Рациональные дроби - свойства, преобразования и примеры решений

Общие сведения

Математика — наука о числах и действиях над ними. Значение, которое можно записать в виде обыкновенной дроби, называют рациональным. Оно состоит из целого числа в числителе и натурального в знаменателе. Простое выражение можно представить как бесконечную десятичную дробь. Множество рациональных чисел обозначают латинской буквой Q. Если действительное значение не рациональное, оно иррациональное.

Рациональные дроби — это конструкции над многочленами. Это следует из того, что делимое и делитель представляют собой сумму нескольких одночленов. Если в выражении стоит знак минус, на него не стоит обращать внимание, ведь он относится к числовому коэффициенту одночлена, поэтому многочлен всё равно является суммой. Например, -4/d2 * (b — c), (f + 2,67 * f + 2 3/8 — f2 * y* t)/(f2 + d2 +42).

Выражения могут быть представлены в нестандартном виде, поэтому приходится выполнять дополнительные преобразования. Это возможно, так как делимое и делитель являются самодостаточными. Упрощения выполняются путём разложения на множители. При этом по возможности следует выполнять действия как для числителя, так и знаменателя. Операции преобразования включают в себя:

• сокращение;
• приведение к общему знаменателю и нахождению дополнительных членов;
• вынесение общего множителя за скобку.

Наиболее часто вызывает сложность подбор общего знаменателя. Это приведение основывается на основном свойстве дроби. Согласно ему, умножение на ненулевой многочлен одновременно делимого и делителя не приводит к изменению результата. Отсюда следует, что числитель и знаменатель можно возводить в квадрат, извлекать корень.

Для успешного выполнения действий важно знать формулы сокращённого умножения. Это базисные знания, без которых решать рациональные дроби в 8 классе будет невозможно.

Всего используется 7 теорем: разность кубов и квадратов, произведение разности и суммы, куб суммы и разности, умножение на неполный квадрат. Используя знания, полученные в седьмом классе, многие операции можно выполнять в уме и приводить многочлен к стандартному виду без предварительного раскрытия скобок.

Свойства дроби

Пусть имеется множество, каждому члену которого поставлено в соответствие число игрек. Про такое положение говорят, что множеству задана числовая функция: y = f (x), где x Є D. Описывается область определением функции и обозначается как D (f (x)). Множество можно представить как отношение двух многочленов. Когда в числителе стоит многочлен энной степени, а в знаменателе эмной, то f (x) называют рациональным отношением или дробью.

Такие выражения обладают рядом свойств. Основное из них выражают формулой: P (x)/Q (x) = P (x) * R (x) / Q (x) * R (x). Справедливо оно лишь для случая, при котором множества Q (x) и R (x) неравны нулю, при этом R (x) является многочленом. Формулировка свойства звучит следующим образом: делимое и делитель можно помножить на одинаковое выражение. Например, им может быть число, одночлен или другой многочлен.

К другим свойствам относят:

• ассоциативность;
• коммутативность;
• дистрибутивность;
• транзитивность.

Если равенство f/g =y/x справедливо, при этом y/x = n/m, верным будет и выражение: f/g = n/m. Отсюда следует, что рациональную дробь можно превратить в обыкновенную, если её делитель и делимое можно умножить или разделить на одинаковый многочлен. Единственное условие — он должен быть отличным от нуля.

Рациональную дробь можно представить в виде суммы. Выполняют это действие, основываясь на правиле сложения или вычитания выражений с одинаковыми знаменателями. Например, k * m — k / k+1 = 1/k + (k2 * m — k2 — k — 1) / (k2 + k).

Из свойств рациональных отношений следует, что для вычитания их друг из друга нужно привести члены к общему знаменателю и найти разность числителей. Аналогично поступают и для операции сложения, только вычитание в числителе заменяют складыванием. Произведение же находится простым перемножением делимых и делителей. А вот деление выполняют по-другому. Чтобы найти частное, нужно первое выражение умножить на обратную вторую дробь. Чтобы возвести дробь в степень, нужно отдельно в неё возвести числитель и знаменатель. По тому же принципу извлекают и корень.

Понимая, как правильно использовать приведённые свойства, решать задания на контрольной работе в школе будет несложно. Но перед сдачей теста необходимо попрактиковаться в самостоятельном решении.

Изменение знака

При решении заданий основное свойство дроби используют и для изменения знаков. Действительно, если числитель и знаменатель помножить на минус единицу, ответ не изменится. Полученное выражение будет полностью тождественным исходному. Записать это правило можно равенством: a/b = (-1 * a) / (-1 * b) = -a/-b. Например, (-23x — 34) / (x — y) = (23x + 34) / (y — x).

