Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем
Впервые с понятием “модуль числа” мы встречаемся в шестом классе, но слабо представляем, зачем нужно странное нововведение с двумя палочками. К этому моменту школьники уже вовсю выполняют действия с положительными и отрицательными числами, ориентируются на числовой прямой.
Содержание:
Они точно знают, что 5 - 7 = - 2.
Но бывает и так: 5 - 7 = 12.
Откуда такой результат? Чтобы объяснить это, и понадобится модуль числа. Числовая ось поможет раскрыть геометрический смысл этого понятия.

Рис. 1. Соотношение числа и модуля

Рис. 2. Модуль – это расстояние
Теперь представьте, что человечек отправился от станции “-3” до станции “3”. Если запишем все расстояние обычными цифрами, получится - 3 + 3 = ...0? Решено верно, но разве он прошел 0 шагов?
Воспользуемся новым символом: \( \left|-3\right|+\left|3\right|=3+3=6 \) шагов – теперь получилось правильно.
Вернемся к началу статьи – сейчас понятно, почему 5 - 7 = 12.
Если записать выражения, используя специальный знак, то:
\( \left|5\right|+\left|-7\right|=5+7=12 \)
Обобщим:
\( \left|х\right|=х \)
\( \left|-х\right|=х \)
\( \left|х\right|=\left|-х\right| \)
\( \left|0\right|=0 \)

Рис. 3. Перемещение и путь
На сколько километров переместилась машина от начальной точки за время движения? Как далеко от “0” она оказалась в конце пути?
+100 - 100 - 100 + 100 = 0 – автомобиль к концу движения оказался в исходной точке. Перемещение = 0. Должен ли пассажир платить за услугу?

Рис. 4. График функции y = x
Она свободно течет из - ∞ в + ∞ как относительно оси Ох, так и оси Оу.
Но значение \( \left|M\right| \) – это главное его свойство! – число неотрицательное.
Если задано: \( y\;=\left|x\right| \), то \( y\geq0 \). Другими словами, каким бы ни был х, больше или меньше 0, но у – всегда положительный.
Поэтому та часть прямой, которая находилась ниже нулевой отметки по оси Оу, “отзеркаливает” наверх, и получается вот такой график (рис. 5).

Рис. 5. График функции y = |x|
Что такое модуль числа
Взгляните на человечка (рис.1):- Какое количество шагов ему нужно сделать от “0” до станции “3”? Правильно, 3 шага.
- А от “0” до станции “- 3” ? Верно, тоже 3 шага.


Важно! Всегда можно посчитать, сколько шагов сделано направо или налево и записать это с помощью модуля.“Количество шагов” и есть модуль \( \left|М\right| \). Заменим слова “количество шагов” двумя палочками (рис.2):
- При движении направо мы запишем: \( \left|3\right| \) = 3. Это значит: количество шагов до “3” равно трем.
- Во втором случае: \( \left|-3\right| \) = 3 (расстояние до “-3” – три шага)
- Модуль числа “3” равен 3-ем
- Модуль числа “-3” равен 3-ем

Перемещение и путь (расстояние)
Эти понятия на первый взгляд очень похожи. Но разница есть, и существенная. Попутешествуем еще немного вдоль числовой прямой. Движение направо – “плюс”, налево – знак “минус”. Начальная точка – “0” (рис. 3):- таксист отвез клиента на станцию “100 км” и привез обратно;
- затем съездил с клиентом к “-100 км” и вернул его назад.

