Решение матриц - методы вычисления с примерами

Понятие выражения
Определение гласит, что матрица — это прямоугольная таблица с заключёнными в ней числами. Её название обозначается латинскими прописными буквами (А, В). Таблицы бывают разной размерности — прямоугольной, квадратной, а также в виде строк и столбцов.
От количества строк и столбцов будет зависеть величина таблицы. Матрица размера m*n означает, что в таблице содержится m строк и n столбцов. Допустим, первая строка включает элементы а11, а12, а13, вторая — а21, а22, а23. Тогда элементы, где i = j (а11, а22) образовывают диагональ и называются диагональными.
Различают комплексные матрицы, у которых хотя бы один элемент равен комплексному числу, и действительные, когда все её элементы являются действительными числами. В математике комплексные числа представлены в виде a+b*i, где:
- a — действительная часть числа;
- b — мнимая часть;
- i — мнимая единица (квадратный корень из -1).
На приведенном примере показаны варианты.

Простейшие действия с матрицами могут быть разными. К их числу относятся:
- умножение;
- вычитание;
- умножение на число;
- перемножение между собой;
- транспортирование матриц.
Сложение и вычитание
Действия по сложению возможны только тогда, когда матрицы одинакового порядка равны между собой. В итоге получится новое матричное выражение такой же размерности. Сложение и вычитание выполняются по общей схеме — над соответствующими элементами таблиц проводят необходимые операции. Например, нужно сложить две матрицы А и В размерности 2*2.

Каждый элемент первой строки складывается по порядку с показателями верхней строчки второй матрицы. По аналогии производится вычитание, только вместо плюса ставится минус.

Умножение на число
Любую таблицу чисел можно умножить на число. Тогда каждый её элемент перемножается с этим показателем. К примеру, умножим матричное выражение на 2:

Операция перемножения
Матрицы подлежат перемножению одна на другую, когда количество столбцов первой таблицы равно числу строк второй. Каждый элемент Aij будет равняться сумме произведений элементов i-строки первой таблицы, перемноженных на числа в j-столбце второй. Способ произведения наглядно представлен на примере.

Возведение в степень
Формулу возведения в степень применяют только для квадратных матричных выражений. При этом степень должна быть натуральной. Формула возведения следующая:

Иначе, чтобы выполнить операцию возведения таблицы чисел в степень n, требуется умножить её на себя саму n раз. Для операции возведения в степень удобно применять свойство в соответствии с формулой:

Решение представлено на примере. 1 этап: необходимо возвести в степень, где n = 2.

2 этап: сначала возводят в степень n =2. Согласно формуле перемножают таблицу чисел саму на себя n = 2 раз.

3 этап: в итоге получаем:

Расчёт определителя
В линейной алгебре существует понятие определителя или детерминанта. Это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице, вычисленное из её элементов по специальной формуле. Определитель или модуль используется для решения большинства задач. Детерминант самой простой матрицы определяется с помощью вычитания перемноженных элементов из побочной диагонали и главной.
Определителем матрицы А n-энного порядка называется число, которое получают из алгебраической суммы n! слагаемых, попадающих под определённые критерии. Эти слагаемые являются произведением n-элементов, взятых единично из всех столбов и строк.
Произведения могут отличаться друг от друга составом элементов. Со знаком плюс будут включаться в сумму числа, если их индексы составляют чётную подстановку, в противоположном случае их значение меняется на минус. Определитель обозначается символом det A. Круглые скобки матричной таблицы, обрамляющие её элементы, заменяются на квадратные. Формула определителя:

Определитель первого порядка, состоящий из одного элемента, равен самому этому элементу. Детерминант матричной таблицы размером 2*2 второго порядка вычисляется путём перемножения её элементов, расположенных на главной диагонали, и вычитания из них произведения элементов, находящихся в побочной диагонали. Наглядный пример:

Для матрицы также можно найти дискриминант многочлена, отвечающий формуле:

Когда у многочлена имеются кратные корни, тогда дискриминант равен нулю.
Обратная матрица
Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами. На рисунке представлен метод решения:

По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы.
Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений.
Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле:

Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2. На первом этапе выполняют действия:

Обратного выражения матрицы не может быть, если определитель равен нулю. В рассматриваемом случае он равен -2, поэтому всё в порядке.
2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках.
При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица:


3 этап: находят алгебраические дополнения.