Из теоремы существует следствие. Согласно ему, a / b = - (-a) / b = - (a) / (-b). Доказать это утверждение просто если взять за основу правило умножения чисел. Дробь — (-a) / b = -((-a): b) = (-1) * (((-1) * a): b) = (-1) * (-1) * a: b = a: b = a / b. Аналогичные действия можно выполнить и для равенства: a / b = - (a) / (-b).

Правило изменения знаков очень важно, поэтому обычно ему уделяют целый урок при изучении рациональных дробей и их свойств в 8 классе. Понять, насколько полезно это свойство можно, рассмотрев пример. Найти сумму рациональных чисел: ((3 — 14x) / (3x * y — z)) + ((14 — 56x) / (z -3x * y)). Чтобы сложить два члена, нужно найти общий знаменатель. Применяя стандартные методы, вычислить его довольно сложно. Решение получится громоздким и неудобным. Если же присмотреться к выражениям, можно увидеть похожесть знаменателей, отличие их будет только в знаках.

Используя правило изменения, можно умножить второй член на минус единицу, то есть помножить на -1 делитель и делимое: -1 * (14 — 56x) / -1* (z -3x * y). В результате получится дробь тождественная исходной: (-14 + 56x) / (-z + 3x * y) = (56x — 14) / (3x * y — z). Теперь полученный результат можно подставить в пример и выполнить сложение: ((3 — 14x) / (3x * y — z)) + (56x — 14) / (3x * y — z) = ((3 — 14x) + (56x — 14)) / (3x * y — z) = ((3 — 14) + (56x — 14x)) / (3x * y — z) = (44x -11) / (3x * y — z).

Следует отметить, что приём по изменению знака часто используют при разложении рациональных отношений на простейшие дроби. Например, (2x3 — 3) / (- x3 — x). Так как степень числа в числителе меньше чем в знаменателе, нужно использовать разложение. Причём в другом случае пришлось бы применять деление для нахождения целой части. Для удобства действия выражение нужно умножить на минус единицу. В результате несложно будет определить верность равенства: 2x3 + 3 / (x3 + x) = 2 + (-2x + 3) / (x3 + x).

Решение примеров

Самостоятельное решение рациональных дробей в алгебре в 8 классе строится на цепочке преобразований. Первое, что нужно сделать — оценить возможность разложения отношения на множители. Для этого лучше использовать формулы сокращённого умножения или дискриминант. Алгоритм преобразований можно представить в следующем виде:

• подобрать формулу сокращённого умножения, то есть перевести выражение в максимально возможную степень;
• вынести общую степень за скобку;
• при существовании коэффициентов найти их по формуле квадратного разложения.

Вот 3 типовые задачи, которые обычно предлагают решить студентам при сдаче зачёта:

1. Используя свойства дробных отношений, выполнить преобразование до стандартного вида: (3 *a — a*b — 2*b*(5/6)*b + 2 3/7*a*b) / (a3*b2 — 5*a2*b + 3*a**b -15). Оценивая пример, можно увидеть, что к числителю возможно применить свойство степени из-за одинаковых оснований: 3*a — a*b — 2*b*(5/6)*b + 2 3/7*a*b = 3*a — a*b — (5/3)*b2 + 2 3/7*a*b. В полученном выражении подобный член можно убрать за скобки: 3*a + (-a*b + 2 3/7*a*b) — 5/3*b2 = 3*a + 1 3/7 *a*b — 5/3*b2. Теперь можно перейти к разложению знаменателя. В нём общий множитель вынести за скобки. В результате должно получиться выражение: a*b*(a2*b + 3) — 5*(a2*b + 3) = (a2*b + 13)*(a*b -5). Осталось только записать полученные результаты в числитель и знаменатель.
2. Сократить дробь: (45z*x2*y3) / (45z*x*y7). Сразу видно, что числитель и знаменатель содержит одинаковый множитель, на который можно сократить. Затем, применив свойство степени, выражение можно представить в следующем виде: x2*y3 / x*y7 = (x*x)*y3 / x*(y3*y4) = x/y4.
3. Определить, при каких значениях n рациональная дробь (n4 — 2 * n3 + 4 * n — 5) / (n-2) будет равняться целому числу. Для решения задачи нужно выполнить деление. Для этого удобно воспользоваться методом столбика. После преобразования дробь должна принять вид: n3 + 4 + 3/(n-2). Так как n3 + 4 при любом значении неизвестной будет целым, анализировать нужно дробь: 3/(n-2). Она будет целой, только если знаменатель будет равняться: 1, −1, 3, -3. Соответственно искомые значения равняются: 3;1;5;1.

При упрощении рациональных отношений сложность связана с тем, что не всегда просто найти общий множитель для числителя и знаменателя. Причём он и не всегда существует, поэтому и нужно пробовать разложение на множители. Если такого члена нет, дробь упростить нельзя.