Сравнение дробей с разными знаменателями - алгоритм, правило и примеры

Общие сведения

Дробью обыкновенного вида называется действительное число (обозначается литерой «R»), имеющее числитель (верхняя часть) и знаменатель, расположенный внизу под чертой. Следует отметить, что любое обыкновенное дробное выражение может быть представлено в виде десятичного. Последнее состоит из целой и дробной частей, разделенных между собой запятыми.

Следует отметить, что десятичные выражения могут быть трех типов: конечные, бесконечные периодические и непериодические. В первом случае число знаков после запятой фиксировано, т. е. может быть 1, 2 и более. Бесконечные периодические величины включают огромное количество цифр, продолжающихся до бесконечности, но с определенным периодом. Например, 1,256256256=1,(256). В этом случае последний указывается в круглых скобках.

Бесконечные непериодические состоят из множества математических символов, которые не повторяются через определенный период. В этом случае числовое значение округляют до необходимого, т. е. 1,2594235912331…=1,26.

Следует отметить, что сравнивать десятичный тип дробей проще, чем обыкновенный. Однако не всегда предоставляется такая возможность, поскольку иногда различия могут быть в миллионном дробном разряде. Последнее число невозможно записать на бумагу, а также не все калькуляторы могут работать с такой точностью.

Математики разработали целые алгоритмы выполнения операций сравнения двух обыкновенных дробей, какие позволяют быстро и без ошибок произвести сопоставление величин. Чтобы к ним перейти, необходимо рассмотреть смешанные числа.

Смешанные величины

Смешанным числом называется такое значение, которое состоит из целой и дробной частей, представленных в виде обыкновенной дроби. Примером этой величины является 5[7/9]. Последняя получается в результате преобразования неправильной в правильную дробную величину. Первой называется числовое выражение, числитель которой больше знаменателя, т. е. f/g, где f>g. Если f<g, то такая обыкновенная дробь является правильной.

Специалисты разработали методики для преобразования неправильного обыкновенного дробного числового выражения в правильное, а также обратный алгоритм, позволяющий осуществить противоположную операцию. Для конвертации числа 5[7/9] необходимо выполнить такую операцию, состоящую из отдельных шагов:

1. Написать число N[c/z], где N — целая часть, с — числитель и z — знаменатель: 5[7/9].
2. Вычислить новый числитель С по формуле «С = z*N+c»: С=5*9+7=52.
3. Записать результат: 52/9.

Для выполнения преобразования неправильного дробного значения в смешанное число нужно произвести конвертацию в обратном порядке. Реализация выглядит таким образом:

1. Записать величину: 52/9.
2. Выделить целое значение: 52/9=5.
3. Рассчитать числитель «с» по формуле «с=С-N*z»: с=52−5*9=7.
4. Написать полученный результат: 5[7/9].

Кроме того, также требуется знать алгоритм, позволяющий преобразовывать десятичную дробную величину в обыкновенную. Его реализация на практике выглядит следующим образом:

1. Написать число дробного вида: 5,75.
2. Выделить целую часть: 5.
3. Представить остаток в виде обыкновенной дроби: 75/100.
4. Выполнить сокращения: ¾.
5. Написать результат: 5[¾].

Однако этого недостаточно, чтобы осуществить сравнение дробей с разными знаменателями. Далее необходимо рассмотреть методику, позволяющую привести их к общему виду.

Единый знаменатель

Сравнить две обыкновенные дроби, имеющими разные знаменатели, является нелегкой задачей. Для этого требуется знать специальные методики приведения к единой величине.

Они подробно изучаются в 5 классе. Всего существует три ситуации, при которых применяется тот или иной тип алгоритма:

1. Знаменатель одной дроби «g» делится на другой «m» c образованием целого значения.
2. Величина «g» cодержит одинаковые множители с «m».
3. Другой случай.

Первая из них считается очень простой, т. к. для получения коэффициента нужно просто разделить одно значение на другое. Во втором случае необходимо находить наименьшее общее кратное (НОК), а в третьем — просто перемножить знаменатели, но с некоторыми особенностями. Следует разобрать каждую из трех ситуаций отдельно, поскольку требуется использовать совершенно разные методики.

Деление нацело

Приведение дробей с разными знаменателями, один из которых делится нацело на другой, выполняется по простой схеме. Она имеет такой вид:

1. Записать две величины: 2 (5/6) и 1 (9/12).
2. При необходимости преобразовать их в неправильные дроби: 17/6 и 21/12.
3. Вычислить коэффициенты при числителях: для первой — 12/6=2, для второй — 12/12.
4. Выполнить математические операции: 17*2/12=34/12 и 21/12.

