Натуральные числа в математике - определение, свойства, примеры
В данной статье мы рассмотрим натуральные числа и все, что с ними связано. Сначала узнаем, какие из них можно называть таковыми, каковы их признаки. Далее поговорим о различных классах данного вида, общих и специфических свойствах. Обязательно затронем сравнение натуральных чисел и неравенства с их участием, а также алгоритм выполнения арифметических преобразований.
Содержание:
Понятие
Данное понятие появилось в математике одним из первых. В древности люди перечисляли предметы на пальцах, и им вполне этого хватало. Но с бурным развитием торговли и ростом количества продукции на рынках одних пальцев для счета стало не хватать. Поэтому древние люди придумали символы, обозначающие количество чего-либо, которые они использовали для перечисления скота, различных вещей и т.д. Чуть позже числа вошли в науку математику, где стали активно применяться в качестве материала для многочисленных алгебраических преобразований. Натуральные числа - все символы, используемые при счете каких-либо предметов, тем самым вычисляя их последовательность и количество. Все отрицательные и дробные числа не являются натуральными.Важно! Нуль не входит в натуральное множество, то есть не является одним из них, потому мы и не применяем его при счете.Соответственно - наименьшей является единица. Наибольшего натурального числа не существует, так как счет можно продолжать до бесконечности.

- 1 = I;
- 2 = II;
- 3 = III.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (10 штук).
Из данных цифр можно составить абсолютно все натуральные числа. Их множество обозначается знаком N.Натуральный ряд
Разберем еще одно понятие, связанное с главной темой. Натуральный ряд - последовательная запись всех натуральных символов. Как мы уже выяснили, высшего натурального числа не существует, поэтому данный ряд представляет собой последовательность, которая не заканчивается. Каждый последующий символ натурального ряда больше предыдущего ровно на единицу. Пример: Указать наименьший натуральный знак на отрезке от -7 до 27. Ответ: единица.Разряды и классы
Для начала скажем, что при счете мы обычно применяем десятичную систему исчисления. Она подразумевает то, что 10 единиц низшего разряда образуют 1 единицу более старшего, и данная закономерность сохраняется до конца счета. Разрядные единицы - это такие символы, которые обозначают начало определенного разряда. Пример: 1, 10, 100 и т.д. Благодаря разрядным единицам, можно сделать запись менее длинной и более упрощенной. Пример: Записать 298 481 в виде суммы разрядных слагаемых. Решение: 200 000 + 90 000 + 8 000 + 400 + 80 + 1.Важно! 12-ти разрядные числа называются большими и редко употребляются в алгебраических вычислениях.Если число состоит из одного знака, то оно называется однозначным. Соответственно - различают двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. Теперь стоит немного рассказать и о натуральных классах. При чтении определенного числа его разделяют на классы, включающие по три разряда. Первые три единицы представляют собой класс единиц, следующие три - класс тысяч. Далее идут довольно крупные группы - классы миллионов, миллиардов и другие. Помните, что каждая цифра любого класса является разрядом, то есть классы состоят из разрядов. Сравнивать их можно через классы или разряды. Соответственно - то число, где количество старших разрядов преобладает, является более крупным по значению.