4 этап: определяют транспонированную матрицу.


Итогом будет:
Проверка решения: чтобы удостовериться, что обратная таблица чисел найдена верно, следует выполнить проверочную операцию.

В рассматриваемом примере получается единичная матрица, когда на главной диагонали находятся единицы, при этом другие элементы равняются нулю. Это говорит о том, что решение было найдено правильно.
Нахождение собственных векторов
Определение собственного вектора и значений матричного выражения легче понять на примере. Для этого задают матричную таблицу чисел и ненулевой вектор Х, называемый собственным для А. Пример выражения:

Согласно теореме собственными числами матричного выражения будут корни характеристического уравнения:

Из однородной системы уравнений можно определить координаты собственного вектора Х, который соответствует значению лямбда.

Метод Гаусса
Методом Гаусса называют способ преобразования системы уравнений линейного вида к упрощённой форме для дальнейшего облегчённого решения. Операции упрощения уравнений выполняют с помощью эквивалентных преобразований. К таким относят:
- действия, когда в системе переставляются местами два уравнения;
- произведение одного из уравнений в системе на действительное ненулевое число;
- сложение первого уравнения со вторым, при этом последнее умножено на произвольное число.
Чтобы понять механизм решения, следует рассмотреть линейную систему уравнений.

Следует переписать эту систему в матричный вид:

А будет являться таблицей коэффициентов системы, b — это правая часть ограничений, а Х — вектор переменных координат, который требуется найти. Для решения используют ранг матрицы. Под ним понимают наивысший порядок минора, который отличается от 0.
В этом примере rang (A) = p. Способ эквивалентных преобразований не изменяет ранг таблицы коэффициентов.
Метод Гаусса предназначен для приведения матричной таблицы коэффициентов А к ступенчатому или диагональному виду. Расширенная система выглядит так:

Допустим, а11 не равен 0. В противном случае, если это не так, то меняют эту строку с другой, где в первом столбце находится элемент, отличный от нуля. Когда подобные строчки отсутствуют, переходят к другому столбцу. Все нижние элементы столбца после а11 обнуляют. Для этих целей выполняют операции сложения строк 2,3...m с первой строчкой, умноженной на а21/а11, -а31/а11....- аm1/a11. В результате система примет вид:

На втором шаге повторяют все действия с элементами столбца 2, которые расположены ниже а22. Если показатель равен нулю, строку также меняют местами со строчкой, лежащей ниже с ненулевым элементом во втором столбце. Затем обнулению подлежат все показатели ниже а22. Для этого складывают строки 2,3 ..m, как описано выше. Выполняя процедуру со всеми элементами, приходят к матричной таблице ступенчатого или диагонального вида. Полученная расширенная таблица будет выглядеть:

Обращают внимание на последние строки.

В этом случае система уравнений имеет решение, но когда хотя бы одно из этих чисел отличается от нуля, она несовместима. Таким образом, система совместима, если ранг таблицы А равен расширенному рангу В (А|b).

Если rang А=rang (A|b), то существует множество решений, где n-p — многообразие. Из этого следует n-p неизвестных Хр+1,...Xn выбираются произвольно. Неизвестные X1, X2,...Xp вычисляют следующим образом: из последнего уравнения выражают Хр через остальные переменные, вставляя в предыдущие выражения. Затем из предпоследнего уравнения получают Хр-1 через прочие переменные и подставляют их в предыдущие выражения. Процедуру повторяют.
Найти быстро ответ и проверить себя позволяет онлайн-калькулятор. Решение матрицы методом Гаусса с помощью такого расчёта показывает подробные этапы операций. Для нахождения достаточно указать количество переменных и уравнений, отметить в полях значения чисел и нажать кнопку «Вычислить».
Способ Крамера
Метод Крамера используют для решения квадратной системы уравнений, представленной в линейном виде, где определитель основной матрицы не равен нулю. Считается, что система обладает единственным решением. Например, задана система линейных уравнений:

Её необходимо заменить равноценным матричным уравнением.


