Числовые ряды - необходимые признаки сходимости, примеры с решениями

Представим некую геометрическую прогрессию a_n = a₁ × q^n-1. Учтем, что −1 < q < 1. Рассчитаем сумму первых n членов этой прогрессии. Получаем: S_n = a1 + a₁q² + a₁q² + ... + a₁q^n-1 = a_1​​\( \frac{1-qn}{1-q} \)​ Можно догадаться, что при ⌈q⌉ < 1 при повышении n показатель qⁿ стремится к нулю. Следовательно - S_n стремится к a₁/(1−q) . Соответственно - это число можно считать суммой всех членов прогрессии. Подобное действие можно совершить практически с любой последовательностью. Далее возьмем некую числовую последовательность и расставим между ее членами знаки +. В итоге получим выражение: Что означает эта формула?

• В правой части выражения приведена сокращенная запись действия в левой части. ∑ - знак суммы.
• Сверху и снизу указаны границы суммирования. От n-1 до ∞ (до бесконечности).

Именно это выражение называется числовым рядом. Затем каждому натуральному числу n необходимо сопоставить сумму первых n членов. Получим следующее:

S_n =x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n

S_n обозначает частичную сумму ряда, то есть часть от ​\( \sum_{n-1}^{∞} \)​. Значения всех S_n вместе формируют новый ряд — частичных сумм. Если {S_n} имеет некий предел , то есть ​\( \lim\limits_{n \to \infty} Sn = S \)​, то утверждают, что {S_n} сходится и S - его сумма. В виде формулы это можно обозначить так:

x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n = S,

или же: В противном случае ряд именуется расходящимся. Можем сказать, что сумма числового ряда является пределом ряда частичных сумм.

Условия сходимости

Чтобы выяснить, сходится указанный ряд или нет, необязательно рассматривать последовательность его сумм. Сходимость ​\( \sum_{n-1}^{∞} \)​​x_n должна быть связана с поведением , которая расположена под знаком суммы. В этой связи были выдвинуты и доказаны различные теоремы. Первая из них — это признак сходимости, гласящий: если ряд \( \sum_{n-1}^{∞} \)​​a_n  сходится, то ​\( \lim\limits_{n \to \infty} Sn = 0 \). Остальные две заслуживают отдельного внимания.

Признак Д’Аламбера

Если имеется некое v < 1, при котором с некоего значения n действует неравенство то числовой ряд сходится. Если же в силе оказывается неравенство то имеем расхождение. Также из этого свойства следует схождение геометрической прогрессии 0 < q < 1 при и расхождение при q ≥ 1.

Признак Коши

Если имеется некоторое положительное c < 1, при котором  некоего n действует неравенство то наблюдаем схождение. Если же выполняется неравенство наблюдается расхождение.

Исключения

Существуют последовательности, не подчиняющиеся признакам Д’Аламбера и Коши. Вот некоторые из них:

• Гармоническая. Выражается как

• Обобщенно-гармоническая. Выражается как

где s - некоторое число.

Для их анализа необходимо применять другие методы.

Числовые ряды представляют собой достаточно сложную для моментального восприятия тему. Тем не менее, ввиду того, что она является основой математического анализа, ее важность нельзя переоценить. Математический анализ применяется, в частности, для проверки достоверности научных данных.

Поэтому эта тема важна не только для математиков, но и для всех, кто планирует заниматься научной деятельностью. Разобравшись с ней, можно поднять свое понимание математики, а следовательно - всего мироздания, на новый уровень.

Для лучшего усвоения материала рекомендуем посмотреть видео ниже.