Числовые ряды - необходимые признаки сходимости, примеры с решениями

Числовой ряд представляет собой способ сложения бесконечного количества слагаемых. Ряды являются частной формой числовой прогрессии и имеют свои специфические свойства. Поэтому, чтобы лучше понять тему рядов, необходимо вкратце разобраться с понятиями последовательности и прогрессии.

Кратко о последовательностях

В математике (особенно высшей) важное место занимает бесконечность. Так, даже простой ряд натуральных чисел представляет собой бесконечную последовательность. Теперь представим, что каждому натуральному числу ряда 1, 2, 3, ...n... соответствует какой-либо элемент a_n (например, 1 − a₁, 2 − a₂ и так далее). Таким образом задается последовательность элементов a_n. Она часто обозначается следующим образом: {a₁, a₂ ...}либо просто {a_n}. В большинстве случаев элементами являются числа. Свойства:

1. Монотонность. Таковой является {a_n}, если выражения a_n-1 ≥ a_n, либо a_{n-1 ≤} a_n, действуют для всех n.
2. Ограниченность. Таковой является {a_n}, если имеются значения c и C, при которых для всех членов {a_n} действует одно или оба выражения c ≤ a_n и a_n ≤ C.
3. Периодичность. Проявляется при существовании такого числа T, при котором, начиная с некоего n, действует равенство a_n = a_n-T.

Прогрессии

Допустим, для  {a_n} справедливо выражение a_n+1 = a_n + d, где d - некоторое заданное число, не равное нулю. Другими словами, первый член последовательности известен, а каждый следующий больше или меньше предыдущего на указанное число. Подобное явление называется арифметической прогрессией. Чтобы добраться от 1-го элемента до n-го, достаточно воспользоваться формулой:

a_n = a₁ + (n − 1) × d

Если же для последовательности {a_n} справедливо равенство a_n+1 = a_n × d, где d - некоторое заданное число, не равное нулю, то имеет место геометрическая прогрессия.

Предел последовательности

Чтобы определить это понятие, представим так называемую гармоническую последовательность. Она обозначается выражением {​​. Какое бы значение n мы ни выбрали, всегда найдется член, отличающийся от нуля менее, чем на ​​​\( \frac{1}{n} \)​​. В таком случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, последовательность сходится, и  0 - его предел. Это утверждение выражается следующей формулой:

Что такое числовой ряд?

Представим некую геометрическую прогрессию a_n = a₁ × q^n-1. Учтем, что −1 < q < 1. Рассчитаем сумму первых n членов этой прогрессии. Получаем: S_n = a1 + a₁q² + a₁q² + ... + a₁q^n-1 = a_1​​\( \frac{1-qn}{1-q} \)​ Можно догадаться, что при ⌈q⌉ < 1 при повышении n показатель qⁿ стремится к нулю. Следовательно - S_n стремится к a₁/(1−q) . Соответственно - это число можно считать суммой всех членов прогрессии. Подобное действие можно совершить практически с любой последовательностью. Далее возьмем некую числовую последовательность и расставим между ее членами знаки +. В итоге получим выражение: Что означает эта формула?

• В правой части выражения приведена сокращенная запись действия в левой части. ∑ - знак суммы.
• Сверху и снизу указаны границы суммирования. От n-1 до ∞ (до бесконечности).

Именно это выражение называется числовым рядом. Затем каждому натуральному числу n необходимо сопоставить сумму первых n членов. Получим следующее:

S_n =x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n

S_n обозначает частичную сумму ряда, то есть часть от ​\( \sum_{n-1}^{∞} \)​. Значения всех S_n вместе формируют новый ряд — частичных сумм. Если {S_n} имеет некий предел , то есть ​\( \lim\limits_{n \to \infty} Sn = S \)​, то утверждают, что {S_n} сходится и S - его сумма. В виде формулы это можно обозначить так:

x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n = S,

или же: В противном случае ряд именуется расходящимся. Можем сказать, что сумма числового ряда является пределом ряда частичных сумм.

Условия сходимости

Чтобы выяснить, сходится указанный ряд или нет, необязательно рассматривать последовательность его сумм. Сходимость ​\( \sum_{n-1}^{∞} \)​​x_n должна быть связана с поведением , которая расположена под знаком суммы. В этой связи были выдвинуты и доказаны различные теоремы. Первая из них — это признак сходимости, гласящий: если ряд \( \sum_{n-1}^{∞} \)​​a_n  сходится, то ​\( \lim\limits_{n \to \infty} Sn = 0 \). Остальные две заслуживают отдельного внимания.

Признак Д’Аламбера

Если имеется некое v < 1, при котором с некоего значения n действует неравенство то числовой ряд сходится. Если же в силе оказывается неравенство то имеем расхождение. Также из этого свойства следует схождение геометрической прогрессии 0 < q < 1 при и расхождение при q ≥ 1.

Признак Коши

Если имеется некоторое положительное c < 1, при котором  некоего n действует неравенство то наблюдаем схождение. Если же выполняется неравенство наблюдается расхождение.

Исключения

Существуют последовательности, не подчиняющиеся признакам Д’Аламбера и Коши. Вот некоторые из них:

• Гармоническая. Выражается как

• Обобщенно-гармоническая. Выражается как

где s - некоторое число.

Для их анализа необходимо применять другие методы.

Числовые ряды представляют собой достаточно сложную для моментального восприятия тему. Тем не менее, ввиду того, что она является основой математического анализа, ее важность нельзя переоценить. Математический анализ применяется, в частности, для проверки достоверности научных данных.

Поэтому эта тема важна не только для математиков, но и для всех, кто планирует заниматься научной деятельностью. Разобравшись с ней, можно поднять свое понимание математики, а следовательно - всего мироздания, на новый уровень.

Для лучшего усвоения материала рекомендуем посмотреть видео ниже.