Показательные уравнения - алгоритмы и примеры вычисления

Показательные уравнения, как и любые другие, требуют поиска неизвестной переменной. Особенность в том, что она или выражение с ней находится в показателе степени.

Основные понятия и свойства

В показательных уравнениях, которые часто называют степенными, в основании находятся исключительно числа. Переменная же есть только в показателе. 

Она может быть одна или являться частью выражения. Если она появляется в другом месте, приходится иметь дело с уравнениями смешанного типа.

Школьники знакомятся с простыми вычислениями уже в 7 классе, более сложные решают выпускники и студенты вузов. Если фигурирует несколько переменных и представлено больше одного уравнения, говорят об их системе. 

Тогда необходимо выразить одну неизвестную через другую и искать результат методом подстановки. Поэтому умение находить значения, в которые возводят натуральные числа, пригодится на долгие годы.

Изучаются также и показательные функции: она может быть восходящей и нисходящей, в зависимости от значения переменной или выражения.

Два типа:

• 2^x = 4 – показательное уравнение с иксом в степени;

• 2^x = x + 12 – смешанное, ведь икс находится также и в основании.

При этом:

• 2 – основание, оно должно соответствовать двум условиям, а именно: быть больше нуля и отличаться от единицы;

• х – показатель.

Если вместо знака «=» используются обозначения «>», «<», «≥», «≤», говорят о показательных неравенствах. Остальные условия остаются неизменными.

Для решения необходимо опираться на следующие свойства и правила:

1. Любое положительное число, возведенное в степень, равную единице, равно самому себе, то есть 9¹ = 9. Если же возвести число в степень ноль, то результат всегда будет одинаковым, а именно, равным единице: 9⁰ = 1.

2. Если математическое выражение возводится в отрицательное значение, то его можно заменить дробью, где числитель – единица, а знаменатель первоначальное выражение, но уже в положительной степени. Числитель – значение, находящееся над чертой, знаменатель – под ней. Математически правило записывается в следующем виде: 

3. Чтобы возвести число в степень, нужно умножить его на себя такое количество раз, которое равно ее значению, то есть р⁵ = р·р·р·р·р.

4. Если нужно умножить два положительных числа, отличных от единицы и равных между собой, то нужно сложить их показатели и возвести в полученное значение основание: p⁵·p³= p⁵⁺³ = p⁸.

5. Когда требуется разделить одно число на другое, имеющие отличные показатели, нужно вычесть из одного другой и возвести в полученное значение неизменное основание: p⁹/p³= p^9-3 = p⁶.

6. Если необходимо возвести одну степень в другую, то нужно их перемножить. Само основание при этом остается без изменений. Его нужно возвести в полученное после арифметических действий значение: (p³)⁴ = p^3*4 = p¹².

Применение свойств и правил помогает упростить выражения, быстрее произвести вычисления и получить результат.

Примеры решения показательных уравнений

Закрепить материал помогут подробные объяснения при решении показательных уравнений. Разъяснения на практике помогут изучить сложные моменты и облегчат усвоение знаний.

Задание 1

Упростить и решить уравнение: 5^3x+14 = 5^7+2x

В обеих частях примера одинаковые основания, значит, можно приравнять математические выражения, находящиеся в показателе. В результате получится:

3х + 14 = 7 + 2х.

Путем переноса чисел в одну часть, а переменных в другую, не сложно решить пример. Главное, не забывать менять знак на противоположный, плюс на минус и наоборот:

3х – 2х = 7 – 14,

х = -7.

Ответ: -7.

Задание 2

Выполнить вычисление и найти х:

4^x+1 = 16,

4^x+1 = 4².

Основания обеих частей примера – 4, оно не меняется, следовательно, можно воспользоваться изученными свойствами и получить простейшее уравнение:

х + 1 = 2;

х = 2 — 1 = 1.

Ответ: 1.

Задание 3

Упростить и найти значение х:

Дроби в примере разные. Поэтому приравнять их показатели сразу не получится. Но стоит обратить внимание, что числитель одной равен знаменателю другой и наоборот. 

Чтобы решить, придется вспомнить о правиле возведения в отрицательную степень, когда выражение представляется в виде дроби. Значит, числитель можно поменять местами со знаменателем. 

В показателе при этом появится знак «минус»:

При равных основаниях приравниваются степени: -х = 2х + 3.

Далее придется выполнить простое задание, чтобы найти неизвестную переменную:

3х = -3;

х = -1

Ответ: -1. 

Задание 4

Вычислить: (3^x)² = 81.

Можно представить в следующем виде: (3^x)² = 3⁴.

Если воспользоваться изученными свойствами, получается: 3^2x = 3⁴.

Далее выполнить простые действия, чтобы получить результат:

2х = 4;

х =

Ответ: 2.

Задание 5

Решить уравнение: 5^x+1 + 7·5^x-2= 132.

Если воспользоваться свойством степеней, применяемых для умножения значений с одинаковым основанием, можно преобразовать уравнение. Общий множитель прежде всего нужно поставить за скобки, это правило регулярно применяется при решении:

5^x-2(5³ + 7) = 132;

5^x-2 * 132 = 132.

Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, результат не изменится. В данном случае необходимо разделить на число 132. Это помогает избавиться от громоздких вычислений, удлиняющих ход решения:

5^x-2 = 1.

Далее необходимо вспомнить, что любое значение, возведенное в ноль, равно единице:

5^x-2 = 5⁰

Остается только приравнять показатели и решить элементарный пример:

х - 2 = 0,

х = 2.

Ответ: 2. 

Задание 6

Решить показательное уравнение √4^x = 16.

Квадратный корень можно заменить степенью 1/2. Получается, что 4 имеет показатель x/2.

Значит, уравнение преобразуются в следующее:

4^x/2 = 4².

А дальше необходимо действовать по уже проверенному и закрепленному методу:

x/2 = 2, x = 4.

Ответ: 4.

Чтобы быстро решать показательные уравнения, нужно знать свойства степеней и умело ими пользоваться на практике. Это позволит легко находить неизвестные переменные. Полученные знания обязательно пригодятся для вычисления более сложных задач.

Существуют онлайн калькуляторы, позволяющие легко и просто решить степенные уравнения. Требуется просто вписать их в ячейку и немного подождать, пока машина справится с подсчетами. Но гораздо интереснее самому произвести арифметические действия и получить верный результат. 

Интернет не всегда есть под рукой, а подобные примеры – основа решения более трудных задач, которые могут встретиться на экзамене ЕГЭ по математике. Например, логарифмических. Они могут содержать тригонометрические элементы и объемные алгебраические конструкции.