Второй столбец вычисляют, а первый уже задан. Есть предположение, что определитель матрицы отличен от нуля. Из этого можно сделать выводы, что существует обратная матрица. Перемножив эквивалентное матричное уравнение на обратного формата матрицу, получим выражение:

В итоге получают выражения:

Из представленных уравнений выделяют формулы Крамера:

Метод Крамера не представляет сложности. Он может быть описан следующим алгоритмом:
- Высчитывают определитель дельта базовой матрицы.
- В матричной таблице А замещают первый столбец на вектор свободных элементов b.
- Выполняют расчёт определителя дельта1 выявленной матрицы А1.
- Определяют переменную Х1 = дельта1/дельта.
- Повторяют шаги со 2 по 4 пункт в матрице А для столбов 2,3...n.
Проверить решение матрицы методом Крамера онлайн позволяет калькулятор автоматического расчёта. Для получения быстрого ответа в представленные поля подставляют переменные числа и их количество. Дополнительно может потребоваться указание вычислительного метода разложения по строке или столбу. Другой вариант заключается в приведении к треугольному виду.
Указывается также представление чисел в виде целого числа, обыкновенной или десятичной дроби. После введения всех предусмотренных параметров и нажатия кнопки «Вычислить» получают готовое решение.
Все тесты
- Психология
- Фонетический разбор
- Орфография
- История
- Окружающий мир
- Анализ стихотворений
- Литература
- Правоведение
- География
- Обществознание
- Экономика
- Помощь студенту
- Биографии
- Краткие содержания
- Информатика
- Тест на тему Как выявить и бороться с эмоциональной зависимостью 5 вопросов
- Тест на тему Как проявляется тревога: основные симптомы 5 вопросов
- Тест на тему Явление конформизма: что это такое и хорошо ли следовать правилам? 5 вопросов
- Тест на тему По каким признакам можно распознать абьюзера? 5 вопросов
- Тест на тему Почему некоторые люди постоянно обижаются? 5 вопросов
- Тест на тему Что понимают под интеракцией в психологии? 5 вопросов
- Тест на тему Особенности группы и группового поведения 5 вопросов
- Тест на тему Использование методики сенсорной интеграции в развитии ребенка 5 вопросов
- Тест на тему Суть теории привязанности и как она помогает в воспитании ребенка? 5 вопросов
- Тест на тему Как использовать теорию множественного интеллекта в обучении ребенка 5 вопросов
- Тест на тему Как сохранить ребенку психологическое здоровье и почему это важно? 5 вопросов
- Тест на тему «Ролей» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Коронавирус» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Посол» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Нарвать» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Запертый» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Приведенный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Произносящий» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Спадают» - как правильно ставить ударение? 5 вопросов
- Тест на тему «Глухи» - как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Места» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Предложен» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Воробьев» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Угли» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Полка» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Полком» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Задам» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Налив» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Воронов» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Собрались» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Налита» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Тетерев» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Убрала» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Гражданство» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Землю» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Приданое» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Ремень» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Годах» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Щемящее» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Симметрия» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Поделенный» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Траву» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Указует» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Нужно» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Упростит» – как правильно ставить ударение в слове? 3 вопроса
- Тест на тему «Добра» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Медовый» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Кратка» – как правильно ставить ударение в слове 5 вопросов