Следует отметить, что в этом случае берется больший знаменатель. Он является единым для каждого из дробных выражений. Кроме того, всегда перед его поиском рекомендуется преобразовывать число в неправильную дробь. Это объясняется тем, что будет сложно выполнять математические операции.

Однако бывают ситуации, когда одно значение делится на другое с остатком, хотя содержит общие множители. Для этого нужно рассмотреть следующий случай.

Одинаковые сомножители

Одним из самых сложных случаев считается наличие в каждом знаменателе общих множителей. Для этого необходимо определить такое значение, какое будет делиться нацело на один и другой знаменатели. Оно называется в математике наименьшим общим кратным или сокращенно — НОК. Чтобы его найти, требуется воспользоваться таким алгоритмом на примере двух чисел 12 и 16:

1. Разложить каждое из них на множители: 12=2*2*3 и 16=2*2*2*2.
2. Найти повторяющиеся элементы: 2*2.
3. Умножить их на компоненты, которые являются разными для двух чисел: 2*2*(3*2*2)=48.

После нахождения НОК операция приведения дробных значений осуществляется по определенному алгоритму. Он имеет следующий вид:

1. Разделить НОК на каждый из знаменателей, записав над числителями определенные коэффициенты.
2. Выполнить математические преобразования.
3. Записать искомые результаты.

На практике нужно разобрать полную реализацию алгоритма. Она выглядит таким образом:

1. Записать дробные выражения: 3/12 и 7/16.
2. Найти НОК: НОК (12;16)=48.
3. Математические преобразования: 3*4/48=12/48 и 7*3/48=21/48.

Следует отметить, что если величины представлены в виде смешанных чисел, то их рекомендуется преобразовать в неправильные дроби.

Другой случай

Методика применяется при невозможности осуществить вышеописанные операции, т. е. оба числителя не содержат общих сомножителей и один из них не делится на другой. Математики назвали ее «крест-накрест». Следует отметить, что данный способ является очень простым. Его рекомендуется выполнять в том случае, когда ни один из методов не подходит. Он имеет следующий вид:

1. Записать дроби: 7/9 и 3/11.
2. Разделить знаменатели. Если получается дробное значение, то значит первый метод (деление нацело) не подходит: 11 на 9 не делится без остатка.
3. Попробовать разложить на общие множители: 11=11*1 и 9=3*3. Они отсутствуют.
4. Перейти после проверок к перекрестному образованию единого знаменателя: 9*11=99.
5. Записать коэффициенты над числителями и выполнить математические преобразования: 7*11/99=77/99 и 3*9/99=27/99.

Проверки во втором и третьем пунктах методики выполнять обязательно, поскольку данные меры помогут избежать множества ошибок при выполнении операций, позволяющих сравнить дроби обыкновенного типа.

Сравнение обыкновенных дробных выражений

Для сравнения двух величин в математике применяется логическая операция, которая обозначается символом «>". Его «острый» элемент направляется в сторону меньшего значения, т. е. 4/8>1/8. Сравнивать дроби обыкновенного вида g/f и s/t довольно просто. Для этого требуется разобрать три случая, которые встречаются в математике. К ним относятся следующие:

1. Параметры «g» и «s» эквивалентны между собой, значения «f» и «t» отличаются.
2. Величины «f» и «t» эквивалентны между собой, а значения «f» и «t» неодинаковы.
3. Числители и знаменатели являются разными числами.
4. Одна дробь меньше нуля, а другая — больше.

В первом случае необязательно приводить дробные значения к общему знаменателю. Достаточно воспользоваться правилом: при одинаковых числителях и разных величинах знаменателей дробь больше другой, у которой знаменатель меньше. Это правило позволяет сэкономить время.

Во втором случае также существует определенное правило, позволяющее определить большее значение без преобразований математического характера. Оно гласит следующее: когда числители не равны между собой, а знаменатели эквивалентны, тогда дробное значение с большим числителем больше другого.

Методики, используемые в вышеописанных случаях, называются перекрестным определением, поскольку не требуют выполнения различных преобразований над числами. Если все элементы обыкновенных дробей не являются равными между собой (ни числители, ни знаменатели), то нужно приводить дробные выражения к общему знаменателю по одному из алгоритмов, а затем выполнять перекрестное сравнение второго типа.

Следует отметить, что сравнивать положительные и отрицательные величины довольно просто, поскольку вторые всегда меньше первых.

Таким образом, сравнение дробей осуществляется по определенным методикам, но для перехода к ним нужно получить базовые знания в областях преобразования смешанных чисел и вычисления единого знаменателя.