Иррациональные уравнения - методы и примеры решения

Общие сведения

Уравнением иррационального типа называется выражение, содержащее переменную под знаком радикала (корня). Следует сразу отметить, что тождество с неизвестной может быть возведено в степень, представленной в виде обыкновенной дроби. Корнями называются значения неизвестной, при подстановке которых получается истинное тождество.

Например, решением уравнения x^(½) = 4 являются такие два значения неизвестной: х1 = -2 и х2 = 2. Если произвести подстановку, то получается следующие равенства: (-2)^(½) = 4 и 2^(½) = 4. О таком случае математики говорят, что два корня подходят, поскольку превращают при подстановке уравнение в истинное тождество. Запись «x^(½)» эквивалентна квадратному радикалу (корню) из переменной «х».

Однако приведенный пример является простым случаем. Чтобы решить такое простейшее уравнение, алгоритм не нужен. Его может решить даже новичок. Для более сложных тождеств с неизвестными нужно руководствоваться другими правилами. Существуют специальные методы решения иррациональных уравнений. Математики создали специальный алгоритм, позволяющий выбрать оптимальный способ нахождения корней.

Основные методы и универсальный алгоритм

Существует множество способов нахождения корней. Все они классифицируются на такие виды: автоматизированные и ручные. К первым относятся методы с использованием программного обеспечения. Например, в интернете можно найти веб-приложение, которое называется онлайн-калькулятором иррациональных уравнений.

Однако на экзаменах или контрольных им нельзя воспользоваться, поскольку получается конечный результат. Для пошаговых действий следует применять ручные методы. Каждый из них нужно использовать в определенных случаях для конкретного примера. Основные способы следующие:

1. Определение корня.
2. Возведение в нужную степень.
3. Замена.
4. Разложение на простые или составные множители.

Методы можно использовать и одновременно, поскольку все зависит от сложности выражений. Например, довольно часто используется третий, а затем второй способы. Для решения тригонометрических иррациональных тождеств понадобятся некоторые формулы, упрощающие выражения.

Математики рекомендуют некоторую абстракцию для нахождения корней иррационального уравнения. Она называется универсальным алгоритмом, и включает набор инструкций, направленных на решение различных тождеств иррационального типа. Его можно записать в таком виде:

1. Определение типа.
2. Решение одним из методов, описанных ниже.
3. Проверка корней, и избавление от ложных решений с помощью подстановки в исходное тождество (исходник).
4. Запись результата.

Второй пункт также содержит алгоритм решения конкретного типа иррационального уравнения. Далее нужно ознакомиться с основными методами, которые часто применяют специалисты.

Определение корня

С помощью метода решаются простые тождества иррационального типа. Суть его сводится к преобразованию радикала в степень. Способ подходит для выражений вида [y (x)]^(m/n) = z (x). Необходимо отметить, что m и n являются целыми числами, а z (x) — простая функция, которая может быть представлена некоторым числом.

Решением [y (x)]^(m/n) = z (x) называется равносильное выражение вида y (x) = [z (x)]^(m/n). Следует рассматривать систему, в которой первым элементом является [z (x)]^(m/n), а вторым — z (x). Он должен быть отрицательным или положительным числом. Все зависит от четности: при четном значении n — z (x) > 0 или z (x) = 0, а во всех остальных случаях — z (x) принадлежит множеству действительных чисел, кроме тех, которые превращают уравнение в пустое множество.

Однако теория малоэффективна без практического применения. Например, задачу на нахождение корней уравнения [x — 4]^(½) = 2 следует решать следующим образом:

1. Анализ неравенства: [x — 4] > 0, поскольку не может выражение под радикалом четной степени (n = 2) быть меньше 0.
2. Замена равносильным тождеством: x — 4 = 2^(½) = 4 или x — 4 = -4. Для получения 16 можно возвести в квадрат числа -4 и 4.
3. Нахождение корней: x1 = 8 и x2 = 0.
4. Проверка истинности решения: [x1 — 4]^(½) = [8 — 4]^(½) = 2 и [x2 — 4]^(½) = [-4 — 4]^(½) = пустому множеству ([-4 — 4]<0).
5. Определение результата: x1 = 4.

В третьем пункте корень х2 называется ложным. В примере с решением иррационального уравнения показан основной способ отсеивания значений переменных, превращающих их в ложные тождества. Подстановку необходимо производить всегда.

