Иррациональные числа - определение, свойства и примеры

История открытия

Одни учёные считают, что иррациональные числа были открыты Пифагором. Другие полагают, что существование таких величин было выявлено пифагорейцами в V веке до нашей эры. Третьи выдвигают версию, что открытие принадлежит древним учёным Азии.

Несмотря на то что возникновение нового типа чисел связывают с именем Пифагора, сам великий учёный этих величин не признавал. Математик основывал свои труды на рациональности значений, а потому их иные виды были неприменимы к его теориям. Из-за огромного авторитета учёного иррациональные значения стали использоваться в науке только после его смерти.

Аристотель доказал иррациональность квадратного корня из 2. Теодор из Кирены привёл подобные доказательства в отношении корня из 3, 5 и так далее. Есть версия, что даже термины для соответствующей теории ввёл этот математик. Его ученик Теэтет на основании указанных данных создал общее учение об иррациональности. Полная теория иррациональных количественных значений Эвклид изложил в пятой книге «Начал».

Понятие и характеристика

Огромным прорывом в математической науке стали числа, которые называются иррациональными. Какие-либо ограничения, связанные с целыми величинами или обыкновенными дробями, были сняты. Люди получили возможность открывать и даже изобретать новые количественные значения.

Иррациональным считается вещественное число, не являющееся рациональным. Оно не может быть представлено в виде арифметической дроби n/m, где числитель и знаменатель являются целыми величинами, а n не равно 0. Также подобные значения невозможно точно выразить целой величиной. Это значит, что иррациональные числа всегда выглядят, как бесконечные непериодические десятичные дроби. Для их обозначения применяют радикалы или специальные буквы, например, е, π. Множество чисел обозначается заглавной буквой в полужирном начертании без заливки.

В геометрии оно представляется в качестве отрезка, длина которого несоизмерима с единичной. Об этой несоизмеримости упоминали и древние математики. Они установили, что диагональ квадрата не имеет общей меры с его стороной, что равносильно иррациональности корня из 2.

Не всякая величина из множества значений, не относящихся к рациональным, так известна, как число π. В школьной программе его часто определяют, как 3,14, но истинный показатель π значительно ближе к 3. Следует отметить, что даже известная длинная десятичная дробь является лишь приближённым вариантом, поскольку указанное число нельзя точно установить. Дробь, которую используют для этого, бесконечна, а цифры в ней распределяются без какой-либо закономерности.

Самыми известными примерами таких иррациональных чисел являются:

• γ — постоянная Эйлера — Маскерони;
• ζ(3) — постоянная Апери;
• φ — золотое сечение;
• α, δ — постоянные Фейгенбаума;
• e — число;
• π — число Пи;
• ψ - сверхзолотое сечение.

Математиками составлены специальные таблицы величин, не являющихся рациональными. Но так как множество бесконечно, определить тип значения по данным таблицам довольно сложно.

Зачастую понять, что число иррационально, можно по его соответствию одному из перечисленных признаков:

• квадратный корень для любого натурального n, которое не является точным квадратом;
• e в степени x для любого рационального x, не равного 0;
• ln x для любого положительного рационального x, который не равен 1;
• π и π в степени n для любого целого n, не равного 0.

Но в ряде случаев установить иррациональность значения возможно только посредством доказательства. К примеру, школьникам часто дают задание доказать, что число log3 4 не относится к рациональным.

Отличительные качества

Значения, которые нельзя выразить дробью, существенно отличаются от других чисел. К их уникальным свойствам относятся следующие:

• Запись бесконечными десятичными дробями, не имеющими групп повторяющихся цифр.
• Результат сложения двух положительных иррациональных величин может быть рациональным, но сумма рационального и иррационального чисел будет иррациональной.
• Определение дедекиндовых сечений в множестве рациональных величин, не имеющих в нижнем классе наибольшего значения, а в верхнем — наименьшего.
• Любое вещественное или комплексное число, которое не является алгебраическим.
• Каждое значение относится или к алгебраическим, или к трансцендентным.
• Множество этих величин относится ко второй категории. Оно бесконечно и несчётно, расположено на прямой плотно. Между каждой парой составляющих его чисел всегда присутствует иррациональное значение.

Виды преобразования выражений

Иррациональные выражения содержат операцию извлечения корня. Это особые записи, состоящие из радикалов и знаков алгебраических действий.

Во время преобразования таких выражений нельзя допускать сужения области допустимых значений. С ними разрешается проводить любые из основных тождественных преобразований:

• раскрытие скобок;
• группировка подобных множителей и слагаемых;
• перестановка множителей и слагаемых;
• замена разности суммой.

В основе подобного упрощения выражений лежат действия, общие для всех количественных значений. Поэтому в процессе преобразования этих записей необходимо сохранять установленный порядок выполнения действий.