Главные свойства
Рассмотрим основные свойства, которые характерны для всех натуральных чисел. Они применимы всегда и везде, так как способствуют упрощению некоторых выражений различных типов. Их используют при различных вычислениях и преобразованиях.Свойство 1
От перемены места слагаемых сумма не меняется. Пример: 2 + 1 = 1 + 2 = 3. Как бы мы не переставляли слагаемые, сумма все равно останется такой же.Свойство 2
От перемены места множителей произведение не меняется. Пример: 2 х 1 = 1 х 2 = 2. Аналогичное правило есть и в умножении. Значение произведения в итоге остается тем же.Свойство 3
Чтобы прибавить к числу сумму двух других чисел, можно сначала произвести сложение одного числа, а затем - второго. Пример : 2 + (3 + 10) = 3 + (2 + 10) = 15. Данное правило еще называется сочетательным свойством.Свойство 4
Чтобы умножить на число произведение двух других чисел, можно сначала произвести умножение одного числа, а затем - второго. Пример: 5 х (6 х 4) = (5 х 6) х 4 = 120. Правило, аналогичное предыдущему, только здесь используется другой вид арифметических действий. Принцип остается тем же.Свойство 5
Для того, чтобы умножить сумму натуральных чисел на другое число, нужно умножить это число на каждую из представленных слагаемых, а затем сложить полученные произведения чисел. Пример: 5 х (4 + 3) = 5 х 4 + 5 х 3 = 35. Это правило умножения числа относительно сложения двух других. Часто применяется в решении заданий по преобразованию каких-либо выражений. Мы выяснили и разобрали на примерах самые главные свойства натуральных чисел. Если вы их не знали раньше, то советуем вам обратить на них особое внимание. А теперь перейдем к изучению наиболее распространенных и часто используемых операций.Характерные операции и взаимодействия
Конечно, с данным видом чисел можно выполнять очень много различных действий. Однако мы разберем те основные операции, которые не выводят конечный результат из натурального множества.Сложение
Один из наиболее простейших видов взаимодействий. Здесь мы берем две части (два слагаемых) и соединяем (складываем) их, образуя конечный результат - сумму. Пример: 6 + 2 = 8. Восемь в данном случае будет являться суммой двух слагаемых - шести и двух.Вычитание
Вид операций, противоположный предыдущему. В данном случае имеем уже три составляющих. То выражение, из которого мы вычитаем определенное количество, называется уменьшаемым. Количество. которое уже отделено от первоначального, называется вычитаемым. А конечный результат, соответственно, именуется разностью, то есть подразумевается разность между двумя количествами. Пример: 8 - 2 = 6. Восемь - уменьшаемое, два - вычитаемое, шесть - разность.Умножение
Вид операций, при которой одно число берется такое количество раз, которое равно второму. Оба исходных числа называются множителями. Результат взаимодействия именуется произведением. Пример: 6 х 5 = 30. Шесть и пять - множители, тридцать - произведение чисел.Деление
Вид операций, противоположный умножению. Число, подвергаемое делению, носит название делимого, а то, на которое делят именуется делителем. Результат деления называется частным. Существует деление с остатком. После такого деления остается небольшой остаток, который уже не делится на исходный делитель. Так как мы разбираем натуральный вид, то и ответ должен получиться натуральным, поэтому в данном случае мы лишь приписываем остаток к ответу. Пример: 6 : 2 = 3. Шесть - делимое, 2 - делитель, 3 - частное. Пример деления с остатком: 7 : 3 = 2 (1) - ответ записываем в виде натурального числа. Один - остаток. Остальное по аналогии с предыдущим примером.Возведение в степень
Такой вид арифметических операций, при котором число умножается на себя количество раз, равное указанной степени. Здесь мы имеем три элемента: исходное число, степень и ответ. Пример: 63 = 6 х 6 х 6 = 216.Порядок решения - пример
Итак, после подробного разбора основных арифметических операций рассмотрим алгоритм выполнения всех указанных действий в одном равенстве. Возьмем какой-нибудь пример, включающий в себя большинство всех представленных выше взаимодействий. (36 + 76) х (85 - 80) + 96 ÷ 3 = Сначала необходимо выполнить те действия, которые расположены в скобках, то есть требуется раскрыть скобки слева направо. Раскроем скобки в нашем примере и получим следующее выражение: 112 х 5 + 96 ÷ 3 = Далее также слева направо выполняем все действия умножения и деления, соответственно - мы получим следующую сумму: 560 + 32 = Наконец, производим финальное действие - сложение: 592 - конечный результат. Таким образом, мы узнали, что натуральные числа - это все целые и положительные числа, нуль не является таковым. Вникли в небольшую предысторию данных символов и поняли их важное значение в математике. Произвели разбор основных свойств и арифметических действий, производимых с ними. Также рассмотрели алгоритм действий, необходимых для вычисления ответа. Чтобы проверить свои знания по изученной теме, рекомендуем вам пройти тест, представленный ниже, а также посмотреть видео, где вы найдете еще больше примеров решения различных уравнений с натуральными числами.Тест для закрепления материала
