Квадратный корень - свойства, действия, формулы

По аналогии с первыми четырьмя алгебраическими действиями (сложение, вычитание, умножение, деление) и добавочным пятым (возведение в степень) квадратный корень часто называют шестым алгебраическим действием.

История знака √

История знака напрямую связана с буквальным значением слова. Так, в древней Индии для таких операций использовался термин “мула”, означающий “основание”, “корень растения”. Далее арабы использовали аналогичный по значению термин “джизр”. От них он перешел в европейскую науку, которая применяла латинский язык и перевела “джизр” как “radix” (корень). В течение многих лет математики обозначали подобную операцию буквой R (сокращение от слова Radix). Ввел подобное обозначение Леонардо да Винчи. Далее обозначение R сменилось на r. Наконец, в 1525 г. у математика Кристофа Рудольфа впервые встречается символ √, представляющий собой искаженную букву r. Со временем этот знак вошел в обиход.

Вычисление

Операция нахождения корня является обратной возведению в степень. Это можно выразить следующими формулами:

\[ x^n=a \]

\[ x=\sqrt[n]{a} \]

Поскольку минус на минус всегда дает плюс, то x²ⁿ=(-x)²ⁿ ≥ 0. Следовательно - в выражении ⁿ√a, a - неотрицательное число (a≠0).

Отрицательное значение a возможно лишь при нечетном значении n.

Виды

Как и в случае со степенями, можно также выделить разные типы корней:

• Квадратный - √a
• Кубический - ³√
• Степени - ^{4 и более}√a
• Отрицательный - ^-a√a

Формулы

Для эффективного решения задач необходимо знание следующих формул:

Важно! На практике, исходя из седьмой формулы, вычисление корня более правомерно называть “возведением в дробную степень”. Таким образом, вопреки распространенному мнению, корень не может считаться самостоятельным арифметическим действием.

Приведенной ниже таблицей 1 стоит пользоваться как подспорьем при решении сложных примеров и задач.

Таблица 1. Таблица квадратных корней

Важно! Нужно однако помнить, что минус на минус всегда дает плюс. Соответственно - при вычислении корня четной степени (√, 4√, 6√ и так далее) фактически имеется два варианта ответа положительный и отрицательный. Например, √49 = 7, а также -7 (7² = 49, (-7)² = 49)

Примеры решения задач

• √12 = √4×√3 = 2√3: -2√3
•   √8 = √16/√2 = 4√2; -4√2
• (√2)⁴ = √2⁴ = √16 = 4; -4
• (³√5)³ = 5. Обратите внимание, при полном сокращении остается только положительный вариант.
•  ⁶√16³ = √16 = 4; -4
• 2^2/3 = ³√2² = ³√4 = √2
• ^-3√8 = 1/³√8 = 1/2

Являясь действием, обратным возведению в степень, вычисление корня употребляются наравне с ним. Поэтому освоение этой методики также необходимо. Еще больше примеров для полного понимания темы смотрите в предложенном ниже видео.