Формула дискриминанта - правила и примеры вычисления корней квадратных уравнений

Общие сведения

Решение квадратных уравнений — одно из ключевых моментов в математике. Ещё древние вавилоняне и греки пытались найти закономерности при решении таких равенств. Но первым, кто описал методы нахождения дополнением квадрата, был индийский философ Будхаяма. Именно он предложил записывать уравнения в виде: ax ² = c и ax ² + bx = c. В дальнейшем способы усовершенствовались. Так, Евклид предложил метод геометрического вычисления ответа.

Но наиболее значимым стало открытие Буля. Изучая формулы различных уравнений, он пришёл к выводу, что выражения почти всегда можно упростить, заменив переменные другим набором, содержащим новые неизвестные. При этом, найдя их, определить первоначальные уже не составляет труда.

Такой способ был применён и к квадратному уравнению. Благодаря ему стало возможным упростить квадратичную форму с двумя переменными, используя дискриминант. Это понятие тесно связано с многочленом, имеющим следующий вид: d (m) = a 0 *mⁿ + a 1 *m^n-1 + a 2 *m^n-2 + … + a n-1 *m + a n, где m — искомое неизвестное, a n, a n-1, a n-2, … a 1 и a 0 — числовые постоянные.

Термин «дискриминант» был придуман не математиками, но успешно стал ими использоваться при вычислении квадратичных функций. Произошёл он от латинского слова discriminans, что в дословном переводе означает «разделяющий». Важной величиной стало значение, придуманное Булем и имеющее вид b2 — 4ac. Учёный открыл, что после того как переменные линейно изменятся, дискриминант будет равняться первоначальному, умноженному на член, находимому из функции поведения неизвестных.

При решении равенств, содержащих формулу дискриминанта и его корней, используют формулу для быстрого определения количества возможных решений и их числового нахождения. Математически определение записывают следующим образом: p (x) = m + mx + ⋯ + mx, m ≠ 0, где: D (p) = m∏(m − m). То есть дискриминантом многочлена p (x) является сумма произведений корней на неизвестный коэффициент в основном поле их существования.

Смысл дискриминанта

Дискриминант — одно из эффективных решений квадратных выражений. С его помощью легко можно выявить, сколько корней имеет уравнение или установить, что их нет. Применять его можно как к полным квадратным равенствам, так и неполным. Но всё же во втором случае использовать дискриминант не нужно.

Эта тема изучается в седьмом и восьмом классе средней школы. Лучше понять смысл параметра поможет простой пример. Пусть имеется уравнение вида m² + 2m — 8 = 0. Не имея понятие о дискриминанте, решение уравнения сводится к приведению его к формуле квадрата суммы m² + 2m +1 — 1- 8 = 0. Добавление и вычитание единицы возможно, так как в итоге получается сложение с нулём.

Первые три члена представляют собой квадрат суммы, который можно свернуть по формуле сокращённого умножения до вида a² +2ab + b² = (a+b)². Отсюда, применительно к рассматриваемому примеру, получится: (m + 1)² — 1 — 8 = 0. После преобразований с переносом неизвестного в одну сторону (а известных — в другую) и раскрытием скобки получится равенство: (m + 1)² = 9. То есть возможными решениями будут m = 2 для (m + 1) = 3 и m = -4 для (m + 1) = -3.

В общем виде все эти преобразования можно выполнить в следующей последовательности:

1. Уравнение am² + bm + c = 0 нужно переписать в приведённом виде, то есть разделить каждый член на первый коэффициент: m² + bm / a + c / a = 0.
2. Согласно формуле сокращённого умножения нужно добиться того, чтобы при неизвестном во втором члене стояло удвоенное произведение. Поэтому числитель и знаменатель нужно помножить на двойку: m² + 2bm / 2a + c / a = 0.
3. Полученное выражение стоит переписать в более наглядном виде m ² + 2 m * (b /2 a) + c / a = 0. Это равенство являлось бы приведённым к формуле сокращённого умножения, если бы в последнем члене был квадрат.
4. Ко второму члену следует прибавить и вычесть (b/2a)². В итоге получится m² + 2m * (b/2a) + (b/2a)² — (b/2a)² + c/a = 0.
5. Первые три слагаемые — это классическая формула квадрата суммы. Применив её, получится: (m + b/2a)² = (b/2a)² — c/a.
6. Затем нужно раскрыть скобки и привести к общему знаменателю. Получится конструкция вида (m + b/2a)² = b 2 -4 ac /4 a ².
7. Умножив на 4a² обе части. Выражение примет вид (2 am + b)² = b ² — 4 ac.

Многочлен b2 — 4ac было решено принять за дискриминант. Это выражение по сути и определяет возможность существования решений и количество корней. Выполнив его расчёт, фактически и находится ответ уравнения.

Взаимосвязь параметра

Объяснение дискриминанта имеет и графическое обоснование. Физически задача заключается в комплексном подходе установления взаимосвязи. Фактически это фиксирование нулей параболы уравнения, то есть точек, в которой она пересекает ось абсциссы. Знак при переменной в квадрате будет определять положение веток параболы. Они будут идти вверх при a > 0, и вниз, если a < 0.

Исходя из этого, дискриминант равняется отношению суммы или разности числового коэффициента, стоящего возле неизвестного в первой степени с корнем квадратным из b ² — 4 ac к удвоенному произведению первого коэффициента в уравнениях x1 = (- b + √ b ² — 4 ac) / 2a; x2 = (- b — √ b ² — 4 ac) / 2a. Подкоренное выражение называют формулой сокращённого дискриминанта.

