Неполное квадратное уравнение - виды, примеры и способы решения

Общие сведения

Уравнение — это равенство, которое в своём составе имеет неизвестный член. Другими словами, переменную. Решение как полных, так и неполных уравнений подразумевает определение значений, которые при подстановке сделают запись верной. Существуют различные виды равенств: линейные, дробные, квадратные.

Многочлены, в которых самой высокой степенью в выражении является цифра два, называют квадратными. Они относятся к фундаментальным математическим записям. Их используют для вычислений уравнений сложного вида. Например, логарифмических, тригонометрических, а также неравенств.

Числа, которые делают равенство правильным, называют корнями. Условно квадратные уравнения разделяют по их видам на три категории:

• имеющие два корня;
• выражения с одним ответом;
• неправильные.

Полным квадратным равенством называют выражение вида: ax² + bx + c = 0, где a, b, c — коэффициенты, а x — неизвестный корень. Разумеется, множитель в первом одночлене не может быть равен нулю, иначе запись примет вид классического линейного многочлена. Решать его довольно тривиально, поэтому интересней случаи, когда b или c равняются нулю.

В этом случае равенства примут вид ax² + bx = 0 и ax² + c = 0. Так вот такие выражения и называют неполными уравнениями. Решать их можно по упрощённому алгоритму, не используя формулы для определения дискриминанта или теорему Виета.

Нужно отметить, что квадратные многочлены отличаются друг от друга только содержанием в записи ненулевых одночленов. Значит, в принципе, все правила и теоремы, которые применимы для классического полного равенства, возможно использовать и для её частных случаев. Но часто применять их нерационально.

Неполные записи хороши тем, что они могут решаться при простых числах даже в уме. Поэтому всегда следует сложные примеры перед решением в лоб пробовать преобразовать в частные случаи. Для этого используют: сокращения, сочетательный, распределительный и переместительный законы, приведение подобных.

Классический способ

Хотя и существуют простые методы, конечно же, нужно знать и общий способ решения квадратных многочленов. Алгоритм нахождения возможных ответов состоит из двух шагов. На первом находят дискриминант: D = b2 — 4ac. На втором же подставляют найденное значение в формулу поиска корней: x1 = - b + √‎D / 2a; x2 = - b — √‎ D / 2a.

При этом по вычисленному дискриминанту можно судить о количестве ответов. Так, если он равен нулю, то решение будет только одно, когда же многочлен меньше нуля, уравнение не имеет смысла. Формулы несложны и вполне легко запоминаются. Но всё же в некоторых случаях имеет смысл использовать так называемую теорему Виета.

С её помощью можно просто находить корни. Заключается она в следующем: пусть икс первое и второе являются решениями уравнения вида: x² + bx + c = 0. Тогда будут верны равенства:

• x1 + x2 = - b;
• x1 * x2 = c.

Если коэффициент квадратного одночлена единица (приведённое выражение), то всегда сумма корней будет равна отрицательному значению свободного члена, а произведение — второму коэффициенту. На первый взгляд кажется, что по этим формулам не очень и легко найти нужные корни. На самом деле после небольшой тренировки определять корни можно будет даже устно.

При недостаточном опыте или при вычислении сложных примеров, например, дробных, конечно же, можно использовать простой алгоритм поиска неизвестных. Сначала следует выяснить их знак. Тут поможет правило, что минус на плюс при умножении даёт отрицательный результат, и то, что при сложении двух минусовых выражений в ответе будет также минус. Естественно, что если в произведении и сумме положительные числа, то и оба корня будут со знаком плюс.

Теперь нужно внимательно посмотреть на свободный член, так как числа, определяющие рациональное решение, обязательно должны быть среди множителей этого коэффициента. То есть понадобится разложить это выражение и сконструировать из полученного ряда два значения, которые в сумме дадут нужный член. Сделать это можно, выписав делители числа, считая их за икс один, а результат деления принять за икс два.

Следует отметить, что довольно часто не приведённое уравнение можно сделать подходящим под теорему Виета. Для этого нужно каждый член разделить на число, являющееся коэффициентом в первом одночлене: ax² + bx + c = x² = bx / a + c / a = 0. Это важно запомнить, так как в будущем это замечание позволит довольно просто решать как полные квадратные уравнения, так и неполные.

Упрощённые методы

Удобство неполных выражений в том, что алгоритм их решения можно построить на простых преобразованиях, подобных действиям с линейными уравнениями. Так как может существовать только два вида выражений, отличных от полной записи, то и способов будет столько же.