Возведение в степень

Суть метода основана на возведении правой и левой частей в натуральную степень. Существует такое утверждение: при возведении обеих частей уравнения в четную степень получается следствие, а если возвести в нечетную, то результатом является равносильное уравнение. Доказательство теоремы рассматривать нет необходимости, поскольку выполнить эту операцию можно с помощью двух простых примеров.

Первое утверждение можно доказать практически с помощью простого примера. Следует рассмотреть уравнение [x ² + 9]^(½) = x — 3. Нужно возвести обе части в квадрат: x ² + 9 = [x — 3]^2. Одним из корней является 0. Эту ошибку часто делают новички. Пусть х = 0 — корень уравнения. Рекомендуется сделать проверку, подставив это значение в исходное тождество: [0 ² + 9]^(½) = 0 — 3. Если выполнить вычисления, то получается неверное выражение: 3 = -3. Следовательно, первая часть теоремы доказана.

Для доказательства второго утверждения следует рассмотреть такой пример: [x ² — 1]^(1/3) = 2. Степень радикала соответствует 3. Следовательно, необходимо возвести обе части в куб: (x ² — 1) = 2 ³ . Если решить уравнение, то можно найти два корня, которые равны -3 и 3. При подстановке их в исходное уравнение получаются два истинных тождества. Следовательно, уравнение является равносильным исходному. Вторая часть теоремы доказана.

Можно сделать вывод о том, что необязательно заучивать доказательства теорем. Достаточно просто понимать их, а затем использовать на практике. Кроме того, такую методику рекомендуют и специалисты, поскольку очень важно уметь применять знания для выполнения различных заданий.

Замена на другую переменную

Чтобы упростить иррациональное уравнение, нужно ввести новую переменную (параметр). Она всегда эквивалентна выражению под знаком радикала. Решение осуществляется по такому алгоритму:

1. Ввести новый параметр.
2. Записать уравнение в новом виде.
3. Найти корни или доказать их отсутствие.
4. Осуществить переход к старой переменной с учетом параметра.
5. Решить и отсеять ложные значения.

Алгоритм простой, но иногда возникает сложность, которая обусловлена правильным подбором некоторого параметра. Если корней в третьем пункте несколько, то необходимо рассмотреть все возможные варианты. Следует подробно разобрать алгоритм на примере равенства [5 — 2x]^(½) — 5 / ([5 — 2x]^(½) + 4) = 0. Далее нужно действовать строго по алгоритму. Пусть y — новый параметр, который эквивалентен выражению [5 — 2x]^(½). Тогда тождество превращается в следующее: y + 10 / (y + 4) = 0. Чтобы решить его, нужно провести ряд математических преобразований:

1. Привести дробь к общему знаменателю: [y (y + 4) — 5] / (y + 4) = 0.
2. Раскрыть скобки: [y ² + 4y — 5] / (y + 4) = 0.
3. Найти корень знаменателя, при котором образуется пустое множество: y3 = -4.
4. Найти корни числителя: y1 = -1 и y2 = 5.

В первом пункте можно применить также умножение двух частей на знаменатель (не приводить к общему знаменателю), но этот шаг дает такой же результат. Кроме того, придется проверять множитель (y + 4) на равенство 0. У тождества с заменой имеется 3 корня, один из которых является недопустимым. Однако его необходимо также проверить. Следует вернуться к исходному значению, рассмотрев все три варианта. Нужно сопрячь все значения параметра замены с выражением, взятым вместе с радикалом:

1. [5 — 2x]^(½) = -1.
2. [5 — 2x]^(½) = 5.
3. [5 — 2x]^(½) = -4.

Полученные равенства с одной неизвестной иррационального типа решаются методом возведения правой и левой частей в квадрат. В первом варианте корень x1 = 2, а во втором — х2 = -10, а в третьем — x3 = -5,5. Последний этап алгоритма — отсеивание ложных корней.

Для этого следует подставить каждое значение в соответствующее выражение:

1. [5 — 2 * 2]^(½) = -1.
2. [5 — 2 * (-10)]^(½) = 5.
3. [5 — 2 * (-5,5)]^(½) = -1.

Ложных корней нет, поскольку каждый превращает выражение в истинное. Кроме того, значение y3 = -4 — это «предостережение», которое является промежуточным значением. Его также необходимо учитывать.

Разложение на множители

Метод разложения на множители применяется в том случае, когда выражение состоит из произведения с неизвестными и равно 0. Для решения не подойдет ни один из способов, кроме замены параметром. Однако не всегда и этот вариант проходит.