Важно! Когда говорят о перемещении, учитывается не пройденный путь, а только конечный результат, конечная точка. Модули не используются, результат может быть отрицательным.А теперь посчитаем, какое расстояние проехал таксист, двигаясь по дороге вправо и влево. Раз речь идет о расстоянии, записываем весь маршрут, используя необходимые символы:
- так: \( \left|100\right|+\left|100\right|+\left|100\right|+\left|100\right|=400 \) км
- или так: \( 4\times\left|100\right|=400 \) км проехал автомобиль
Важно! Расстояние – это всегда сумма модулей, то есть сумма положительных чисел и само – число положительное.
Свойства модуля
С модулями можно производить разные действия: складывать-вычитать, делить-умножать. При этом нужно учитывать их свойства:- \( \left|х\right|\geq0;\;\left|0\right|=0-\left|М\right| \) числа – число неотрицательное; \( \left|М\right|0 \) равен нулю.
- \( \left|х\right|=\left|-х\right| \) – модули противоположных чисел равны.
- \( \left|27\right|=27;\;\left|-27\right|=27;\;\Rightarrow\;27=27,\;\left|27\right|=\left|-27\right| \)
- \( \left|х\right|\times\left|у\right|=\left|х\times у\right| \) – произведение модулей равно модулю произведений. Пример:
- \( \left|4\right|\times\left|8\right|=4\times8=32\;или\;\left|4\times8\right|=\left|32\right|=32 \)
- \( \left|-5\right|\times\left|7\right|=5\times7=35\;или\;\left|-5\times7\right|=\left|35\right|=35 \)
- \( \left|х\right|\div\left|у\right|=\left|х\div у\right| \) – частное модулей равно модулю частного (y≠ 0). Проверим:
- \( \left|25\right|\div\left|-5\right|=25\div5=5\;или\;\left|25\div(-5)\right|=\left|-5\right|=5 \)
- \( \left|x\;+\;y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right| \) – модуль суммы меньше или равен сумме модулей. Например:
- \( \left|3-4\right|=\left|-1\right|=\;1,\;а\;\left|3\right|+\left|-4\right|=3\;+\;4=7\;\Rightarrow\;1\;<\;7 \)
- \( \left|3+4\right|=\left|7\right|=7,\;а\;\left|3\right|+\left|4\right|=3\;+\;4=7\;\Rightarrow\;7=\;7 \)
- \( \left|cx\right|=c\left|x\right| \) (если c > 0). Положительный множитель при переменной можно вынести за знак \( \left|М\right| \). Отрицательный тоже можно, но только без “минуса”:
- \( \left|5x\right|=5\left|x\right|,\;\left|0,6x\right|=0,6\left|x\right| \)
- \( \left|-7x\right|=7\left|x\right|,\;\left|-0,71x\right|=\;0,71\left|x\right| \)
- \( \left|x\right|²=\left|x²\right| \) – квадрат модуля равен модулю квадрата. Посмотрим:
- \( \left|4\right|²\;=4²\;=\;16;\;\left|4²\right|=\left|16\right|=16 \)
- \( \left|-8\right|²=8²=64;\;\left|(-8)²\right|=\left|64\right|=64 \) – работает.
Практикум
Попробуем решить примеры, опираясь на эти свойства:- \( \left|6,75\right|-\left|-1,25\right|=6,75-1,25=5,5 \)
- \( \left|33\right|\div\left|-1,5\right|=33\div1,5=330\div15=22 \)
- \( \left|-2\frac13\right|²=(2\frac13)²=(\frac73)²=\frac{49}9=5\frac49 \)
- Прикинем: 2 – это \( \sqrt4 \), значит, \( 2<\sqrt5 \). Если из меньшего вычесть большее, то результат будет отрицательный (\( 2-\sqrt5<0 \)). Как же вывести это выражение из-под знака \( \left|M\right| \) с положительным значением?
- Чтобы разность двух чисел стала положительной, нужно из большего вычесть меньшее, записать ее наоборот, вот так: \( \sqrt5-2 \).
- Тогда: \( \left|2-\sqrt5\right|+\left|2+\sqrt5\right|=\sqrt5-2+2+\sqrt5=2\sqrt5 \).
- Рассуждаем: 3 – это \( \sqrt9 \), значит, \( \sqrt5<3 \), тогда \( \sqrt5-3<0\Rightarrow \) меняем числа местами, разница останется прежней, но знак изменится с “-” на “+”: \( 3-\sqrt5 \)
- Дальше: 1 – это \( \sqrt1 \), значит, \( 1<\sqrt5,\;и\;1-\sqrt5<0\Rightarrow\; \) меняем числа местами – \( \sqrt5-1 \).
- Теперь соединяем: \( 3-\sqrt5-(\sqrt5-1)=3-\sqrt5-\sqrt5+1=4-2\sqrt5 \)
Уравнения и неравенства с модулем
Перед тем, как перейти к этой части, повторите, как решаются обычные уравнения и неравенства с одной переменной.Уравнения
Приступая к задачам с \( \left|M\right| \), нужно все время помнить, что внутри знака может скрываться как положительное выражение, так и отрицательное. \( \left|3-x\right|=5\;\Rightarrow\;3-x=5\;или\;3-x=-5. \) Поэтому решить нужно оба варианта уравнения: x = 3 - 5 x = 3 - (- 5) x = - 2 x = 8 Корни уравнения: - 2 и 8. Или посложнее: \( \left|6-5x\right|=2x+1 \) Сразу напомним себе, что \( 2x+1\geq0 \), следовательно, \( 2x\geq-1,\;и\;x\geq-\frac12 \). Теперь два варианта для положительного и отрицательного выражения под знаком \( \left|M\right| \): 6 - 5x = 2x + 1 или 6 - 5x = - 2x - 1 7x = 5 3x = 7 x = \( х=\frac57 \) x = \( х=\frac73 \) x = \( х=2\frac13 \) Все условия соблюдены, уравнение имеет два корня: \( \frac57 \) и \( 2\frac13 \).Неравенства
Здесь тоже приходится учитывать двойственную природу \( \left|M\right| \). Если в уравнениях мы обозначаем условие \( \left|x\right|=a\;и\;\left|x\right|=-a \), то в неравенствах помещаем содержимое модуля “меж двух огней” таким образом (табл. 1):Таблица 1. Неравенства

