Понятие

Данное понятие появилось в математике одним из первых. В древности люди перечисляли предметы на пальцах, и им вполне этого хватало. Но с бурным развитием торговли и ростом количества продукции на рынках одних пальцев для счета стало не хватать. Поэтому древние люди придумали символы, обозначающие количество чего-либо, которые они использовали для перечисления скота, различных вещей и т.д. Чуть позже числа вошли в науку математику, где стали активно применяться в качестве материала для многочисленных алгебраических преобразований. Натуральные числа - все символы, используемые при счете каких-либо предметов, тем самым вычисляя их последовательность и количество. Все отрицательные и дробные числа не являются натуральными.
Важно! Нуль не входит в натуральное множество, то есть не является одним из них, потому мы и не применяем его при счете.
Соответственно - наименьшей является единица. Наибольшего натурального числа не существует, так как счет можно продолжать до бесконечности. Рис. 1. Определение натуральных чисел
Рис. 1. Определение натуральных чисел
Вернемся в древние времена. Тогда числа записывали чаще с помощью палочек или любых других примитивных знаков:
  • 1 = I;
  • 2 = II;
  • 3 = III.
Но когда палочек приходилось писать слишком много (100, 1000), люди задумались над более емкой системой записи количества предметов. Так, арабы придумали и завезли в Европу свои цифры, которые на континенте назвали арабскими. Мы прекрасно знаем все эти цифры:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (10 штук).

Из данных цифр можно составить абсолютно все натуральные числа. Их множество обозначается знаком N.

Натуральный ряд

Разберем еще одно понятие, связанное с главной темой. Натуральный ряд - последовательная запись всех натуральных символов. Как мы уже выяснили, высшего натурального числа не существует, поэтому данный ряд представляет собой последовательность, которая не заканчивается. Каждый последующий символ натурального ряда больше предыдущего ровно на единицу. Пример: Указать наименьший натуральный знак на отрезке от -7 до 27. Ответ: единица.

Разряды и классы

Для начала скажем, что при счете мы обычно применяем десятичную систему исчисления. Она подразумевает то, что 10 единиц низшего разряда образуют 1 единицу более старшего, и данная закономерность сохраняется до конца счета. Разрядные единицы - это такие символы, которые обозначают начало определенного разряда. Пример: 1, 10, 100 и т.д. Благодаря разрядным единицам, можно сделать запись менее длинной и более упрощенной. Пример: Записать 298 481 в виде суммы разрядных слагаемых. Решение: 200 000 + 90 000 + 8 000 + 400 + 80 + 1.
Важно! 12-ти разрядные числа называются большими и редко употребляются в алгебраических вычислениях.
Если число состоит из одного знака, то оно называется однозначным. Соответственно - различают двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. Теперь стоит немного рассказать и о натуральных классах. При чтении определенного числа его разделяют на классы, включающие по три разряда. Первые три единицы представляют собой класс единиц, следующие три - класс тысяч. Далее идут довольно крупные группы - классы миллионов, миллиардов и другие. Помните, что каждая цифра любого класса является разрядом, то есть классы состоят из разрядов. Сравнивать их можно через классы или разряды. Соответственно - то число, где количество старших разрядов преобладает, является более крупным по значению.

Главные свойства

Рассмотрим основные свойства, которые характерны для всех натуральных чисел. Они применимы всегда и везде, так как способствуют упрощению некоторых выражений различных типов. Их используют при различных вычислениях и преобразованиях.

Свойство 1

От перемены места слагаемых сумма не меняется. Пример: 2 + 1 = 1 + 2 = 3. Как бы мы не переставляли слагаемые, сумма все равно останется такой же.

Свойство 2

От перемены места множителей произведение не меняется. Пример: 2 х 1 = 1 х 2 = 2. Аналогичное правило есть и в умножении. Значение произведения в итоге остается тем же.

Свойство 3

Чтобы прибавить к числу сумму двух других чисел, можно сначала произвести сложение одного числа, а затем - второго. Пример : 2 + (3 + 10) = 3 + (2 + 10) = 15. Данное правило еще называется сочетательным свойством.