- Тест на тему «Искоса» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Умерший» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Рвала» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Сослепу» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Алфавитный» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Стоя» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Отозвалась» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Верба» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Асимметрия» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Лыжня» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Волков» – как правильно ставить ударение в слове? 5 вопросов
- Тест на тему «Издавна» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Фарфор» – как правильно ставить ударение в слове? 4 вопроса
- Тест на тему «Настолько» или «на столько» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ШИпит» или «шЫпит» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Извне» или «из вне» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «РЕцепт» или «рИцепт» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПриеЗЖая» или «приеЖая» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «СказаНо» или «сказаННо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «В дали» или «вдали» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «РанО» или «РанА» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «День защиты детей» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ДАна» или «дОна» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «БраННых» или «браНых» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Посветлее» или «по светлее» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «МучИмый» или «мучЕмый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НаклОнение» или «наклАнение» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «В течениЕ» или «в течениИ» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ИмениННица» или «имениНица» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Дотемна» или «до темна» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Какие-нибудь» или «какие ни будь» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ОтветЬте» или «ответте» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПиЩа» или «пиСЧа» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Не понимающий» или «непонимающий» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПринЕсу» или «принИсу» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ЕздИли» или «ездЕли» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Социально значимый» или «социальнозначимый» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Не совсем» или «несовсем» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ФоЙе» или «фое» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «НикакоГо» или «никакоВо» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Папарацци» или «папараци» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Откорректированный» или «скорректированный» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Некогда» или «не когда» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Не возражаю» или «невозражаю» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ИнтЕресует» или «интИрисует» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Доставала» или «дАставала» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «По-испански» или «поиспански» - как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ВстретитЬся» или «встретится» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Впрочем» или «в прочем» – как правильно пишется? 4 вопроса
- Тест на тему «РАзыскать» или «рОзыскать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «ПлатьИце» или «платьЕце» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «РАсти» или «рОсти» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «По желанию» или «пожеланию» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Насквозь» или «на сквозь» – как правильно пишется? 4 вопроса
- Тест на тему «ПЪедестал» или «пЬедестал» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «По-человечески» или «почеловечески» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Никто иной» или «не кто иной» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Несдобровать» или «не сдобровать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «В виду» или «ввиду» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Не всегда» или «невсегда» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «Ко скольки» или «коскольки» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «В то же время» или в тоже время – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему «РаССтраивать» или «раСтраивать» – как правильно пишется? 5 вопросов