Дискриминант при нахождении корней уравнения может принимать три значения:

1. Отрицательное. В случае, когда он меньше нуля, точный квадрат должен равняться числу с минусом, чего не может быть из-за свойств квадратной степени. Поэтому при таком положении вещей решений или действительных корней у уравнения нет. График уравнения не пересекает ось абсциссы.
2. Равное нулю. Это состояние характеризуется уравнением вида: (2 am + b)² = 0. Так как квадрат числа может быть равен нулю, только если это число нулевое, то рассматриваемое уравнение можно переписать как m = - b / 2a. Это и есть упрощённая формула при дискриминанте, равному 0. На графике существует лишь одна точка пересечения с осью абсциссы.
3. Положительное. Это наиболее распространённый случай и самый тяжёлый для проведения расчётов. При нём из обеих частей уравнения теоремы (2 am + b) ² = b ² — 4 ac надо извлечь квадратный корень. В итоге получится 2am + b =± √D. Тут следует отметить следующее: минус возникает из-за того, что возводимое в квадрат число может быть как положительное, так и отрицательное. Например, 9² = 81 и -9² = 81. Из этого выражения можно выразить неизвестное. Оно будет равняться половинному значению m = (-b ± √D) / 2a. Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.

Последнее выражение является формулой корней квадратного уравнения. Именно с её помощью могут решаться равенства, в степени которых стоит двойка. Через дискриминант можно вычислять корни и уравнений больших порядков. Для этого используются приёмы понижения степени до квадратного. Но эти операции учащиеся начинают изучать на уроках в выпускном классе, когда проходят решение уравнений n-го порядка.

Типовые примеры

Даже зная правило поиска корней через дискриминант, научиться быстро вычислять корни уравнения не получится, если не практиковаться. Поэтому решение практических задач обязательно входит школьную в программу обучения:

1. Дано равенство 6x² — 13x +2 = 0. Нужно определить количество его корней, если они существуют, их числовые значения. В первую очередь нужно нарисовать таблицу, в которую выписаны все заданные коэффициенты. Так: a = 6; b = -13; c = 2. Эти значения нужно подставить в формулу дискриминанта и найти его: D = b² — 4ac = (-13)² — 4 * 6 *2 = 149 — 68 = 121. То есть D больше нуля. Значит, согласно правилу, уравнение будет иметь два корня. Теперь их нужно рассчитать: x1 = (13 + √126) / 2 * 6 = 2; x2 = (13 — √126) / 2 * 6 = 1/6. Задание решено.

2. Определить возможность решения уравнения 4m² — 2m — 3 = 2. Для приведения к удобному виду двойку нужно перенести влево. В итоге получится 4m² — 2m — 5 =0. Дискриминант равняется: D = 4 — 4 * 4 * (-5) = 4 + 80 = 84. Так как он больше нуля, то корней будет два. Тут сложность заключается в том, что нет целого числа, которое равнялось бы корню из √84. Однако, √84 = √4 * √21 = 2 √21. Используя формулы, получаем что m = (2 ± 2√21) / 2 * 4. Двойку можно вынести в числителе за скобки, получив тем самым удобную запись: m = (2 * (1 ±√21) / 2 * 4 = (1 ± √21) / 4. Это выражение и есть искомое решение.

3. Решить уравнение: x /3 — x² / 4 + 1 /6 = 3x / 2 — 4x² / 3. Для упрощения равенства нужно правую и левую сторону умножить на двенадцать: 12x / 3 — 12 * x² / 4 + 12 /6 = (3 * 12x) / 2 — (4 * 12x²) / 3. Получится 4 x — 3 x ² + 2 = 18 x — 16 x ². Члены нужно привести к стандарту: 4 x — 3 x ² + 2 — 18 x + 16 x ² = 13 x ² — 14 x + 2 = 0. Считаем дискриминант: D = (-14)² — 4 * 13 * 2 = 92. Он больше нуля, поэтому есть смысл искать корни: X = (14 ± √ 92) / 2 * 13 = (14 ± 2 √ 23) / 2 * 13 = 2 (7±√23) / 2 *13 = (7± √23) /13.

Таким образом, любое выражение нужно стремиться переписать так, чтобы оно приняло классический вид. Это может быть умножение или деление на какое-либо число, поиск общего знаменателя. А уже после нужно искать дискриминант, по виду которого можно определить, есть ли смысл в дальнейшем нахождении корней уравнения.

Вычисления на онлайн-калькуляторе

Поиск решений уравнения через дискриминант — довольно простая тема. Необходимо запомнить всего две формулы и свойства, зависящие от значения дискриминанта. Но на практике попадаются примеры содержащие интегралы, логарифмы, экспоненциальные функции. При этом всё это может быть записано в виде сложных дробей.

Решая задания самостоятельно, даже имея большой опыт и знания, есть вероятность допущения ошибки. Поэтому при вычислении сложных примеров стоит использовать онлайн-калькуляторы.

Из сервисов, предлагающих такие услуги, можно отметить:

• Math.semestr;
• Kontrolnaya-rabota;
• Onlinemschool;
• Wpcalc;
• Webmath.

Эти российские сайты. Их интерфейс интуитивно понятен. Для выполнения вычислений не нужно указывать персональные данные или платить за услуги. От пользователя лишь требуется записать в предложенную форму квадратное уравнение или даже матрицу, состоящую из них. Программа автоматически выполнит нужный расчёт и предоставит пошаговое решение. Кроме того, на сайтах решателей уравнений содержится в кратком виде теоретический материал и типовые примеры с подробным решением.

Даже ничего не понимающий в дискриминантах человек, воспользовавшись онлайн-калькулятором несколько раз, сможет восполнить пробелы в знаниях, самостоятельно научиться решать примеры, узнает, как правильно должен писаться дискриминант. Использование онлайн-сайтов для математических решений позволяет сэкономить время и получить точный результат.