Экстремумы функции - алгоритм нахождения максимального и минимального значения функции

Экстремумы представляют собой точки минимума и максимума на графике функции. Работа с функциями представляет собой один из базовых навыков математики, необходимый для дальнейшего развития знаний. Поэтому перед непосредственно переходом к вычислениям рассмотрим вкратце сами функции.

Что такое функция

Возьмем знаменитую формулу силы тока:

I = ​ Здесь I - собственно сила тока, U - напряжение и R - сопротивление. Налицо зависимость значения силы тока от показателя напряжения. Функция — это общенаучное понятие, выражающее посредством формул зависимость между объектами. Примеры некоторых распространенных формул:

y = x

y = x²

Способом наглядного изображения характера зависимости является график функции. Например, рис.1 и 2. Подставляя вместо  конкретные числа, находим конкретные точки на координатной сетке, через которые проходит график. Отметим, что видов функций великое множество, среди них тригонометрические, логарифмические и так далее. О них подробнее в соответствующих статьях. Также часто вместо y встречается знак ƒ(x), что означает “функция”. Соответственно - можно встретить выражения типа:

ƒ(x) = x

или

y = ƒ(x) = x

Можно сказать, что они синонимичны друг с другом.

Несколько слов о производной

Точки экстремума тесно связаны с производной. Это очень важное понятие как для математики, так и для естественных наук. Поясним, что это, на примере. Представьте себе пешехода, преодолевшего за время t расстояние S(t). Затем представим некое время t₂, прошедшее после момента t. Суммарный путь обозначим S(t + t₂). Тогда S(t₂) = S(t + t₂) – S(t). Если t₂ невелико, то скорость движения пешехода в этот момент примерно равна средней скорости. Тогда Чем t₂ меньше, тем v(t₂) ближе к v_ср, ⇒ v(t) можно обозначить как предел ​\( \frac{S(t₂)}{t₂} \)​ при стремлении t₂ к нулю. Выразим это формулой: В итоге по указанной формуле через S(x) можно вычислить расстояние, пройденное в x момент времени. Теперь вспомним формулу касательной к графику (подробнее в отдельной статье). Она выглядит так: Сравнив обе формулы, видим, что в обоих случаях применялось нахождение предела отношения приращения функции  и приращения аргумента  при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Обобщив эту информацию, получаем, что для любой ƒ(x) величина является производной функции в точке x₀. Она обозначается как ƒ(x₀). Для работы с производными существуют специальные формулы, подробнее о которых в соответствующей статье.

Важно! Если в x₀ функция имеет производную, она называется дифференцированной.

Экстремальные задачи

Понятие экстремума связано с решением соответствующих задач. На самом деле подобные задачи часто встречаются в нашей жизни. Например: найти наименьшую возможную площадь прямоугольного треугольника, если известна сумма длин его катетов. Это пример задачи на поиск минимума (min). Соответственно, если нужно найти максимальную площадь, мы будем искать максимум (max). Оба этих понятия объединяются термином экстремум. Задачи на поиск экстремумов называются экстремальными. Подобные задания известны еще с Древней Греции, но лишь с XVII в. начали вырабатываться универсальные алгоритмы их решения.

Решение заданий на поиск экстремума

Допустим, что имеется некая функция ƒ(x). Она ограничена определенным интервалом (a, b), который содержит в себе точку x₀. Ее часто называют локальным экстремумом функции ƒ(x). Если найдется интервал (a₀, b₀), который принадлежит (a, b) и также содержащий x₀, что условия ƒ(x) ≥ ƒ(x₀), или ƒ(x) ≤ ƒ(x₀), будет выполняться для всех x из подынтервала (a₀, b₀). Другими словами, в точке функция  достигает своего экстремального (минимального или максимального) значения. Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти производную исследуемой функции. Экстремумами будут точки, при которых производная обратится в 0.

Пример решения

Дано: ƒ(x) = x³ - 3x, соответственно,

ƒ′(x) = 3x² − 3

приравниваем к 0

3x² − 3 = 0

сокращаем

x² − 1 = 0

x² = 1

Получаем ответ: x₁ = 1; x₂ = –1. Эти точки и являются экстремумами.  - min, - max. Изобразим это на графике (рис.3) оригинальной функции ƒ(x) = x³ - 3x  

Важно! Как видно, после точек экстремума график продолжается. Таким образом, можно заключить, что указанные точки являются экстремумами на отрезке [–1, 1] по оси x. Поэтому указанные точки будут локальными экстремумами.

Но как тогда найти глобальные точки экстремума? Для этого обратимся к задаче из начала текста. Обозначим площадь треугольника как S, сумму длин катетов как a и как x - длину одного из катетов. Получаем формулу:

S(x) = x(a−x)²

x - не может быть отрицательным, поэтому его диапазон [0, a]. Следовательно функция дифференцируема на интервале (0, a). Находим производную

S′(x) = 0,5 − x

решаем как уравнение

0,5 − x = 0

x = 0,5a = ​\( \frac{a}{2} \)​

Эта точка будет локальным максимумом. Далее среди чисел S(0) = 0, S(​\( \frac{a}{2} \)​) = ​​\( \frac{a2}{8} \)​​​, S(a) = 0 максимальной будет S(​\( \frac{a}{2} \))​, следовательно - в точке x = ​\( \frac{a}{2} \)​ функция достигает глобального максимума на отрезке [0, a]. Таким образом заключаем, что при заданной сумме длин катетов наибольшей площадью обладает равнобедренный треугольник. Тема экстремумов функции безусловно сложна, поэтому нет ничего постыдного, если вы что-то не поняли с первого раза. Перечитайте статью несколько раз, “переварите” информацию у себя в голове, и все получится. Для лучшего усвоения материала рекомендуем ознакомиться с видео.