- Тест на тему Условия и последствия заключения Парижского мира 5 вопросов
- Тест на тему Мир культуры эпохи Просвещения: художественная литература, музыка, живопись 5 вопросов
- Тест на тему Краткое описание эпохи раннего Нового времени 5 вопросов
- Тест на тему Зарождение и устройство республики соединенных провинций Нидерландов 5 вопросов
- Тест на тему Что спровоцировало распад арабского халифата? 5 вопросов
- Тест на тему Самые известные концлагеря нацистов во время Второй мировой войны 5 вопросов
- Тест на тему Цели и последствия Мюнхенского сговора в 1938 году 5 вопросов
- Тест на тему Цели Северогерманского союза и его особенности 5 вопросов
- Тест на тему История разделов Речи Посполитой 5 вопросов
- Тест на тему День взятия Бастилии: ход событий и последствия 5 вопросов
- Тест на тему Подготовка и реализация плана Дауэса 5 вопросов
- Тест на тему Причины и ключевые события войны первой коалиции 5 вопросов
- Тест на тему Кратко о партиях тори и вигов в Англии 5 вопросов
- Тест на тему Причины великой схизмы и ее последствия 5 вопросов
- Тест на тему Образование варварских королевств в Европе 5 вопросов
- Тест на тему История бархатных революций в Восточной Европе 5 вопросов
- Тест на тему План и ход операции “Морской лев” во время Второй мировой 5 вопросов
- Тест на тему Формирование третьего сословия во Франции в XI веке 5 вопросов
- Тест на тему Революционные события “Весны народов” в 1848–1849 годах 5 вопросов
- Тест на тему Суть сепаратного мира и какие страны его заключали 5 вопросов
- Тест на тему История Веймарской республики: от образования до упадка 5 вопросов
- Тест на тему Предыстория и причины отставки Бориса Ельцина 5 вопросов
- Тест на тему Цели и решения Вашингтонской конференции в 1921-1922 годах 5 вопросов
- Тест на тему Причины и последствия термидорианского переворота во Франции 5 вопросов
- Тест на тему Суть реформы Карла Мартелла и ее последствия 5 вопросов
- Тест на тему Ход событий и итоги июльской революции во Франции 5 вопросов
- Тест на тему Подготовка и последствия штурма Зимнего дворца 5 вопросов
- Тест на тему Цели и причины образования Тройственного союза 5 вопросов
- Тест на тему Создание Четверного союза в ходе Первой мировой войны 5 вопросов
- Тест на тему Суть и реализация плана Шлиффена в 1914 году 5 вопросов
- Тест на тему История верденской мясорубки 1916 года 5 вопросов
- Тест на тему Причины и итоги войны за испанское наследство 5 вопросов
- Тест на тему Состав, цели и действия антифранцузских коалиций 5 вопросов
- Тест на тему Установление якобинской диктатуры во Франции 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история ордена иезуитов 5 вопросов
- Тест на тему Содержание и действие нантского эдикта Генриха IV 5 вопросов
- Тест на тему Ключевые события контрреформации в Европе 5 вопросов
- Тест на тему Расцвет и падение абсолютной монархии во Франции 5 вопросов
- Тест на тему История континентальной блокады Англии Россией 5 вопросов
- Тест на тему Первый поход хана Батыя на Русь и его итоги 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история битвы при Пуатье 732 года 5 вопросов
- Тест на тему Истоки, суть и основные идеи кальвинизма 5 вопросов
- Тест на тему История объединения Италии в 19 веке 5 вопросов
- Тест на тему Суть, реформы и результаты нового курса Рузвельта 5 вопросов
- Тест на тему Взгляды и работы великих гуманистов Европы 5 вопросов
- Тест на тему Принятие “чугунного” цензурного устава при Николае I 5 вопросов
- Тест на тему История Любечского съезда русских князей в 1097 году 5 вопросов
- Тест на тему Совет военачальников в Филях в 1812 г. и его последствия 5 вопросов
- Тест на тему Какое оружие использовалось во время Первой мировой войны? 5 вопросов
- Тест на тему История гражданской войны в Китае 1946-1949 гг. 5 вопросов
- Тест на тему Мастера печатных дел на Руси 5 вопросов
- Тест на тему Описание звездного неба для 2 класса 5 вопросов
- Тест на тему Почему Красная площадь называется красной? 5 вопросов
- Тест на тему Три разных состояния воды в природе 5 вопросов
- Тест на тему Что написано в декларации прав ребенка? 5 вопросов
- Тест на тему Путешествие в Египет - проект по окружающему миру для 3 класса 5 вопросов
- Тест на тему Путешествие в Грецию - проект по окружающему миру для 3 класса 5 вопросов
- Тест на тему Как нужно вести себя в библиотеке: основные правила для детей 5 вопросов
- Тест на тему Чем схожи и чем отличаются остров и полуостров? 5 вопросов