Для нахождения корней существует определенный алгоритм. Суть его заключается в разложении произведения на множители. Это значит, что последнее представляется в виде отдельных тождеств, которые приравниваются к 0. Принцип следующий: если произведение равно нулю, то значит, какой-то из множителей равен 0. В некоторых случаях рекомендуется использовать один или несколько методов решения. Для метода существует определенная совокупность правил (инструкция), позволяющая выполнить нахождение корней без ошибок.

Правила решения

Метод является довольно сложным, поскольку может содержать другие методики решения уравнений с неизвестным под знаком радикала. Поэтому специалисты систематизировали процесс решения, и создали подробный алгоритм. Он имеет такой вид:

1. Разложить на множители выражение.
2. Рассмотреть каждое из уравнений, приравнивая его к 0.
3. Решить тождество.
4. Проверить результат, подставив искомое значение.

Необходимо отметить, что третий пункт можно решать любым из описанных методов. Следовательно, этот пункт может содержать несколько вложенных алгоритмов для каждого из способов. Однако в этом нет ничего сложного. Для закрепления знаний следует воспользоваться лучшим «тренажером», который называется практикой.

Практическое применение

Для применения алгоритма необходимо рассмотреть следующее выражение: (x — 2)^2 * (x ² — 1) * [x ² — 1]^(½) * 1 / ([x ² — 1]^(½) + 6) = 0. Используя свойства произведения, его можно разложить на множители, и приравнять их к 0:

1. (x — 2)^2 = 0.
2. (x ² — 1) = 0.
3. [(x ² — 1)]^(½) = 0.
4. 1 / ([(x ² — 1)]^(½) + 6) = 0.

Неизвестная в первом случае находится достаточно просто: x1 = 2. Во втором тождество имеет два корня, поскольку x ² — 1 = (х — 1)(х + 2) = 0: х2 = -1 и х3 = 1. Иррациональное уравнение в третьем случае решается первым или вторым методами: х4 = -1 и х5 = 1.

В четвертом случае можно воспользоваться введением новой переменной: y = [(x ² — 1)]^(½). Выражение будет иметь такой вид: 1 / (y + 6) = 0. Переменная в знаменателе не должна соответствовать значению 6, поскольку это приведет к неопределенности или пустому множеству. Корней у него нет вообще. Если систематизировать решения, то можно получить такие корни: x1 = -1, x2 = 1 и x3 = 2.

Необходимо выполнить последний пункт алгоритма. Для этого следует подставить все корни, полученные при решении вспомогательных уравнений, в исходное выражение. Операция выполняется таким образом:

1. x1 = -1: ((-1) — 2)^2 * ((-1)^2 — 1) * [(-1)^2 — 1]^(½) * 1 / ([(-1)^2 — 1]^(½) + 6) = 9 * 0 * 0 * 1 / ([(-1)^2 — 1]^(½) + 6) = 0.
2. x2 = 1: (1 — 2)^2 * (1 ² — 1) * [1 ² — 1]^(½) * 1 / ([1 ² — 1]^(½) + 6) = 1 * 0 * 0 * 1 / ([1 ² — 1]^(½) + 6) = 0.
3. x3 = 2: (2 — 2)^2 * (2 ² — 1) * [2 ² — 1]^(½) * 1 / ([2 ² — 1]^(½) + 6) = 0 * 3 * [2 ² — 1]^(½) * 1 / ([1 ² — 1]^(½) + 6) = 0.

После выполнения проверки можно сделать вывод о том, что все корни являются истинными. Ложных корней нет вообще. Однако можно править разложение на множители следующим образом: (x — 2)^2 и (x ² — 1) * [x ² — 1]^(½) * 1 / ([x ² — 1]^(½) + 6). Во второй группе следует применить замену переменной. Однако такой способ не является оптимальным, поскольку находить корни в простых тождествах проще, чем в сложных.

Следует отметить, что последний множитель, представленный в виде дроби, можно не брать во внимание. Это связано с тем, что эта функция не равна 0 при всех значениях неизвестной, принадлежащей всему множеству действительных чисел. Исключением является ее знаменатель, выражение под корнем которого должно быть больше или равно 0, т. е. х принадлежит множеству (-бесконечность;-1] U [1;+бесконечность).

Таким образом, для решения уравнения иррационального типа необходимо применять универсальный алгоритм, а также один или несколько методов.