Равнобедренный треугольник - свойства, признаки и формулы

Общие сведения

Замкнутую фигуру, состоящую из трёх пересекающихся прямых и такого же количества внутренних углов, называют треугольником. Отрезки, которые соединяют точки, образующие фигуру, называют сторонами. Для обозначения используют малые латинские буквы. Точка, в которой соединяется 2 стороны, называется вершиной. Её принято подписывать заглавными буквами, например, A, B, C.

Существует несколько видов фигур по типу углов и по длинам сторон:

• разносторонние — все отрезки, образующие многоугольник, имеют различную длину;
• равнобедренные — 2 стороны одинаковы;
• равносторонние — все 3 стороны равны;
• остроугольными — 3 угла многоугольника являются острыми;
• прямоугольными — 2 стороны образуют угол в 90 градусов;
• тупоугольными — размер одного угла превышает 90 градусов.

Отличительная черта фигуры — сумма углов равняется 180 градусов. Это один из самых важных признаков, позволяющих отнести многоугольник к треугольникам. Причём каждая такая фигура имеет замечательные линии и точки.

Прежде всего это медиана — отрезок, построенный из вершины к центру противолежащей стороны, разделяющий фигуру на 2 равных треугольника. Биссектрисой называют линию, построенную к противоположной стороне и разделяющую угол на 2 равные части. Также можно опустить перпендикуляр на любую сторону из вершины. Называют такую линию высотой.

В треугольнике можно провести по 3 любых таких линии. Причём точка пересечения отрезков имеет своё название: 3 высоты встречаются в ортоцентре, а биссектрисы — инцентре. Если в треугольник вписать окружность, её центр совпадёт с местом пересечения медиан. Эта точка является центроидом, центром массы фигуры. Кроме этого, можно описать круг, в центре которого будут пересекаться серединные перпендикуляры.

Признаки равнобедренной фигуры

Существует 4 явления, с помощью которых можно определить принадлежность тела к треугольникам. Все они сгруппированы в 3 теоремы:

1. Если в треугольнике построить медиану, при этом она будет совпадать с высотой, он является равнобедренным. Аналогично можно утверждать о принадлежности фигуры к равнобедренному типу, когда биссектриса совпадает с высотой.
2. Если 2 угла равны, треугольник равнобедренный.
3. Если медиана и биссектриса совпадают, причём построены из одного угла, фигура называется равнобедренной.

Для доказательства первой теоремы нужно использовать признаки равенства треугольников. Если изобразить на чертеже фигуру ABC и из вершины B построить высоту, согласно заданным данным, она будет медианой или биссектрисой. В первом случае противоположная сторона будет разделена на 2 равные части AD и DC. Значит, треугольники ABD и DBC одинаковые. Отсюда следует, что у фигур есть равные стороны: AB = BC., то есть боковые грани имеют одинаковую длину, что и требуется по определению.

В случае с биссектрисой ход рассуждений будет такой же. Отличие заключается лишь в том, что используется второй признак равенства: если грань и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника совпадают со стороной и двумя прилежащими к ней углам другого, они равны.

Доказательство второй теоремы следует построить на нахождении равных сторон. Для этого нужно отложить серединный перпендикуляр a и доказать, что линия будет проходить через вершину B. Если она не будет пересекать угол B, она касается AB или BC. Пусть точкой пересечения перпендикуляра будет M. Тогда по первому признаку AKM = CKM, значит, углы MCK и MAK также равны. По условию теоремы MCK = MAB → MAK = MAB, что противоречит аксиоме измерения углов. Отсюда можно утверждать, что серединный перпендикуляр не пересекает BC или AC. Значит, прямая проходит через вершину B.

Третью теорему легко можно доказать, отложив на луче BM равный ему по длине отрезок. Затем, соединив A и D, построить треугольник ADM. Углы ABM и ADM одинаковые. Отсюда AB = AD → AB = BC, что и требовалось доказать.

Свойства треугольника

Равнобедренный треугольник относится к особому виду многоугольника. Равные его стороны называют боковыми, а отличную от них — основанием. Любую фигуру можно охарактеризовать с помощью свойств.