- Тест на тему Объекты всемирного наследия ЮНЕСКО в Греции 5 вопросов
- Тест на тему Объекты всемирного наследия ЮНЕСКО в Венгрии 5 вопросов
- Тест на тему Объекты всемирного наследия ЮНЕСКО в Аргентине 5 вопросов
- Тест на тему Объекты всемирного наследия ЮНЕСКО в Австрии 5 вопросов
- Тест на тему Чем стриж отличается от ласточки? 5 вопросов
- Тест на тему Что такое линия горизонта и где она находится? 5 вопросов
- Тест на тему Деньги – что это такое и как они выглядят? 5 вопросов
- Тест на тему Чем питаются лисы в дикой природе? 5 вопросов
- Тест на тему 4 способа распространения плодов 5 вопросов
- Тест на тему Какие животные являются паразитами? 5 вопросов
- Тест на тему Зачем нам нужны телефон и телевизор? 5 вопросов
- Тест на тему Какое животное является священным в Индии и почему? 5 вопросов
- Тест на тему Сколько дней человек может прожить без воды? 5 вопросов
- Тест на тему Сколько дней человек может прожить без еды? 5 вопросов
- Тест на тему Почему человек может видеть разные цвета? 5 вопросов
- Тест на тему Как можно отличить ужа от ядовитой гадюки? 5 вопросов
- Тест на тему Какие животные считаются самыми умными? 5 вопросов
- Тест на тему Виды и описание домашних насекомых 5 вопросов
- Тест на тему Чем весенний паводок отличается от половодья? 5 вопросов
- Тест на тему Внутреннее строение и атмосфера планет-гигантов 5 вопросов
- Тест на тему Форма, размеры и факты об орбитах планет Солнечной системы 5 вопросов
- Тест на тему Какова масса разных планет Солнечной системы? 5 вопросов
- Тест на тему Способы размножения и условия для развития растений 5 вопросов
- Тест на тему Что такое народное ополчение и зачем его создали в начале 17 века? 5 вопросов
- Тест на тему Главные горы и равнины России 5 вопросов
- Тест на тему Описание главных морей, озер и рек России 5 вопросов
- Тест на тему Природные богатства и человеческий труд как основа экономики 5 вопросов
- Тест на тему Экологические проблемы зоны арктических пустынь Источник: 5 вопросов
- Тест на тему Виды национальных головных уборов 5 вопросов
- Тест на тему 10 самых живописных национальных парков мира 5 вопросов
- Тест на тему Зачем человеку нужно уметь читать карту? 5 вопросов
- Тест на тему Конспект занятия на тему: «Земля - наш общий дом» 5 вопросов
- Тест на тему Режим дня: что это такое и зачем его соблюдать? 5 вопросов
- Тест на тему Чем лягушка отличается от жабы? 5 вопросов
- Тест на тему Основные правила этикета для детей 5 вопросов
- Тест на тему Как проявляется симметрия в живой природе 4 вопроса
- Тест на тему Названия и интересные факты о детенышах животных 5 вопросов
- Тест на тему Краткая история и легенда о царь-пушке 5 вопросов
- Тест на тему Где в России добывают соль, которую мы едим? 5 вопросов
- Тест на тему Как можно беречь пресную воду? 5 вопросов
- Тест на тему Почему горящий бензин и керосин нельзя тушить водой? 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Бабье лето» Д. Аминадо 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Соловьи» А. Фатьянова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «У птицы есть гнездо» И. Бунина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Братские могилы» В. Высоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Уступи мне, скворец, уголок» Н. Заболоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Ты кончил жизни путь» Д. Байрона 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Родное» Д. Мережковского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Забелелся туман за рекой» Ф. Сологуба 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Знайте» З. Гиппиус 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Честная бедность» Р. Бернса 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Песня о друге» В. Высоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Я воспитан природой суровой» Н. Заболоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Не надо звуков» Д. Мережковского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Привет, Россия» Н. Рубцова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Не с теми я, кто бросил землю» А. Ахматовой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Перемена» Б. Пастернака 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Стихи о Петербурге» А. Ахматовой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Стихи к Блоку» М. Цветаевой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Клеветникам России» А. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Завещание» Н. Заболоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Стихи о Москве» М. Цветаевой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Молитва» М. Цветаевой 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «И. И. Пущину!» А. