Экстремумы функции - алгоритм нахождения максимального и минимального значения функции
\( \frac{U}{R} \)
Понятие экстремума связано с решением соответствующих задач. На самом деле подобные задачи часто встречаются в нашей жизни. Например: найти наименьшую возможную площадь прямоугольного треугольника, если известна сумма длин его катетов.
Это пример задачи на поиск минимума (min). Соответственно, если нужно найти максимальную площадь, мы будем искать максимум (max).
Оба этих понятия объединяются термином экстремум. Задачи на поиск экстремумов называются экстремальными.
Подобные задания известны еще с Древней Греции, но лишь с XVII в. начали вырабатываться универсальные алгоритмы их решения.
Рис.3. Точки экстремума
Решение заданий на поиск экстремума
Допустим, что имеется некая функция ƒ(x). Она ограничена определенным интервалом (a, b), который содержит в себе точку x0. Ее часто называют локальным экстремумом функции ƒ(x). Если найдется интервал (a0, b0), который принадлежит (a, b) и также содержащий x0, что условия ƒ(x) ≥ ƒ(x0), или ƒ(x) ≤ ƒ(x0), будет выполняться для всех x из подынтервала (a0, b0). Другими словами, в точке функция достигает своего экстремального (минимального или максимального) значения. Чтобы найти экстремумы функции, необходимо найти производную исследуемой функции. Экстремумами будут точки, при которых производная обратится в 0.Пример решения
Дано: ƒ(x) = x3 - 3x, соответственно,ƒ′(x) = 3x2 − 3
приравниваем к 03x2 − 3 = 0
сокращаемx2 − 1 = 0
x2 = 1
Получаем ответ: x1 = 1; x2 = –1. Эти точки и являются экстремумами. - min, - max. Изобразим это на графике (рис.3) оригинальной функции ƒ(x) = x3 - 3xВажно! Как видно, после точек экстремума график продолжается. Таким образом, можно заключить, что указанные точки являются экстремумами на отрезке [–1, 1] по оси x. Поэтому указанные точки будут локальными экстремумами.Но как тогда найти глобальные точки экстремума? Для этого обратимся к задаче из начала текста. Обозначим площадь треугольника как S, сумму длин катетов как a и как x - длину одного из катетов. Получаем формулу:
S(x) = x(a−x)2
x - не может быть отрицательным, поэтому его диапазон [0, a]. Следовательно функция дифференцируема на интервале (0, a). Находим производнуюS′(x) = 0,5 − x
решаем как уравнение0,5 − x = 0
x = 0,5a = \( \frac{a}{2} \)
Эта точка будет локальным максимумом. Далее среди чисел S(0) = 0, S(\( \frac{a}{2} \)) = \( \frac{a2}{8} \), S(a) = 0 максимальной будет S(\( \frac{a}{2} \)), следовательно - в точке x = \( \frac{a}{2} \) функция достигает глобального максимума на отрезке [0, a]. Таким образом заключаем, что при заданной сумме длин катетов наибольшей площадью обладает равнобедренный треугольник. Тема экстремумов функции безусловно сложна, поэтому нет ничего постыдного, если вы что-то не поняли с первого раза. Перечитайте статью несколько раз, “переварите” информацию у себя в голове, и все получится. Для лучшего усвоения материала рекомендуем ознакомиться с видео.
