Первообразная функции - свойства, правила и примеры нахождения

Алгоритмизация решения задач применяется во всех областях науки, поскольку позволяет не только избежать ошибок, но и написать отдельные веб-приложения для решения задач определенного вида. Этот подход также необходим при написании курсовых и дипломных работ, в которых нужно разрабатывать схемы в виде программных продуктов. Реализуются они на различных языках программирования. Полный алгоритм или инструкция нахождения первообразной для неопределенного интеграла имеет такой вид:

• Подынтегральное выражение нужно упростить. Вынесение константы за знак интеграла также входит в этот пункт.
• Найти первообразную по таблице, изображенной на рисунке 1.
• Записать ответ.
• Осуществить проверку при помощи Integral Calculator или другого сервиса. Если решения совпадают, то задача решена верно. В противном случае следует перейти в первый пункт, поскольку от правильности выполнения операции упрощения тождества зависит конечный результат.

Когда следует найти первообразную с учетом значений границ, то следует воспользоваться алгоритмом:

1. Выполнить первый и второй пункты алгоритма нахождения первообразной для неопределенного интеграла.
2. Вычислить значение при помощи формулы Ньютона-Лейбница, внимательно проверив соответствующие границы.
3. Осуществить подстановку значений.
4. Произвести необходимые вычисления.
5. Если получено отрицательное значение при нахождении площади, то следует пересмотреть график функции и ограничивающие прямые или другие графики-ограничители. Далее следует выполнить повторное нахождение решения, то есть вернуться к первому пункту.
6. Результат — положительное число. Необходимо перейти к 7 пункту.
7. Проверка при помощи онлайн-сервиса.
8. Ответ не совпадает: осуществить поиск ошибки, переходя в предыдущий пункт.
9. Результаты совпадают: записать ответ.

Когда представлена сложная функция (не является табличной), тогда можно также применять любой из алгоритмов. Однако следует свести ее к табличной, применив формулу интегрирования по частям.

Примеры решения

Для практического применения следует разобрать такое выражение: (p - 1)(p+1) - (p+2)^2 + p^3. Необходимо найти его первообразную. Выполнять это задание необходимо по первому алгоритму:

1. Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых: (p - 1)(p+1) - (p+2)^2 + p^3 = р^2 - 1 - p^2 - 4p - 4 + p^3 = p^3 - 4p - 1.
2. Результат состоит из суммы разности элементарных первообразных: ∫(p^3 - 4p - 1) dx = (p^4) / 4 - (4 * p^2) / 2 - p + C (степенные функции).
3. Проверка: результаты совпадают.

Далее нужно решить пример с использованием интегрирования по частям. Например, дана некоторая подынтегральная функция p * ln(p). Она является сложной, поскольку ее нет в таблице. Следует также отметить, что нужно учитывать характер ln(p). Неизвестная величина р должна быть под знаком модуля, то есть p = |p|. Если р < 0, то функция является неопределенностью. Алгоритм интегрирования имеет такой вид:

1. Обозначения: m = ln(p), dm = 1 / dp, dn = dp и n = p.
2. Результат операции интегрирования: ∫p * ln(p) dp = p * ln(p) - ∫dp = p * ln(p) - p + C, где p >= 0.

Проверив результат при расчетах и на калькуляторе интегралов, можно сделать вывод, что задача решена правильно. Кроме того, следует проверять подынтегральное выражение. Например, если дана функция с корнем четной степени (квадрат, четвертая и так далее), то необходимо указывать, что функция должна быть больше или равна 0.