Свойство 4

Чтобы умножить на число произведение двух других чисел, можно сначала произвести умножение одного числа, а затем - второго. Пример: 5 х (6 х 4) = (5 х 6) х 4 = 120. Правило, аналогичное предыдущему, только здесь используется другой вид арифметических действий. Принцип остается тем же.

Свойство 5

Для того, чтобы умножить сумму натуральных чисел на другое число, нужно умножить это число на каждую из представленных слагаемых, а затем сложить полученные произведения чисел. Пример: 5 х (4 + 3) = 5 х 4 + 5 х 3 = 35. Это правило умножения числа относительно сложения двух других. Часто применяется в решении заданий по преобразованию каких-либо выражений. Мы выяснили и разобрали на примерах самые главные свойства натуральных чисел. Если вы их не знали раньше, то советуем вам обратить на них особое внимание. А теперь перейдем к изучению наиболее распространенных и часто используемых операций.

Характерные операции и взаимодействия

Конечно, с данным видом чисел можно выполнять очень много различных действий. Однако мы разберем те основные операции, которые не выводят конечный результат из натурального множества.

Сложение

Один из наиболее простейших видов взаимодействий. Здесь мы берем две части (два слагаемых) и соединяем (складываем) их, образуя конечный результат - сумму. Пример: 6 + 2 = 8. Восемь в данном случае будет являться суммой двух слагаемых - шести и двух.

Вычитание

Вид операций, противоположный предыдущему. В данном случае имеем уже три составляющих. То выражение, из которого мы вычитаем определенное количество, называется уменьшаемым. Количество. которое уже отделено от первоначального, называется вычитаемым. А конечный результат, соответственно, именуется разностью, то есть подразумевается разность между двумя количествами. Пример: 8 - 2 = 6. Восемь - уменьшаемое, два - вычитаемое, шесть - разность.

Умножение

Вид операций, при которой одно число берется такое количество раз, которое равно второму. Оба исходных числа называются множителями. Результат взаимодействия именуется произведением. Пример: 6 х 5 = 30. Шесть и пять - множители, тридцать - произведение чисел.

Деление

Вид операций, противоположный умножению. Число, подвергаемое делению, носит название делимого, а то, на которое делят именуется делителем. Результат деления называется частным. Существует деление с остатком. После такого деления остается небольшой остаток, который уже не делится на исходный делитель. Так как мы разбираем натуральный вид, то и ответ должен получиться натуральным, поэтому в данном случае мы лишь приписываем остаток к ответу. Пример: 6 : 2 = 3. Шесть - делимое, 2 - делитель, 3 - частное. Пример деления с остатком: 7 : 3 = 2 (1) - ответ записываем в виде натурального числа. Один - остаток. Остальное по аналогии с предыдущим примером.

Возведение в степень

Такой вид арифметических операций, при котором число умножается на себя количество раз, равное указанной степени. Здесь мы имеем три элемента: исходное число, степень и ответ. Пример: 63 = 6 х 6 х 6 = 216.

Порядок решения - пример

Итак, после подробного разбора основных арифметических операций рассмотрим алгоритм выполнения всех указанных действий в одном равенстве. Возьмем какой-нибудь пример, включающий в себя большинство всех представленных выше взаимодействий. (36 + 76) х (85 - 80) + 96 ÷ 3 = Сначала необходимо выполнить те действия, которые расположены в скобках, то есть требуется раскрыть скобки слева направо. Раскроем скобки в нашем примере и получим следующее выражение: 112 х 5 + 96 ÷ 3 = Далее также слева направо выполняем все действия умножения и деления, соответственно - мы получим следующую сумму: 560 + 32 = Наконец, производим финальное действие - сложение: 592 - конечный результат. Таким образом, мы узнали, что натуральные числа - это все целые и положительные числа, нуль не является таковым. Вникли в небольшую предысторию данных символов и поняли их важное значение в математике. Произвели разбор основных свойств и арифметических действий, производимых с ними. Также рассмотрели алгоритм действий, необходимых для вычисления ответа. Чтобы проверить свои знания по изученной теме, рекомендуем вам пройти тест, представленный ниже, а также посмотреть видео, где вы найдете еще больше примеров решения различных уравнений с натуральными числами.