Признаки позволяют определить, является ли фигура равнобедренной. Из сформулированной второй теоремы следует: каждая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, будет равноудалённой от концов боковых отрезков. Из основных свойств равнобедренного треугольника можно выделить:

1. В равнобедренной фигуре лежащие при основании углы равны. Пусть имеется треугольник AB, в котором сторона AB=BC. Нужно доказать, что угол A=C. Можно построить биссектрису BD. Из первого признака равенства: ABD = CBD. Из этого следует, что соответствующие элементы в треугольниках одинаковые, то есть, угол A равен вершине C. Теорема доказана.
2. Биссектриса в равнобедренном треугольнике одновременно является медианой и высотой. Пусть есть фигура ABC, в которой AB = BC, а BD — биссектриса. Нужно доказать, что BD будет также высотой и медианой. Так как по условию дано, что 2 стороны равны, при этом BD - общая грань, угол ABD = CBD. Значит: ABD = CBD. Отсюда следует, что AD = DC, а точка D — середина отрезка AC. Следовательно BD — медиана.

А также из равенства треугольников следует, что ADB = CDB, а вершина ADC — развёрнутая. Её величина равна 180⁰. Значения углов, на которые она разбивается лучом DB, будет составлять 90⁰. Таким образом, ADB = CDB = 90⁰. Отрезок D перпендикулярен AC.

Из последнего свойства следует, что медиана является биссектрисой и высотой. Находящиеся при основании углы в равнобедренном треугольнике можно вычислить по формуле: ACB = BCA = 90⁰ - CAB/2, где CAB — вершина, расположенная напротив основания.

Из указанных свойств следует, что точка пересечения любых замечательных линий одновременно является ортоцентром, инцентром и центром тяжести фигуры. Это важное замечание, позволяющее вычислять параметры с помощью окружности, описываемой вокруг треугольника.

Формулы и пример задания

Правильный треугольник, где все 3 стороны равны, является частным случаем равнобедренного, поэтому все формулы для поиска параметров будут одинаковыми. Самым часто используемым выражением, применяемым на уроках, является формула для поиска площади: S = (b * h)/2, где: b – основание, h – высота. Существует и более сложное равенство, позволяющее определить S, зная размеры двух прилежащих сторон: S = (b * √(a2 – (b2 / 4)) / 2.

Кроме поиска площади фигуры, в треугольнике можно вычислить:

1. Периметр. Сумма всех сторон: P = a + b + c = 2ab + c.
2. Высоту (медиану, биссектрису), проведённую к основанию: h ² = b ² − a ² / 4.
3. Соотношения между боковыми сторонами и основанием: b = 2 a*cos ( α ) , b = 2 a*sin ( β / 2).
4. Стороны. Они могут быть найдены с помощью формул, выражающих их размер через другие грани и углы, значения которых известны: a = b/(2 * cos ( a )); b = a * √ (2 * (1 – cos ( b )).
5. Радиус вписанной окружности. Его можно определить, зная основание и высоту: r = ( b * h )/b+* √ (4h + b ² ); размеры боковых сторон: r = (b/2)*tg (a/2); боковые стороны и угол между ними: r = a*cos (a)*tg (a/2).
6. Радиус описанного круга. Его можно найти, зная длину боковой стороны и основания по формуле: R = b/2√((2a-b)/(2a+b)).

Формулы, признаки и свойства равнобедренного треугольника важны для геометрии. Используя их, можно решать сложные задачи, связанные с многогранниками различных видов.

Пусть имеется равнобедренный треугольник ABC, в котором построена медиана BM. Известно, что периметр всего многоугольника 32, а фигуры ABM - 24. Нужно вычислить длину высоты. Следует понимать, что в равнобедренной фигуре медиана является высотой и биссектрисой. Сторону AB можно принять за X. Соответственно, противоположная сторона BC будет тоже равняться X. Из свойств треугольника AC разделяется в точке M на 2 одинаковых отрезка. Пусть каждый из них будет равняться Y.

По условию периметр ABC = 32, значит: 2x + 2 y = 32. Обе части равенства можно разделить на 2. В результате получится, что сумма AB и AM составляет 16. Так как периметр треугольника ABM=24, то BM = P – 16 = 24 – 16 = 8. Задача решена: длина высоты, построенная в ABC, будет равняться 8.