-
1 Выберите ряд, где правильно названы все характеристики натуральных чисел:Вопрос 1 из 10
-
2 Каким знаком обозначается множество натуральных чисел?Вопрос 2 из 10
-
3 Укажите наименьшее натуральное число на отрезке от -1 до 10:Вопрос 3 из 10
-
4 Чем отличаются классы и разряды натуральных чисел?Вопрос 4 из 10
-
5 Как звучит сочетательное свойство натуральных чисел?Вопрос 5 из 10
-
6 Что значит: “возвести число в степень”?Вопрос 6 из 10
-
7 Как называется результат операции деления?Вопрос 7 из 10
-
8 Выберите ряд, в котором расположены только натуральные числа:Вопрос 8 из 10
-
9 Какое действие в примере выполняется первым?Вопрос 9 из 10
-
10 Назовите наибольшее число натурального ряда:Вопрос 10 из 10
Еще тесты
- Анатомия
- Английский язык
- Астрономия
- Биология
- Литература
- История
- Педсовет
- Естествознание
- Финансы и кредит
- Правоведение
- Товароведение
- Экономика
- Социология
- Маркетинг
- Обществознание
- Культурология
- Математика
- Философия
- Русский язык
- Психология
- Политология
- Делопроизводство
- Бухгалтерия
- ОБЖ
- Орфография
- География
- Биографии
- Физика
- Пунктуация
- Краткие содержания
- Химия
- Менеджмент
- Тест на тему Тест по теме Дыхательная система человека 7 вопросов
- Тест на тему Строение человека - анатомия внутренних органов 7 вопросов
- Тест на тему Гормоны - определение, виды, функции, роль в организме человека 5 вопросов
- Тест на тему Лейкоциты в крови - строение, где образуются и разрушаются, норма содержания 5 вопросов
- Тест на тему Одноклеточные организмы - строение , формы и признаки представителей 8 вопросов
- Тест на тему Бесполое размножение - виды, формы и биологическое значение процесса 9 вопросов
- Тест на тему Синтез АТФ - структура, функции и пути образования аденозинтрифосфорной кислоты 7 вопросов
- Тест на тему Биогеоценоз - определение, структура и свойства 5 вопросов
- Тест на тему Символизм в литературе - основные черты и представители направления 6 вопросов
- Тест на тему "У Лукоморья дуб зеленый" - анализ стихотворения Александра Сергеевича Пушкина 8 вопросов
- Тест на тему Родион Раскольников и Соня Мармеладова - история взаимоотношений в романе Ф. М. Достоевского "Преступление и наказание" 6 вопросов
- Тест на тему Семья Мелеховых в романе М. Шолохова "Тихий дон" 7 вопросов
- Тест на тему Отечественная война 1812 года - причины, основные сражения, итоги 7 вопросов
- Тест на тему Правление Ивана Грозного - внутренняя и внешняя политика 7 вопросов
- Тест на тему Образование СССР - причины, этапы становления, состав, итоги 6 вопросов
- Тест на тему Крещение руси князем Владимиром - причины, история, значение принятия христианства 6 вопросов
- Тест на тему Пищевая цепочка в природе - звенья, схемы и примеры цепей 5 вопросов
- Тест на тему Экологические факторы - классификация, примеры, общие закономерности воздействия 5 вопросов
- Тест на тему Биосфера - определение, состав, свойства, границы 5 вопросов
- Тест на тему Возникновение жизни на земле 6 вопросов
- Тест на тему Права и свободы человека и гражданина 5 вопросов
- Тест на тему Унитарное предприятие - виды, признаки, участники, особенности 7 вопросов
- Тест на тему Формы собственности - типы и виды и их характеристика 7 вопросов
- Тест на тему Предпринимательское право - понятие, принципы, предмет и объект, функции 5 вопросов
- Тест на тему Ликвидность предприятия - определение, виды, формула расчета 7 вопросов
- Тест на тему Процентная ставка - понятие, виды, методы расчета и начисления 5 вопросов
- Тест на тему Финансы - определние, сущность, основные функции, виды 7 вопросов
- Тест на тему Коммерческая деятельность - сущность и содержание 7 вопросов
- Тест на тему Статистическое наблюдение - виды, способы, последовательность этапов 6 вопросов
- Тест на тему Социальный контроль - понятие и функции, формы и методы, значение 5 вопросов
- Тест на тему Анкетирование - правила составления и виды вопросов, оформление результатов 5 вопросов
- Тест на тему Социальная группа — понятие, типы, критерии выделения 8 вопросов
- Тест на тему Деятельность человека - основные виды и характеристики 7 вопросов
