни был х, больше или меньше 0, но у – всегда положительный. Поэтому та часть прямой, которая находилась ниже нулевой отметки по оси Оу, “отзеркаливает” наверх, и получается вот такой график (рис. 5). Рис. 5. График функции y = |x|
Рис. 5. График функции y = |x|
  • область определения D (определяем по оси Ох): (- ∞; + ∞);
  • область значений E (определяем по оси Оу): (0 ; + ∞);
  • у = 0 при х = 0;
  • функция убывает на промежутке (- ∞; 0), возрастает – на (0 ; +∞) (опред. по Ох);
  • функция симметрична относительно оси Оу, является четной.
В заключение напомним, что понятие “модуль” отражает реальные величины – путь, расстояние, которые не могут быть отрицательными. Отсюда – его особые свойства, на которые следует обращать внимание при вычислениях. Еще больше примеров смотрите в предложенном видео.