Замена исходной записи

Подкоренное выражение можно заменить тождественно равным, то есть математической записью, значение которой будет равно исходному. Следует учитывать, что равенство должно соблюдаться при любых допустимых значениях переменных, которые входят в состав обоих выражений.

Это утверждение основывается на единственности корня из числа. Иными словами, нет значения, которое, отличаясь от исходной величины, сохраняло бы равенство с нею.

Использование свойств корней

Для упрощения сложных выражений часто применяются свойства корней, к примеру, перемножение их степеней. Делать это необходимо в соответствии со специальными формулами.

Особое внимание при работе следует обращать на отрицательные числа и выражения с переменными. В ряде случаев для применения формул такие значения сначала придётся привести к тождественно равным, которые подойдут для дальнейшего использования свойств корней.

Внесение множителя под знак корня — это преобразование произведения, в котором лишь один из множителей находится под знаком радикала со степенью, выраженной натуральным числом. После замены выражения под корнем будут находиться все множители, составляющие произведение, но оно останется равным исходному.

Обратным изменением является вынесение множителя из-под радикала. Его используют в случаях, когда степень корня равна степени множителя под радикалом. В таких ситуациях указанный множитель можно извлечь и тем самым упростить выражение.

Изменение дробей

Иррациональные математические записи могут содержать дроби с радикалами в делимом или делителе. С ними разрешается проводить любые действия, относящиеся к основным преобразованиям дробных чисел:

• Отдельное вычисление выражений, находящихся в числителе и знаменателе.
• Изменение знака перед дробью, которое влечёт за собой перемену знаков делимого и делителя.
• Проведение сокращения дроби, если это является возможным и целесообразным. Зачастую перед тем как сократить значение, необходимо вычислить множители, составляющие числитель и знаменатель. Иногда перед сокращением можно заменить переменную, чтобы исходная иррациональная величина стала более удобной рациональной.
• Приведение к новому знаменателю посредством умножения делимого и делителя на один дополнительный множитель. При этом действии следует учитывать, что выполнение сокращения или приведения к новому знаменателю возможно только на область допустимого значения переменных для исходного числа.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Освобождение от иррациональности в знаменателе представляет собой преобразование дроби путём её замены на тождественно равную с делителем, не содержащим корней и степеней. Для этого необходимо последовательно провести два действия:

• Умножение числителя и знаменателя на значение, которое отличается от 0.
• Преобразование выражения, ставшего новым делителем.

Переход к степеням

Переход от радикалов к степеням осуществляется на основе равенства, давшего определение степени, которая имеет рациональный показатель. При этом используется следующая формула:

Если же величина под радикалом отрицательная или там находится выражение с переменными, то перед использованием формулы подкоренное значение необходимо преобразовать. Для этого следует применять свойства степеней.

Математические действия

Иррациональные выражения записывают друг за другом с сохранением знаков и лишь после этого складывают или вычитают. Иногда их преобразуют в подобные, то есть имеющие одинаковые подкоренные значения, а затем проводят арифметические действия.

Чтобы найти произведение выражений с одинаковыми радикалами, умножают значения, находящиеся под знаком корня. Полученный результат вносится под корень изначальных выражений.

При делении степени корней делимого и делителя также должны быть равны. Если это условие соблюдено, то первое выражение делится на второе, после чего итог действия записывается под исходный знак радикала.

Правила сравнения

Иногда для решения математических задач необходимо провести сравнение иррациональных значений. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

• Два числа с иррациональностью будут считаться равными при происхождении от измерения одной единицей двух равных величин. Эти величины обязательно должны содержать одинаковое количество единиц, десятых, сотых, тысячных долей и так далее. Таким образом, равные иррациональные значения должны выражаться в одинаковых цифрах.
• Если сравнивают два неравных значения, то большим будет считаться число, полученное в результате измерения большей величины. Указанная величина всегда содержит больше целых, или десятых, или сотых частей и так далее.

Для возведения иррациональной величины в степень необходимо возвести в неё значение под радикалом. Если величина корня равна степени, то в итоге число или выражение выносится из-под корня неизменным, поскольку возникают взаимно сокращающиеся действия.

Если иррациональное выражение находится под корнем, то для его извлечения показатели радикалов умножают. Этот метод позволяет упрощать извлечение корней четвёртой, шестой, восьмой, девятой степени.

Иррациональные числа можно узнать по специальным буквам, используемым для их обозначения, или по написанию в виде десятичных дробей, не имеющих окончания. Выражения этого типа легко отличить по наличию радикала. С подобными значениями проводят те же действия, что и с другими вещественными числами. Их можно умножить, сложить, сравнить и так далее.