Переместительный закон сложения - правило и примеры решения задач

Общие сведения

Сложение — математическая операция, при помощи которой происходит увеличение исходного числа на определенное значение. Ее элементами являются минимум два слагаемых и результат. Последний называется суммой. Всего существуют два закона сложения. К ним относятся следующие:

1. Коммутативный.
2. Ассоциативный.

Первый еще называется переместительным, а второй — сочетательным. Многие школьники путают правила сложения и умножения. Следует отметить, что для последнего предусмотрены три закона, т. е. распределительный, сочетательный и переместительный. У деления и умножения правила похожи, а вот для вычитания, как и для сложения, предусмотрено также два свойства.

Чтобы не путать термины, необходимо рассмотреть каждое арифметическое действие по группам.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание являются взаимосвязанными математическими операциями. Для примера необходимо разобрать числовое выражение «10+20+30+40=100». Оно состоит из пяти элементов: четырех слагаемых и одного результата. Это математическое выражение можно записать в обратном виде 100−40−30−20=10. Данное тождество называется вычитанием.

Иными словами, вычитание — математическая операция уменьшения заданного числа (уменьшаемого) на определенное число (вычитаемое), результатом которой является разность. Для сложения и вычитания применимо всего два закона: переместительный и сочетательный. Они используются для оптимизации вычислений.

Следует отметить, что методика ускорения расчетов используется также в программировании и информатике. Кроме того, эти правила применяются и в высшей математике. Например, для сложения или вычитания векторов, а также для работы с числовыми множествами.

Переместительное правило

Переместительный закон сложения гласит: от перемены мест слагаемых значение суммы не изменится. Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться числовым выражением 12+32+16+40=100. Если поменять местами элементы (слагаемые) в левой части, то должна также получиться сотня, т. е. 32+12+40+16=100. Утверждение доказано. Математическая запись или формула закона выглядит таким образом: R+T+S=T+S+R=S+T+R=M.

Специалисты рекомендуют самостоятельно придумать числовое выражение и доказать истину формулировки переместительного свойства. Для вычитания также существует переместительный закон, который может быть сформулирован следующим образом: если поменять местами вычитаемое, то разность останется прежней.

Для доказательства правила можно использовать такой же видоизмененный пример, что и для суммы «100−40−16−32=12». В нем вычитаемое эквивалентно группе элементов 40, 16 и 32. Если эти числа поменять местами, то результат не изменится, т. е. 100−32−40−16=12. Правило доказано. Для вычитания переместительный закон записывается в таком виде: М-R-T=S, М-R-S=T и М-T-S=R. Далее необходимо рассмотреть сочетательные правила.

Сочетательный закон

Сочетательное правило сложения и вычитания похожи. Их суть заключается в перегруппировке элементов. Следует отметить, что последняя не влияет на результат. Она необходима для упрощения вычислений. Сочетательный закон сложения формулируется таким образом: значение суммы не зависит от группировок слагаемых.

Например, 4+11+6+9=30. Для удобства можно записать пример в таком виде: (4+6)+(11+9)=30. Результат не изменился. Кроме того, производить вычисления стало проще. В виде формулы закон можно записать в таком виде: М+R+T=М+(R+T)=(М+T)+R=S.

Для вычитания формулировка правила звучит следующим образом: разность не изменится, если перегруппировать вычитаемые компоненты, т. е. 30−6−11−4=30-(6+4)-4=9. Формула закона имеет вид: М-R-T-P= М-R-(T+P)= N. Следует отметить, что числа можно группировать в произвольном порядке. Главное — придерживаться принципа вынесения знака за скобку (касается только вычитания).

Некоторые ученики часто приписывают к арифметическим операциям сложения и вычитания распределительное свойство. Это большая ошибка, поскольку для суммы и разности его не существует вообще. Далее необходимо рассмотреть операции, в которых оно применяется.

Произведение и деление

Для умножения и деления применимы те же правила, что и для сложения и вычитания, но к ним добавляется еще и третье — распределительное свойство. В итоге список законов имеет такой вид:

1. Переместительный.
2. Сочетательный.
3. Распределительный.

Следует отметить, что формулировки для переместительного закона сложения и умножения практически идентичны. Для последней математической операции он звучит таким образом: произведение не изменится, когда будет выполнено перемещения одного сомножителя на место другого. Например, 2*3*4=2*4*3=24.

В математической форме правило записывается в виде соотношения «RST=SRT=TRS=O». Для деления также используется возможность перемещения делителей, т. е. O: S: T=R или O: Т: S=R. На примере реализация правила выглядит таким образом: 60:2:15=2 или 60:15:2=2.

Для умножения сочетательный закон формулируется в таком виде: значение произведения не изменится при группировке в любом порядке сомножителей, т. е. S*T*R=S*R*T=R*T*S=N. Для деления у него немного другой вид: делители могут группироваться в любом порядке, и это не повлияет на частное. Математическая форма записи выглядит следующим образом: N: T: R: M=N:T:(R:M)=O.

Распределительное свойство для умножения и деления формулируется практически одинаково: произведение (деление) суммы или разности двух элементов на число эквивалентно умножению (делению) каждого элемента суммы или разности на искомый элемент. Законы имеют такие формы записи:

1. Умножение: (S+T)*M=SM+TM или (S-T)*M=SM-TM.
2. Деления: (S+T)/M=S/M+T/M или (S-T)/M=S/M-T/M.

Если обратить внимание на формулы, то для сложения запись невозможна, поскольку это уже будет сочетательный закон. Например, в первом пункте необходимо заменить знак «*" на сложение. Соотношение будет иметь следующий вид: (S+T)+M — сочетательное свойство операции сложения. Далее необходимо разобрать пример на применение всех законов.

Пример задачи

Для закрепления теоретического материала специалисты рекомендуют разобрать пример, в котором можно будет применить все законы арифметических операций. Числовое выражение задачи имеет такой вид: 5+6+5+4+20+(25+100)/5+(11+4)*4. Необходимо вычислить результат оптимальным методом. Решать задание нужно по такому алгоритму:

1. Переместительный: 5+5+4+6+20+(25+100)/5+(11+4)*4.
2. Сочетательный: (5+5+20)+(4+6)+(25+100)/5+(11+4)*4.
3. Распределительный: (5+5+20)+(4+6)+25/5+100/5+11*4+4*4.
4. Математические преобразования: 40+5+20+44+16
5. Переместительный: 40+20+44+16+5.
6. Сочетательный: (40+20)+(44+16)+5.
7. Вычисление и результат: 125.

Следует отметить, что к числовому выражению свойства арифметических операций можно применять многократно. Специалисты рекомендуют использовать алгоритм такого вида для оптимизации вычислений.

Таким образом, законы математических операций применяются для оптимизации вычислений для нахождения результатов.