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «День и ночь» Ф. Тютчева 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Весна в лесу» Б. Пастернака 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Журавли» Р. Гамзатова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Люблю» В. Маяковского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Когда на меня навалилась беда» К. Кулиева 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Гамлет» Б. Пастернака 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Русь» А. Блока 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Ночь» В. Маяковского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения К. Симонова «Ты помнишь, Алёша, дороги Смоленщины…» 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения Жуковского «Приход весны» 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения Анны Ахматовой «Сероглазый король» 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Июль – макушка лета…» 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Мелколесье. Степь и дали…» С. Есенина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Не позволяй душе лениться» Н. Заболоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «На дне моей жизни» А. Твардовского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Нивы сжаты, рощи голы…» С. Есенина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Бабушкины сказки» С. Есенина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Снежок» Н. Некрасова 1 вопрос
- Тест на тему Анализ стихотворения «По вечерам» Н. Рубцова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Вчерашний день, часу в шестом…» Н. Некрасова 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Цветы последние милей…» А. Пушкина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Я знаю, никакой моей вины…» А. Твардовского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Я не ищу гармонии в природе»Н. Заболоцкого 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Разбуди меня завтра рано» С. Есенина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Снега потемнеют синие» А. Твардовского 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Осень» Н. Карамзина 5 вопросов
- Тест на тему Анализ стихотворения «Молитва» А. Ахматовой 5 вопросов
- Тест на тему Нюансы договора на поставку товаров для государственных и муниципальных нужд 5 вопросов
- Тест на тему Описание договора коммерческой концессии (франчайзинга): содержание, условия 5 вопросов
- Тест на тему Договор купли-продажи предприятия: суть, условия 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и общая характеристика договора контрактации 5 вопросов
- Тест на тему Какие полномочия есть у Правительства РФ? 5 вопросов
- Тест на тему Виды и описание первобытных религий 5 вопросов
- Тест на тему Что такое преступление и чем оно отличается от проступка? 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и виды административно-предупредительных мер 5 вопросов
- Тест на тему Привлекают ли несовершеннолетних к уголовной ответственности? 5 вопросов
- Тест на тему Общая географическая характеристика стран Зарубежной Европы 5 вопросов
- Тест на тему Обзор крупных городов Франции 5 вопросов
- Тест на тему Особенности географического положения Франции 5 вопросов
- Тест на тему Самые большие страны Зарубежной Европы 5 вопросов
- Тест на тему Климатические условия и природные зоны Египта 5 вопросов
- Тест на тему Состав и характеристики экономически активного населения 5 вопросов
- Тест на тему Расположение и характеристики Татарского пролива 5 вопросов
- Тест на тему Есть ли в России анклавы и где они находятся? 5 вопросов
- Тест на тему Формы и особенности рельефа Северного Кавказа 5 вопросов
- Тест на тему Многообразие природных ресурсов на Урале 5 вопросов
- Тест на тему Географическое описание реки Терек 5 вопросов
- Тест на тему Многообразие природных ресурсов на Урале 3 вопроса
- Тест на тему Краткая характеристика островов, принадлежащих России 5 вопросов
- Тест на тему Как и почему рельеф местности влияет на климат? 5 вопросов
- Тест на тему Как и из чего образуются горы? 5 вопросов
- Тест на тему Страны социалистического лагеря в 21 веке 5 вопросов
- Тест на тему Деление Зарубежной Европы на субрегионы 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и расчет миграционного прироста населения 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика арктического климатического пояса 5 вопросов
- Тест на тему Список стран-архипелагов мира 5 вопросов
- Тест на тему Особенности климата во Франции 5 вопросов
- Тест на тему Типы и особенности климата Русской равнины 5 вопросов