Важно! Если \( \left|M\right| \) меньше числа, то мы “упаковываем” его содержимое внутрь числового промежутка. Если \( \left|M\right| \) больше числа, то оно “вырывается” за его границы.Фактически придется решить два неравенства. Подробнее на примере: \( \left|x-6\right|<12 \) (помним про возможные “+12” и “-12”). Определим промежуток для \( \left|М\right|:-12<x-6<12 \) Составим систему из двух неравенств и решим их: \( -12<x-6\;\Rightarrow\;x>-\;6 \) \( \;x-6<12\;\Rightarrow\;x<18 \) Таким образом, корни неравенства – все значения x ∈ (-6;18). А теперь то же самое с противоположным знаком: \( \left|x-6\right|>12 \) Выражение в \( \left|M\right| \) должно стать “меньше маленького” и “больше большого”: \( \;x-6<-12\;\Rightarrow\;x<-6 \) \( x-6>12\;\Rightarrow\;x>18 \) Корни неравенства – x ∈ (- ∞ ; - 6) ∪ (18; + ∞).
График функции \( y=\left|x\right| \)
Все помнят, что графиком функции y = x является прямая, проходящая через центр координат (рис. 4).

- область определения D (определяем по оси Ох): (- ∞; + ∞);
- область значений E (определяем по оси Оу): (0 ; + ∞);
- у = 0 при х = 0;
- функция убывает на промежутке (- ∞; 0), возрастает – на (0 ; +∞) (опред. по Ох);
- функция симметрична относительно оси Оу, является четной.
Тест для закрепления материала
-
1 Модуль числа не может быть:Вопрос 1 из 10
-
2 Модуль отрицательного числа равен:Вопрос 2 из 10
-
3 Чему равен модуль числа - 3,82?Вопрос 3 из 10
-
4 Найдите расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А (7,8):Вопрос 4 из 10
-
5 Чему равен модуль точки, лежащей от начала отсчета влево на 3,3 единицы?Вопрос 5 из 10
-
6 Найди отрицательное число, модуль которого равен 25:Вопрос 6 из 10
-
7 Выберите все числа, имеющие модуль 45:Вопрос 7 из 10
-
8 Модуль какого из чисел расположен на координатной прямой правее 567 или - 765?Вопрос 8 из 10
-
9 Модуль какого из чисел 354 или - 289 больше:Вопрос 9 из 10
-
10 Найдите значение выражения: |- 240| - |90|:Вопрос 10 из 10
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов
Последние результаты
Эрбол Нурматов завершил
Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем
10 месяцев назад
С результатом 10 из 20
Эрбол Нурматов завершил
Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем
10 месяцев назад
С результатом 10 из 20
Эрбол Нурматов завершил
Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем
10 месяцев назад
С результатом 10 из 20