Действительные числа в математике - виды, свойства и примеры

Общие сведения

Результатом математических операций (деления, произведения, сложения, вычитания, возведением в степень и т. д. ) могут быть действительные числа. Примерами являются любые значения. Действительное число — совокупность рациональных и иррациональных величин. Международное обозначение — литера «R».

Следует отметить, что рациональные величины представляются в виде десятичной (конечной) или бесконечной периодической десятичной дроби. В первом случае число имеет определенное количество знаков после запятой, результат которого получен при делении двух значений. Например, 8/5 = 1,6. Последняя величина ограничена десятыми долями.

Бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой вещественную величину с бесконечным количеством знаков после запятой. Например, при делении 5 на 3 получается результат, равный 1,(6). Запись читается таким образом: одна целая и 6 в периоде.

В случае иррациональных чисел — бесконечные непериодические дроби, т. е. после запятой идет бесконечная запись, которая не повторяется вообще. Например, 1,213456789523648 и так до бесконечности.

На основании этой информации можно получить другое определение: действительные — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Кроме того, нуль принадлежит также множеству R. Он является единственным значением, которое не является положительным и отрицательным. В некоторых источниках можно также встретить другое название действительных чисел — вещественные.

Координатная прямая

Для представления положения любого R применяется координатная прямая, являющаяся их геометрическим смыслом. Величины на ней отмечаются в порядке возрастания. Перед построением следует начертить произвольную прямую, а затем отметить на ней точку 0 (нулевую отметку). После этого можно приступить к откладыванию числовых значений. Слева от нулевой координаты расположены отрицательные, а справа — положительные числа.

Из курса геометрии 5 класса можно вспомнить следующее определение: прямой называется произвольное геометрическое место точек, расположенных в один ряд до бесконечности. Иными словами, прямая — линия, не имеющая начала и конца, т. е. она не ограничена в пространстве.

Координатную прямую используют при решении дифференциальных уравнений, неравенств, поиска области значения функции и т. д.

Представление действительных чисел

Для представления действительных чисел следует разобрать значения, которые к ним относятся. Эта классификация рекомендована математиками. Она имеет такой вид:

1. Натуральные.
2. Целые (недробные).
3. Нецелые или дробные (десятичные и обыкновенные).
4. Смешанные дроби.
5. Рациональные.
6. Иррациональные.

К первой группе относятся числа, которые изобрели древние греки. Их еще называют природными. Они применяются при сложных вычислениях на рынках, магазинах и других разнообразных расчетах. Во вторую категорию входят все целые (положительные и отрицательные) и 0. Дробные состоят из десятичных и обыкновенных дробей. К первым относятся значения, состоящие из целой и дробной частей. Последние отделяются посредством запятой. Например, 0,75. Обыкновенная — дробь, компонентами которой являются числитель (вверху) и знаменатель (внизу). Например, 2/3.

Смешанные дроби записываются в виде целого числа и обыкновенной дроби. Например, 5 2/3. Эта форма записи применяется для приведения результата вычислений к нормальному виду. Например, при расчете некоторой величины получилась неправильная дробь 8/3. Ее можно записать в виде смешанной: 2 2/3. Чтобы опять привести ее к исходному значению, необходимо:

1. Умножить знаменатель на целую часть: 3 * 2 = 6.
2. Прибавить к значению, полученному в первом пункте, числитель: 6 + 2 = 8.
3. Записать результат: 8/3.

Компонентами рациональных чисел являются целые, натуральные, дробные и смешанные дроби. К иррациональным принадлежат любые значения, не входящие в состав рациональных. Следует отметить, что R представляются в виде степеней, радикалов (корней), тригонометрических функций и логарифмов.

Таким образом, все числа, используемые при расчетах и решения задач в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном, называются действительными.