Равнобедренный треугольник - свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник относится к особому виду многоугольника. Равные его стороны называют боковыми, а отличную от них — основанием. Любую фигуру можно охарактеризовать с помощью свойств.

Признаки позволяют определить, является ли фигура равнобедренной. Из сформулированной второй теоремы следует: каждая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, будет равноудалённой от концов боковых отрезков. Из основных свойств равнобедренного треугольника можно выделить:

1. В равнобедренной фигуре лежащие при основании углы равны. Пусть имеется треугольник AB, в котором сторона AB=BC. Нужно доказать, что угол A=C. Можно построить биссектрису BD. Из первого признака равенства: ABD = CBD. Из этого следует, что соответствующие элементы в треугольниках одинаковые, то есть, угол A равен вершине C. Теорема доказана.
2. Биссектриса в равнобедренном треугольнике одновременно является медианой и высотой. Пусть есть фигура ABC, в которой AB = BC, а BD — биссектриса. Нужно доказать, что BD будет также высотой и медианой. Так как по условию дано, что 2 стороны равны, при этом BD - общая грань, угол ABD = CBD. Значит: ABD = CBD. Отсюда следует, что AD = DC, а точка D — середина отрезка AC. Следовательно BD — медиана.

А также из равенства треугольников следует, что ADB = CDB, а вершина ADC — развёрнутая. Её величина равна 180⁰. Значения углов, на которые она разбивается лучом DB, будет составлять 90⁰. Таким образом, ADB = CDB = 90⁰. Отрезок D перпендикулярен AC.

Из последнего свойства следует, что медиана является биссектрисой и высотой. Находящиеся при основании углы в равнобедренном треугольнике можно вычислить по формуле: ACB = BCA = 90⁰ - CAB/2, где CAB — вершина, расположенная напротив основания.

Из указанных свойств следует, что точка пересечения любых замечательных линий одновременно является ортоцентром, инцентром и центром тяжести фигуры. Это важное замечание, позволяющее вычислять параметры с помощью окружности, описываемой вокруг треугольника.

Формулы и пример задания

Правильный треугольник, где все 3 стороны равны, является частным случаем равнобедренного, поэтому все формулы для поиска параметров будут одинаковыми. Самым часто используемым выражением, применяемым на уроках, является формула для поиска площади: S = (b * h)/2, где: b – основание, h – высота. Существует и более сложное равенство, позволяющее определить S, зная размеры двух прилежащих сторон: S = (b * √(a2 – (b2 / 4)) / 2.

Кроме поиска площади фигуры, в треугольнике можно вычислить:

1. Периметр. Сумма всех сторон: P = a + b + c = 2ab + c.
2. Высоту (медиану, биссектрису), проведённую к основанию: h ² = b ² − a ² / 4.
3. Соотношения между боковыми сторонами и основанием: b = 2 a*cos ( α ) , b = 2 a*sin ( β / 2).
4. Стороны. Они могут быть найдены с помощью формул, выражающих их размер через другие грани и углы, значения которых известны: a = b/(2 * cos ( a )); b = a * √ (2 * (1 – cos ( b )).
5. Радиус вписанной окружности. Его можно определить, зная основание и высоту: r = ( b * h )/b+* √ (4h + b ² ); размеры боковых сторон: r = (b/2)*tg (a/2); боковые стороны и угол между ними: r = a*cos (a)*tg (a/2).
6. Радиус описанного круга. Его можно найти, зная длину боковой стороны и основания по формуле: R = b/2√((2a-b)/(2a+b)).

Формулы, признаки и свойства равнобедренного треугольника важны для геометрии. Используя их, можно решать сложные задачи, связанные с многогранниками различных видов.

Пусть имеется равнобедренный треугольник ABC, в котором построена медиана BM. Известно, что периметр всего многоугольника 32, а фигуры ABM - 24. Нужно вычислить длину высоты. Следует понимать, что в равнобедренной фигуре медиана является высотой и биссектрисой. Сторону AB можно принять за X. Соответственно, противоположная сторона BC будет тоже равняться X. Из свойств треугольника AC разделяется в точке M на 2 одинаковых отрезка. Пусть каждый из них будет равняться Y.

По условию периметр ABC = 32, значит: 2x + 2 y = 32. Обе части равенства можно разделить на 2. В результате получится, что сумма AB и AM составляет 16. Так как периметр треугольника ABM=24, то BM = P – 16 = 24 – 16 = 8. Задача решена: длина высоты, построенная в ABC, будет равняться 8.