Интегрирование по частям - методы и формулы вычислений

Общая информация

В математике существуют функции, которые не поддаются интегрированию простыми методами. Некоторые алгоритмы также неприменимы в этом случае. Специалисты рекомендуют освоить нахождение первообразной на простых примерах. Этот принцип называется переходом от простого к сложному. Невозможно, не зная основ, переходить к решению сложных задач.

На начальных этапах обучения следует руководствоваться некоторыми правилами и алгоритмами. Их нужно освоить, и безошибочно решать простые задачи. Кроме того, следует разобраться в основном предназначении интеграла, и понять его геометрический смысл. Очень часто новички пытаются найти первообразную сложной функции. Некоторые пользуются информацией из интернета, которая бывает недостоверной. Но у них ничего не получается. Объяснение такому поражению — неверное обучение и отсутствие опыта.

Использование интеграла

Во многих дисциплинах применяется интеграл. Он обозначается литерой или символом «∫", и считается единицей дифференциального исчисления. Выражение (функция), которое идет после этого знака, называется подынтегральным. Его ограничением является знак дифференциала, т. е. «dx» или «dy». Под дифференциалом стоит переменная, по которой происходит поиск первообразной. Интегралом функции вида z = y (x) называется функция вида Y (x) с учетом константы «С» (Y (x) + C). Необходимо отметить, что Y (x) + C является первообразной функции y (x), которая была получена при дифференцировании.

Интегрирование очень часто применяется для нахождения площадей разнообразных фигур, когда невозможно воспользоваться какой-либо формулой. Например, площадь криволинейной трапеции следует искать толь при помощи операции интегрирования. Кроме того, при помощи данного метода выполняется нахождение объемов тел, пройденного пути при равноускоренном движении и т. д.

Следует отметить, что интегралы бывают двух типов: неопределенные и определенные. Вторые отличаются от первых конечным результатом, который является не первообразной, а некоторым численным значением. Если интеграл определенный, то необходимо воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница, подставив в нее некоторые значения или границы. Она имеет такой вид с ограничениями a и b: F (y) = F (b) — F (a). Значение определенного интеграла соответствует разности первообразных, в которые подставляются верхняя и нижняя границы.

Интегралы бывают также собственными и несобственными. К первому типу относятся определенные интегралы, ограничениями которого являются область интегрирования и его подынтегральное выражение. Несобственный — интеграл определенного типа, который ограничен подынтегральным выражением или областью его интегрирования.

Геометрический смысл интеграла — площадь трапеции криволинейного типа. Стороной или сторонами фигуры являются кривые прямые. В этом случае найти площадь не удастся, поскольку формулы для этого не предусмотрены. Криволинейной называется плоская фигура, которая ограничена системой координат, неотрицательной функцией, а также прямыми. Значения ограничений нужно подставлять в формулу Ньютона — Лейбница. Фигура состоит из множества частей прямоугольной формы. При интегрировании их площади складываются, образуя общую площадь S.

Методика нахождения первообразной

Определение первообразной зависит от самой функции. Если она является элементарной, то для этого используется только простейший алгоритм, состоящий из двух шагов. Первым этапом является упрощение выражения, а вторым — определение исходной функции по таблице интегралов.

Некоторые выражения имеют свойство инвариантности, т. е. остаются неизменными при дифференцировании и интегрировании (экспонента в степени, которой является аргумент — e^x). В случае, когда подынтегральное выражение является сложным, то нужно применять специальный метод интегрирования по частям. Методика позволяет находить решения с высокой долей вероятности. Однако бывают функции очень сложные. При этом нужно применять метод замены, а затем правило интегрирования по частям.

Теорема имеет такую формулировку: первообразная сложной функции F (z, y) соответствует произведению ее составных элементов без интеграла, последнего элемента по первому. Следствие из нее — формула, позволяющая искать производную сложной функции. Пусть даны две непрерывные функции z = z (x) и y = y (x), имеющие производные. Соотношение необходимо рассматривать следующим образом: d (zy) = zdy + ydz. Нужно найти первообразные двух частей: ∫d (zy) = ∫(zdy + ydz). Произведение двух функций равно zy = ∫zdy + ∫ydz. Окончательная формула интегрирования по частям имеет такой вид: ∫zdy = zy — ∫ydz.

Формула применяется, когда невозможно найти первообразную какой-либо функции. Примером для интегрирования по частям является y = x * e^(2x). Однако не во всех случаях можно разобраться, когда стоит применять формулу. Ведь при неверном пути решения задания можно потерять много времени. Специалисты классифицировали функции, которые необходимо интегрировать по частям:

1. Любой логарифм, умноженный на переменную или многочлен с неизвестным [z = (x ² — 2x) * ln (x — 2)].
2. Произведение переменной (многочлена с неизвестным) на функцию, имеющую экспоненциальный или показательный вид [f = (y — 2)^(3) — e^y].
3. Частное (деление) или произведение аргумента на тригонометрическое выражение [y = x * cos (2x ² )].
4. Дробь, в которой числитель и знаменатель состоит из переменных [v = (x ² — 3x + 7) / x ⁴ — 5x ³ + 12x + 7)].

Необходимо также отметить, что в первом и во втором видах сложных функций, необязательно должно быть произведение. Оно может рассматриваться в виде дроби, умноженной на выражение.

Например, уравнение с натуральным логарифмом y = ln (x) / (x ² — 4) можно записать в виде произведения (1 / (x ² — 4)) * ln (x). Для нахождения первообразной умножения длинного натурального логарифма на переменную также нужно применять этот метод.