Итак, если математическая запись имеет вид ax² + bx = 0, то справедливо выполнить ряд следующих преобразований и рассуждений:

1. Вынести неизвестное за скобки ax² + bx = x (ax + b) = 0.
2. Так как произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей будет нулевым, то можно записать: x = 0 и ax + b = 0.
3. Полученные выражения являются простейшими линейными и легко решаются. Значит, возможными корнями будут числа: x = 0 и x = - b / a.

Другой случай, когда член при переменной икс в первой степени равняется нулю. Получится выражение: ax² + c = 0. Решать такое равенство несложно, если использовать следующий метод. Вначале свободный член нужно переместить вправо за знак равно: ax² = -c. При выполнении этой операции важно не забыть поменять знак. Затем обе части разделить на коэффициент квадратного неизвестного: x² = - c / a. Дальше нужно действовать по ситуации:

• если число -c / a больше нуля, то в этом случае ответом будет положительный либо отрицательный корень дробного отношения;
• когда конструкция получается со знаком минус, то уравнение не имеет рационального решения, то есть корней нет.

Как видно, алгоритмы и правила довольно простые. Но перед тем как перейти к непосредственному рассмотрению примеров с решением неполных квадратных уравнений, следует упомянуть об онлайн-калькуляторах. Это интернет-сервисы, позволяющие совершенно бесплатно находить ответы на математические задачи в режиме реального времени. Воспользоваться ими может любой желающий, имеющий доступ к сети и гаджет с установленным веб-обозревателем.

Всё, что требуется от пользователя, — это введение заданного равенства в предлагаемую форму и нажатие кнопки «Выполнить расчёт». Через несколько секунд калькулятор выведет на экран результат решения. Причём многие такие сайты позволяют просмотреть и детальное решение заданного примера. Эта возможность довольно востребованная, так как позволяет не только понять алгоритм вычисления, но и закрепить пройденный на уроках материал.

Примеры решения

Знать теорию без умения применять её на практике бесполезно. Тем более что понять алгоритм и научиться действительно быстро находить корни неполного равенства можно только после тренировки. Обычно для закрепления материала достаточно самостоятельно прорешать около семи примеров. Вот два типовых задания, рассчитанные на учащихся восьмых классов.

Решить равенство тремя способами: 2x² — 18 = 0:

1. Прежде всего можно попробовать выполнить вычисление классическим способом через дискриминант. Он будет равен: D = b ² — 4 ac = 0² — 4·2·(-18) = 0 + 144 = 144. Учитывая, что полученный результат больше нуля, квадратное уравнение будет иметь два решения: x 1 = (0 — √‎ 144) / (2 * 2) = (0 — 12) / 4 = -12 / 4 = -3; x 2 = (0 + √‎ 144) / (2 * 2) = (0 + 12) /4 = 12 / 4 = 3 .
2. Для второго способа можно использовать теорему Виета. Приводить исходное выражение к нужному виду здесь просто, так как свободный член при делении на первый коэффициент не образует дробь: 2x² — 18 = 2x² / 2 — 18 / 2 = x² — 9 = 0. Теперь нужно составить систему: x1 + x2 = 0; x1 * x2 = - 9. Здесь нужные корни легко подобрать простым анализом. Минус девять может получиться только при умножении минус три на три, причём, -3 + 3 = 0, значит, корнями уравнения будут: x1 = 3; x2 = -3.
3. В третьем варианте удобно воспользоваться упрощённым алгоритмом. Так, минус восемнадцать нужно перенести за знак равно вправо: 2x² = - 18. Отсюда: x² = - 18 / 2 = - 9. Соответственно: x = - √‎9. Значит, искомым неизвестным может быть плюс или минус три.

Из полученных корней разными способами все три варианта дали один и тот же ответ. Отсюда можно сделать вывод, что используемые алгоритмы верны, при этом все действия в них выполнены правильно.

Второй тип стандартных заданий на решение квадратных уравнений может быть такого вида: 9x² + 63x = 0. Это простое равенство, которое, прежде всего можно упростить, для этого нужно каждый одночлен сократить на девять: 9x² + 63x = 0 → x² + 7x = 0. Теперь неизвестное нужно вынести за скобки и приравнять каждый из множителей к нулю: x² + 7x = x * (x + 7) → x = 0; x + 7 = 0. Следовательно, решением уравнения будут корни x1 = 0; x2 = -7.

В этом случае также можно было решать уравнение через дискриминант или по теореме Виета. Если самостоятельно выполнить вычисления, то можно будет убедиться в правильности найденного ответа.