- Тест на тему Воздушно-десантные войска (ВДВ) - история создания, подразделения, оснащение 7 вопросов
- Тест на тему Субъекты РФ - количество, виды, правовой статус 7 вопросов
- Тест на тему Социальные нормы - понятие, виды и характеристка, функции, примеры 6 вопросов
- Тест на тему Что такое угол 5 вопросов
- Тест на тему Деление в столбик — подробное описание алгоритма решения задач, примеры 10 вопросов
- Тест на тему Вычитание дробей - правила и примеры с решениями 5 вопросов
- Тест на тему Модуль числа - свойства, действия, как решать уравнения и неравенства с модулем 10 вопросов
- Тест на тему Ислам - история возникновения религии, основные положения 7 вопросов
- Тест на тему Мышление - определение, виды, функции, свойства 5 вопросов
- Тест на тему Что такое мораль, ее категории и функции 6 вопросов
- Тест на тему Буддизм - кратко о религии (история возникновения, основные положения, священные книги) 6 вопросов
- Тест на тему Безличные предложения в русском языке 8 вопросов
- Тест на тему Ударение в словах в русском языке - правила и проверка постановки 5 вопросов
- Тест на тему Морфемный разбор слова - правила выполнения с примерами 5 вопросов
- Тест на тему Сложноподчиненные предложения в русском языке 6 вопросов
- Тест на тему Мотивация - определение, виды и типы в психологии, менеджменте 5 вопросов
- Тест на тему Интеллект - понятие, признаки, как развивать, оценка 5 вопросов
- Тест на тему Социализация личности - понятие и сущность, агенты, примеры 5 вопросов
- Тест на тему Типы темперамента и их психологическая характеристика 5 вопросов
- Тест на тему Органы исполнительной власти РФ - понятие и правовой статус, структура и фунции 7 вопросов
- Тест на тему Европейский союз - история создания, цели, состав 5 вопросов
- Тест на тему Тоталитаризм - определение, характерные черты, плюсы и минусы идеологии 5 вопросов
- Тест на тему Политическая идеология - определение понятия, функции, классификация, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Оборотные средства предприятия, их структура, учет и анализ 7 вопросов
- Тест на тему Бюджетная классификация - определение, структура 7 вопросов
- Тест на тему Калькуляция - основные понятия, примеры расчетов себестоимости 7 вопросов
- Тест на тему Бухгалтерский учет материально-производственных запасов на предприятии 8 вопросов
- Тест на тему Пистолет Макарова - шпаргалка по тактико-техническим характеристикам 9 вопросов
- Тест на тему Чрезвычайная ситуация - понятие, типы ЧС, причины возникновения, стадии развития 7 вопросов
- Тест на тему Вооруженные силы Российской Федерации — организационная структура и предназначение 7 вопросов
- Тест на тему ВМФ (Военно-Морской флот) России - структура, история, состав 7 вопросов
- Тест на тему Перу - географическое положение, климат и достопримечательности 9 вопросов
- Тест на тему Климатические пояса Земли - характеристика и особенности 8 вопросов
- Тест на тему Тайга - географическое положение, животный и растительный мир, особенности и характеристика природной зоны 7 вопросов
- Тест на тему Озеро - определение, классификация, признаки 6 вопросов
- Тест на тему Братья Гримм - биография, жизнь и творчество немецких писателей 10 вопросов
- Тест на тему Тамерлан (1336-1405) - биография, жизнь и завоевания великого полководца 10 вопросов
- Тест на тему Максим Горький (1868-1936) - биография, кратко самое важное, интересные факты из жизни писателя 9 вопросов
- Тест на тему Блок Александр Александрович (1880-1921) - биография, жизненный и творческий путь 11 вопросов
- Тест на тему "Ночь перед Рождеством" - краткое содержание повести Н. В. Гоголя 10 вопросов
- Тест на тему "Маленький Мук" - краткое содержание сказки Вильгельма Гауфа 10 вопросов
- Тест на тему "Дворянское гнездо" - краткое содержание романа И.С. Тургенева 8 вопросов
- Тест на тему "Бирюк" - краткое содержание рассказа И.С. Тургенева 10 вопросов
- Тест на тему Серная кислота - химические и физические свойства и реакции 8 вопросов
- Тест на тему Муравьиная кислота - формула, свойства, получение и применение 7 вопросов
- Тест на тему Сложные эфиры - характеристика, классификация и примеры соединений 8 вопросов
- Тест на тему Толуол - формула, свойства и применение химического вещества 8 вопросов
- Тест на тему Оценка персонала - виды, критерии и методы 7 вопросов
- Тест на тему Управление персоналом - задачи, функции, современные подходы 5 вопросов
- Тест на тему Менеджмент предприятий — сущность, виды, задачи и цели 7 вопросов
- Тест на тему Организационная структура предприятия — типы и предназначение 7 вопросов