- Тест на тему Ледниковый (моренный) рельеф: процесс, возраст, формы, особенности 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика горных систем России 5 вопросов
- Тест на тему Горная система герцинской складчатости 5 вопросов
- Тест на тему Возраст и горные породы периода байкальской складчатости 5 вопросов
- Тест на тему Рельеф и геологическое строение Великобритании 5 вопросов
- Тест на тему Какие горы относятся к складчатым? 5 вопросов
- Тест на тему Что понимают под ложной урбанизацией? 5 вопросов
- Тест на тему Когда и как появилась планета Земля? 5 вопросов
- Тест на тему Имена и открытия исследователей Антарктиды 5 вопросов
- Тест на тему Ледники и айсберги Антарктиды 5 вопросов
- Тест на тему Список и описание растений, произрастающих в жаркой Африке 5 вопросов
- Тест на тему Характеристика самых крупных озер на Алтае 5 вопросов
- Тест на тему Виды и особенности рельефа Луны 5 вопросов
- Тест на тему Основные формы рельефа Китая 5 вопросов
- Тест на тему Причины возникновения селей и их последствия 5 вопросов
- Тест на тему Описание широтных природных зон 5 вопросов
- Тест на тему Элементы духовного мира человека 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и виды экономических ресурсов 5 вопросов
- Тест на тему Основные виды и признаки этносов 5 вопросов
- Тест на тему Зачем человеку нужно изучать обществознание? 5 вопросов
- Тест на тему Виды социальных лифтов и примеры 5 вопросов
- Тест на тему Определение и значение моральных принципов в жизни общества 5 вопросов
- Тест на тему Виды и примеры общественных потребностей человека 5 вопросов
- Тест на тему Суть социального конфликта: функции, стадии развития 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и функции политического конфликта 5 вопросов
- Тест на тему Человеческий труд как основа жизни 5 вопросов
- Тест на тему Правила общения детей с родителями 5 вопросов
- Тест на тему Какие права и обязанности есть у супругов? 5 вопросов
- Тест на тему Какие факторы влияют на стоимость предприятия 5 вопросов
- Тест на тему Суть теории общественного выбора и концепции Бьюкенера 5 вопросов
- Тест на тему Как финансовые пузыри влияют на экономику 5 вопросов
- Тест на тему Назначение и формула производственной функции Кобба-Дугласа 5 вопросов
- Тест на тему 9 школ экономической теории и их характерные черты 5 вопросов
- Тест на тему Основные виды алгоритмических конструкций 5 вопросов
- Тест на тему Суть метода Монте Карло и его применение 5 вопросов
- Тест на тему Суть и истоки теории неокейнсианства 5 вопросов
- Тест на тему Суть и инструменты инфляционной политики 5 вопросов
- Тест на тему Что такое государственный долг, и о чем говорит его размер? 5 вопросов
- Тест на тему Условия и виды равновесия на рынке 5 вопросов
- Тест на тему Сущность и применение кривой Филлипса 5 вопросов
- Тест на тему Суть и расчет внутреннего национального продукта (ВНП) 5 вопросов
- Тест на тему Циклы или длинные волны Кондратьева: суть теории 5 вопросов
- Тест на тему Депонирование - что это такое и зачем используется? 5 вопросов
- Тест на тему Причины и формы международного движения капиталов 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и признаки монополистической конкуренции 5 вопросов
- Тест на тему Понятие и значение эластичности спроса 5 вопросов
- Тест на тему Что такое кривые безразличия: суть, построение, значение 5 вопросов
- Тест на тему Модели кругооборота доходов и расходов 5 вопросов
- Тест на тему Деноминация рубля в России в 2022 году - мнения и прогнозы 5 вопросов
- Тест на тему Будет ли дефолт в России в 2022 году - прогнозы экспертов 5 вопросов
- Тест на тему Что такое система СВИФТ, и чем грозит России ее блокировка? 5 вопросов
- Тест на тему Кир Булычев - биография и лучшие произведения 5 вопросов
- Тест на тему Василь Быков - творческий путь и биография писателя 5 вопросов
- Тест на тему Братья Стругацкие: биография, лучшие романы и цензура 5 вопросов
- Тест на тему Эдуард Успенский - биография и лучшие книги писателя 5 вопросов
- Тест на тему Суждения как форма мышления: виды и составные элементы 5 вопросов
- Тест на тему Понятие как одна из форм мышления: определение, способы формирования 5 вопросов
- Тест на тему Формулы и нюансы вычислений в электронных таблицах 4к 5 вопросов
- Тест на тему Суть моделирования как метода познания 5 вопросов
- Тест на тему Перечень базовых элементов алгебры логики 5 вопросов
- Тест на тему Как устроены системы компьютерного распознавания и перевода текста 5 вопросов
- Тест на тему Как использовать функцию Print в Python 5 вопросов
- Тест на тему SWIFT: особенности языка программирования с открытым кодом 5 вопросов