Преобразование тригонометрических выражений - формулы и примеры вычислений

Преобразование тригонометрических выражений, чтение и понимание формул и решение уравнений - дело не всегда лёгкое, сама наука имеет богатую историю. Ведь тригонометрия зародилась ещё в древности, и использовалась тогда в архитектуре, астрономии и геодезии. 

Да и сегодня тригонометрия применяется в физике, математике, астрономии, теории музыки, геодезии и многих других сферах. Впервые мы знакомимся с тригонометрией в девятом классе школы, когда изучаем 4 простейших тригонометрических формулы: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Основные правила и формулы преобразования тригонометрических выражений

Первыми и самыми простыми являются формулы функций, упомянутых выше:

sin(α) = a/c

cos(α) = b/c

tg(α) = a/b = sin(α)/cos(α)

ctg(α) = b/a = cos(α)/sin(α)

5b85fec1e51a2bddcb21

Здесь с – гипотенуза прямоугольного треугольника;

а – катет, лежащий против угла;

b – катет, прилежащий к углу.

Все значения sin(x) и cos(x) строго меньше 1, а tg(x) и ctg(x) может принимать любые значения - это видно при использовании числового круга с единичным радиусом.

Следующая, наверное, самая известная формула – основное тригонометрическое тождество:

sin2x + cos2x = 1

Благодаря ему можно найти значение неизвестной нам функции при одной известной, заведя под корень единицу минус известный аргумент, например:

800

Если необходимо найти сумму косинусов или синусов двух разных углов, то необязательно искать их значения (особенно если углы неудобные), можно использовать формулы для соответствующих сумм:

801

Функции двойных углов можно рассчитывать с помощью таблицы, просто умножив изначальный угол на 2, или разложить их, что может упростить вычисления:

sin2(α) = 2sin(α) * cos(α),

cos2(α) = cos2(α) – sin2(α).

Для нахождения значений синуса или косинуса неудобных углов, можно воспользоваться как таблицей Брадиса, так и разложив число на два удобных угла и применив формулу суммы или разности синуса или косинуса соответственно:

sin(α ± β) =sin(α) * cos(β) ± sin(β) * cos(α),

cos(α ± β) = sin(α) * cos(α) ± sin(β) * cos(β).

Операции с тангенсами

Практически все операции с такими функциями выводятся разложением тангенса или котангенса на синус и косинус. Это касается и произведения тангенса и котангенса, тангенса суммы и тангенса двойного угла, например:

803

Примеры преобразований и решений тригонометрических выражений

Сейчас для наглядности решим пару выражений:

804

805

806 

Вычисление значений данных функций можно делать по небезызвестной таблице Брадиса, в которой расписаны все значения вышеупомянутых функций. Но также и с помощью обычного или онлайн калькулятора, где есть функции вычисления тригонометрических функций. 

Но что же делать, если нет под рукой электронного устройства? Ответ прост – использовать формулы.


Читайте также