В некоторых случаях необходимо осуществлять замену выражения, которое находится под знаком интеграла, а затем, в зависимости от самой замены, находить значение по таблице первообразных или использоваться способ интегрирования по частям. Очень важно правильно определить алгоритм решения, поскольку он избавит от циклического разложения на множители и прочих операций.

Рекомендации специалистов

Для оптимизации нахождения первообразной или ее вычисления необходимо воспользоваться некоторыми советами математиков. Только правильное решение поможет успешно перейти от простых задач к сложным. К ним можно отнести следующие:

1. Нет необходимости заучивать таблицу интегралов.
2. Разобраться в основных правилах интегрирования на примере элементарных функций.
3. Использовать специализированное программное обеспечение только при проверке решения.
4. Действовать по алгоритму, который предназначен для решения конкретного типа задач.
5. Больше практики.

Следует отметить, что для нахождения первообразной применяется ручной и автоматизированный способы. Первый из них — решение задач самостоятельно, а второй — использование программного обеспечения. Специалисты рекомендуют универсальное онлайн web-приложение. Оно называется INTEGRAL CALCULATOR. Существует и офлайн-версия, которую поддерживают операционные системы Android, Windows, Mac и Linux. Кроме того, есть обыкновенный онлайн-калькулятор интегралов. Его следует использовать, когда нужно вычислять или находить первообразные.

Основное отличие онлайн от офлайн заключается в том, что в первом случае должно быть соединение с интернетом, а во втором — приложение устанавливается на жесткий диск. Оно позволяет находить первообразные, производные и т. д. При ручном методе решения следует руководствоваться подробным универсальным алгоритмом нахождения первообразной сложной функции по частям для неопределенного интеграла:

1. Вынести константу за пределы интеграла.
2. Выполнить математические преобразования, которые позволяют упростить подынтегральное выражение.
3. Обозначить функции для подготовки к применению формулы интегрирования по частям.
4. Выполнить интегрирование по формуле.
5. Записать результат.
6. Проверить с помощью приложения.
7. При неверном решении проверить работоспособность программы, используя табличные значения.
8. Найти ошибку, и вернуться в тот пункт алгоритма, в котором она допущена. Иногда требуется выполнить решение с самого начала.

На третьем шаге алгоритма необходимо правильно определить параметры, поскольку это может существенно замедлить решение. Следует выбрать выражение, которое будет легко дифференцироваться и интегрироваться по частям. Например, в функции v = (x ² ) * sin (2x) части следует выбирать таким образом: z = x ² и y = sin (2x).

К разбиению на части следует подходить с логической стороны. Нужно выписать формулу ∫zdy = zy — ∫ydz. В ней проще всего найти производную функции x ², а не sin (2x). Для определенного интеграла алгоритм похож на предыдущий, но имеет некоторые отличия:

1. Выполнить первые четыре пункта.
2. Вычислить значения по формуле Ньютона — Лейбница.
3. Осуществить шаги с 5 по 8-й пункт предыдущего алгоритма.

Специалисты рекомендуют выписать эти алгоритмы на отдельный лист, который должен быть постоянно в поле зрения. При регулярных тренировках надобность в «шпаргалке» отпадает. Если интеграл является собственным, то необходимо внимательно следить за решением, поскольку ограничением является также его подынтегральное выражение.

Примером является определенный интеграл с границами от -1 до 5 вида ∫(1/x)dy. В этом случае переменная не должна быть равна 0, поскольку превращает подынтегральную функцию в пустое множество. Для этого следует рассматривать сумму двух интегралов, а x = 0 следует исключить, взяв предел. Первый интеграл имеет такие границы: нижняя — (-1), а верхняя — x стремится к 0 (х->0). Для второго выражения нижней границей является x->0, а верхней — 5.

Примеры решения

Необходимо вычислить интеграл функции v = x * ln (x). Если границы не обозначены, то интеграл является неопределенным. Для этого следует воспользоваться универсальным алгоритмом нахождения первообразной по частям:

1. Преобразования не нужно выполнять. Подынтегральное выражение состоит из произведения функций, которые являются табличными.
2. Обозначения: z = ln (x), y = x, dz = [ln (x)]' = (1/x)dx, dy = [x]' = dx.
3. Подставить в формулу: ∫zdy = zy — ∫ydz = ln (x) * x — ∫(x * (1/x))dx = ln (x) * x — ∫dx = ln (x) * x — x + С= x (ln (x) — 1) + С.
4. Если воспользоваться онлайн-калькулятором интегралов, то видно, что решения совпадают. Следовательно, задача решена правильно.

Нужно проинтегрировать функцию u = (x — 9) * e^(3x). Следует обратить внимание на выражение e^(3x), поскольку оно является сложным. Для решения рекомендуется применить также универсальный алгоритм:

1. Необходимость в упрощении выражения отсутствует.
2. Ввести обозначения: z = x — 9, dy = e^(3x), dz = dx и y = ∫(e^(3x))dx = (1/3) * e^(3x).
3. Интегрирование: ∫zdy = zy — ∫ydz = (1/3) * (x — 9) * e^(3x) — (1/3) * ∫(e^(3x))dx =(1/3) * (x — 9) * e^(3x) — (1/3) * (1/3) * e^(3x) + С = [(e^(3x) * (3x — 28)) / 9] + С.

Если проверить результат с помощью INTEGRAL CALCULATOR, то решения совпадут. Очень важно анализировать функции, и следить за знаками. Например, необходимо также учитывать, что e^(-x) является также сложной. Ее первообразная соответствует -e^(-x).

Таким образом, интегрирование по частям следует применять в том случае, когда обыкновенные методы поиска первообразной не дают результата. Метод используется для понижения сложности подынтегрального выражения. Его можно применять неограниченное количество раз для одной функции.